Đường cong đại số

Đường cong đại số trong mặt phẳng Euclide là tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình đa thức hai biến p ( x , y ) = 0. Phương trình này thường được gọi là phương trình ẩn của đường cong, ngược lại với các đường cong là đồ thị của một hàm xác định rõ ràng y là một hàm của x .

Với một đường cong được đưa ra bởi một phương trình ngầm định như vậy, vấn đề đầu tiên là xác định hình dạng của đường cong và vẽ nó. Những bài toán này không dễ giải như trong trường hợp đồ thị của một hàm số mà y có thể dễ dàng được tính cho các giá trị khác nhau của x . Thực tế là phương trình xác định là một đa thức ngụ ý rằng đường cong có một số đặc tính cấu trúc có thể giúp giải quyết các vấn đề này.

Mọi đường cong đại số có thể được phân tách duy nhất thành một số hữu hạn các cung đơn điệu trơn (còn gọi là các nhánh ) đôi khi được nối với nhau bởi một số điểm đôi khi được gọi là "điểm đáng chú ý", và có thể là một số hữu hạn các điểm cô lập được gọi là acnodes . Một giọng đều đều arc mịn là đồ thị của một hàm trơn tru được định nghĩa và đơn điệu trên một khoảng thời gian mở của x trục. Theo mỗi hướng, một cung hoặc không bị giới hạn (thường được gọi là cung vô hạn ) hoặc có điểm cuối là một điểm kỳ dị (điều này sẽ được xác định bên dưới) hoặc một điểm có tiếp tuyến song song với một trong các trục tọa độ.

Ví dụ, đối với khối Tschirnhausen , có hai cung vô hạn có gốc (0,0) tính đến điểm cuối. Điểm này là điểm kỳ dị duy nhất của đường cong. Cũng có hai cung có điểm kỳ dị này là một điểm cuối và có điểm cuối thứ hai với một tiếp tuyến nằm ngang. Cuối cùng, có hai cung khác, mỗi cung có một trong những điểm này với tiếp tuyến ngang là điểm cuối đầu tiên và có điểm duy nhất với tiếp tuyến thẳng đứng là điểm cuối thứ hai. Ngược lại, hình sin chắc chắn không phải là một đường cong đại số, có vô số cung đơn điệu.

Để vẽ một đường cong đại số, điều quan trọng để biết những điểm đáng chú ý và tiếp tuyến của họ, các chi nhánh vô hạn và họ là tiệm cận (nếu có) và cách thức mà các vòng cung kết nối chúng. Nó cũng hữu ích nếu coi các điểm uốn là những điểm đáng chú ý. Khi tất cả thông tin này được vẽ trên một tờ giấy, hình dạng của đường cong thường xuất hiện khá rõ ràng. Nếu không, chỉ cần thêm một vài điểm khác và tiếp tuyến của chúng để có được một mô tả tốt về đường cong.

Các phương pháp tính toán các điểm đáng chú ý và tiếp tuyến của chúng được mô tả dưới đây, sau phần Đường cong xạ ảnh .

Người ta thường mong muốn xem xét các đường cong trong không gian xạ ảnh . Đường cong đại số trong mặt phẳng xạ ảnh hoặc đường cong xạ ảnh phẳng là tập hợp các điểm trong mặt phẳng xạ ảnh có tọa độ xạ ảnh là các số không của một đa thức thuần nhất trong ba biến P ( x , y , z ).

Mọi đường cong đại số affine của phương trình p ( x , y ) = 0 có thể được hoàn thành vào đường cong xạ ảnh của phương trình${\ displaystyle ^ {h} p (x, y, z) = 0,}$ Ở đâu

${\ displaystyle ^ {h} p (x, y, z) = z ^ {\ deg (p)} p ({\ tfrac {x} {z}}, {\ tfrac {y} {z}})}$

là kết quả của sự đồng nhất của p . Ngược lại, nếu P ( x , y , z ) = 0 là phương trình thuần nhất của đường cong xạ ảnh, thì P ( x , y , 1) = 0 là phương trình của đường cong affine, bao gồm các điểm của đường cong xạ ảnh có tọa độ xạ ảnh thứ ba không bằng 0. Hai hoạt động này tương hỗ với nhau, như${\ displaystyle ^ {h} p (x, y, 1) = p (x, y)}$và, nếu p được định nghĩa bởi${\ displaystyle p (x, y) = P (x, y, 1)}$, sau đó ${\ displaystyle ^ {h} p (x, y, z) = P (x, y, z),}$, ngay khi đa thức thuần nhất P không chia hết cho z .

Ví dụ, đường cong xạ ảnh của phương trình x ² + y ² - z ² là sự hoàn thành xạ ảnh của đường tròn đơn vị của phương trình x ² + y ² - 1 = 0.

Điều này ngụ ý rằng đường cong affine và sự hoàn thành xạ ảnh của nó là những đường cong giống nhau, hay chính xác hơn là đường cong affine là một phần của đường cong xạ ảnh đủ lớn để xác định rõ đường cong "hoàn chỉnh". Quan điểm này thường được thể hiện bằng cách gọi "các điểm ở vô cùng" của đường cong affine là các điểm (với số lượng hữu hạn) của phép chiếu xạ ảnh hoàn thành không thuộc phần affine.

Các đường cong xạ ảnh thường được nghiên cứu cho chính chúng. Chúng cũng hữu ích cho việc nghiên cứu các đường cong affine. Ví dụ, nếu p ( x , y ) là đa thức xác định một đường cong affine, bên cạnh các đạo hàm riêng${\ displaystyle p '_ {x}}$ và ${\ displaystyle p '_ {y}}$, rất hữu ích khi xem xét đạo hàm ở vô cùng

${\ displaystyle p '_ {\ infty} (x, y) = {^ {h} p' _ {z} (x, y, 1)}.}$

Ví dụ, phương trình tiếp tuyến của đường cong affine của phương trình p ( x , y ) = 0 tại một điểm ( a , b ) là

${\ displaystyle xp '_ {x} (a, b) + yp' _ {y} (a, b) + p '_ {\ infty} (a, b) = 0.}$

Trong phần này, chúng ta xem xét một đường cong đại số phẳng được xác định bởi một đa thức hai biến p ( x , y ) và sự hoàn thành xạ ảnh của nó, được xác định bởi phép đồng nhất${\ displaystyle P (x, y, z) = {} ^ {h} p (x, y, z)}$của p .

Giao lộ với một đường

Biết các giao điểm của một đường cong với một đường thẳng cho trước thường rất hữu ích. Giao điểm với các trục tọa độ và tiệm cận rất hữu ích để vẽ đường cong. Giao nhau với một đường song song với các trục cho phép người ta tìm thấy ít nhất một điểm trong mỗi nhánh của đường cong. Nếu có sẵn thuật toán tìm gốc hiệu quả , thì thuật toán này cho phép vẽ đường cong bằng cách vẽ giao điểm với tất cả các đường song song với trục y và đi qua từng pixel trên trục x .

Nếu đa thức xác định đường cong có bậc d thì bất kỳ đường thẳng nào cũng cắt đường cong tại nhiều nhất d điểm. Định lý Bézout khẳng định rằng con số này chính xác là d , nếu các điểm được tìm kiếm trong mặt phẳng xạ ảnh trên một trường đóng đại số (ví dụ các số phức ) và được tính bằng bội số của chúng . Phương pháp tính toán tiếp theo chứng minh một lần nữa định lý này, trong trường hợp đơn giản này.

Để tính giao điểm của đường cong được xác định bởi đa thức p với đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0, người ta giải phương trình của đường thẳng cho x (hoặc cho y nếu a = 0). Thay kết quả bằng p , người ta nhận được một phương trình đơn biến q ( y ) = 0 (hoặc q ( x ) = 0, nếu phương trình của đường thẳng đã được giải bằng y ), mỗi gốc của nó là một tọa độ của một giao điểm . Tọa độ khác được suy ra từ phương trình của đường thẳng. Tính bội của một giao điểm là bội của gốc tương ứng. Có hoành độ giao điểm ở vô cực nếu tung độ q thấp hơn tung độ p ; Sự bội số của một giao điểm như vậy ở vô cùng là hiệu của bậc của p và q .

Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến tại một điểm ( a , b ) của đường cong là đường của phương trình${\ displaystyle (xa) p '_ {x} (a, b) + (yb) p' _ {y} (a, b) = 0}$, giống như mọi đường cong có thể phân biệt được xác định bởi một phương trình ngầm định. Trong trường hợp đa thức, một công thức khác cho tiếp tuyến có một hằng số đơn giản hơn và đối xứng hơn:

${\ displaystyle xp '_ {x} (a, b) + yp' _ {y} (a, b) + p '_ {\ infty} (a, b) = 0,}$

Ở đâu ${\ displaystyle p '_ {\ infty} (x, y) = P' _ {z} (x, y, 1)}$là đạo hàm ở vô cùng. Sự tương đương của hai phương trình kết quả từ định lý hàm thuần nhất Euler áp dụng cho P .

Nếu ${\ displaystyle p '_ {x} (a, b) = p' _ {y} (a, b) = 0,}$tiếp tuyến không được xác định và điểm là một điểm kỳ dị .

Điều này mở rộng ngay cho trường hợp xạ ảnh: Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có tọa độ xạ ảnh ( a : b : c ) của đường cong xạ ảnh của phương trình P ( x , y , z ) = 0 là

${\ displaystyle xP '_ {x} (a, b, c) + yP' _ {y} (a, b, c) + zP '_ {z} (a, b, c) = 0,}$

và các điểm của các đường cong là số ít là các điểm sao cho

${\ displaystyle P '_ {x} (a, b, c) = P' _ {y} (a, b, c) = P '_ {z} (a, b, c) = 0.}$

(Điều kiện P ( a , b , c ) = 0 được ngụ ý bởi các điều kiện này, bởi định lý hàm đồng nhất của Euler.)

Không có triệu chứng

Mọi nhánh vô hạn của đường cong đại số tương ứng với một điểm ở vô cùng trên đường cong, đó là điểm hoàn thành xạ ảnh của đường cong không thuộc phần affine của nó. Đường tiệm cận tương ứng là tiếp tuyến của đường cong tại điểm đó. Có thể áp dụng công thức chung cho một tiếp tuyến với một đường cong xạ ảnh, nhưng đáng để làm cho nó rõ ràng trong trường hợp này.

Để cho ${\ displaystyle p = p_ {d} + \ cdots + p_ {0}}$là sự phân rã của đa thức xác định đường cong thành các phần thuần nhất của nó, trong đó p _i là tổng của các đơn thức p bậc i . Nó theo sau đó

${\ displaystyle P = {^ {h} p} = p_ {d} + zp_ {d-1} + \ cdots + z ^ {d} p_ {0}}$

và

${\ displaystyle P '_ {z} (a, b, 0) = p_ {d-1} (a, b).}$

Một điểm ở vô cực của đường cong là điểm không của p có dạng ( a , b , 0). Tương đương, ( a , b ) là số không của p _d . Các định lý cơ bản của đại số ngụ ý rằng, trên một trường đóng đại số (thông thường, lĩnh vực số phức), p _d yếu tố vào một sản phẩm của các yếu tố tuyến tính. Mỗi yếu tố xác định một điểm ở vô cùng trên đường cong: nếu bx  -  ay là một yếu tố như vậy, thì nó xác định điểm ở vô cùng ( a , b , 0). Trên thực tế, p _{d thừa} số thành các yếu tố tuyến tính và bậc hai. Các hệ số bậc hai bất khả quy định nghĩa các điểm không thực ở vô cùng, và các điểm thực được cho bởi các hệ số tuyến tính. Nếu ( a , b , 0) là một điểm ở vô cùng của đường cong, người ta nói rằng ( a , b ) là một tiệm cận . Đặt q = p _d phương trình của đường tiệm cận tương ứng là

${\ displaystyle xq '_ {x} (a, b) + yq' _ {y} (a, b) + p_ {d-1} (a, b) = 0.}$

Nếu ${\ displaystyle q '_ {x} (a, b) = q' _ {y} (a, b) = 0}$ và ${\ displaystyle p_ {d-1} (a, b) \ neq 0,}$tiệm cận là đường ở vô cực, và trong trường hợp thực, đường cong có một nhánh trông giống như một parabol . Trong trường hợp này, người ta nói rằng đường cong có một nhánh parabol . Nếu

${\ displaystyle q '_ {x} (a, b) = q' _ {y} (a, b) = p_ {d-1} (a, b) = 0,}$

đường cong có một điểm kỳ dị ở vô cùng và có thể có một số không triệu chứng. Chúng có thể được tính bằng phương pháp tính hình nón tiếp tuyến của một điểm kỳ dị.

Điểm số ít

Các điểm kỳ dị của đường cong bậc d được xác định bởi đa thức p ( x , y ) bậc d là nghiệm của hệ phương trình:

${\ displaystyle p '_ {x} (x, y) = p' _ {y} (x, y) = p (x, y) = 0.}$

Ở đặc điểm không , hệ thống này tương đương với

${\ displaystyle p '_ {x} (x, y) = p' _ {y} (x, y) = p '_ {\ infty} (x, y) = 0,}$

trong đó, với ký hiệu của phần trước, ${\ displaystyle p '_ {\ infty} (x, y) = P' _ {z} (x, y, 1).}$Các hệ thống là tương đương vì định lý hàm thuần nhất của Euler . Hệ thức sau có ưu điểm là có đa thức bậc ba bậc d -1 thay vì d .

Tương tự, đối với một đường cong xạ ảnh được xác định bởi một đa thức thuần nhất P ( x , y , z ) bậc d , các điểm kỳ dị có nghiệm của hệ

${\ displaystyle P '_ {x} (x, y, z) = P' _ {y} (x, y, z) = P '_ {z} (x, y, z) = 0}$

dưới dạng tọa độ thuần nhất . (Trong đặc tính tích cực, phương trình${\ displaystyle P (x, y, z)}$ phải được thêm vào hệ thống.)

Điều này ngụ ý rằng số điểm kỳ dị là hữu hạn miễn là p ( x , y ) hoặc P ( x , y , z ) là hình vuông tự do . Do đó, định lý Bézout ngụ ý rằng số điểm kỳ dị nhiều nhất là ( d −1) ² , nhưng giới hạn này không sắc nét vì hệ phương trình được xác định quá nhiều . Nếu cho phép đa thức rút gọn thì giới hạn nhọn là d ( d −1) / 2, giá trị này đạt được khi nhân tử đa thức trong nhân tử tuyến tính, nghĩa là nếu đường cong là hợp của d đường. Đối với các đường cong và đa thức bất khả quy, số điểm kỳ dị nhiều nhất là ( d −1) ( d −2) / 2, vì công thức biểu thị chi theo điểm kỳ dị (xem bên dưới). Cực đại đạt được bởi các đường cong của chi 0 mà tất cả các điểm kỳ dị đều có nhiều hơn hai và các tiếp tuyến riêng biệt (xem bên dưới).

Phương trình của các tiếp tuyến tại một điểm kỳ dị được cho bởi phần thuần nhất khác không của bậc thấp nhất trong chuỗi Taylor của đa thức tại điểm kỳ dị. Khi người ta thay đổi tọa độ để đặt điểm kỳ dị tại gốc tọa độ, do đó phương trình của tiếp tuyến tại điểm kỳ dị là phần thuần nhất khác không của bậc thấp nhất của đa thức và bội số của điểm kỳ dị là bậc của đồng nhất này. phần.

Việc nghiên cứu cấu trúc giải tích của một đường cong đại số trong vùng lân cận của một điểm kỳ dị cung cấp thông tin chính xác về cấu trúc liên kết của các điểm kỳ dị. Trên thực tế, gần một điểm kỳ dị, một đường cong đại số thực là sự kết hợp của một số hữu hạn các nhánh chỉ cắt nhau tại điểm kỳ dị và trông giống như một điểm đỉnh hoặc một đường cong trơn.

Gần một điểm chính quy, một trong các tọa độ của đường cong có thể được biểu thị như một hàm giải tích của tọa độ kia. Đây là một hệ quả của định lý hàm ẩn giải tích , và ngụ ý rằng đường cong gần điểm là nhẵn . Gần một điểm kỳ lạ, tình hình phức tạp hơn và liên quan đến chuỗi Puiseux , cung cấp các phương trình tham số phân tích của các nhánh.

Để mô tả một điểm kỳ dị, cần phải dịch đường cong để có điểm kỳ dị tại điểm gốc. Điều này bao gồm một sự thay đổi biến của biểu mẫu${\ displaystyle X = xa, Y = yb,}$ Ở đâu ${\ displaystyle a, b}$là tọa độ của điểm kỳ dị. Trong phần sau, điểm kỳ dị đang được xem xét luôn được cho là ở điểm gốc.

Phương trình của một đường cong đại số là ${\ displaystyle f (x, y) = 0,}$trong đó f là một đa thức theo x và y . Đa thức này có thể được coi là một đa thức theo y , với các hệ số trong trường đóng đại số của chuỗi Puiseux theo x . Do đó f có thể được tính trong các thừa số của dạng${\ displaystyle yP (x),}$trong đó P là một chuỗi Puiseux. Tất cả các yếu tố này đều khác nhau nếu f là một đa thức bất khả quy , bởi vì điều này ngụ ý rằng f là không bình phương , một tính chất độc lập với trường hệ số.

Chuỗi Puiseux xảy ra ở đây có dạng

${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {n = n_ {0}} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n / d},}$

trong đó d là một số nguyên dương và${\ displaystyle n_ {0}}$là một số nguyên cũng có thể được cho là dương, bởi vì chúng ta chỉ xem xét các nhánh của đường cong đi qua gốc tọa độ. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng d là nguyên tố với ước số chung lớn nhất của n sao cho${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$ (nếu không, người ta có thể chọn một mẫu số chung nhỏ hơn cho các số mũ).

Để cho ${\ displaystyle \ omega _ {d}}$là một gốc thứ d nguyên thủy của sự thống nhất . Nếu chuỗi Puiseux ở trên xảy ra trong việc phân tích nhân tử của${\ displaystyle f (x, y) = 0}$, sau đó là chuỗi d

${\ displaystyle P_ {i} (x) = \ sum _ {n = n_ {0}} ^ {\ infty} a_ {n} \ omega _ {d} ^ {i} x ^ {n / d}}$

cũng xảy ra trong quá trình hóa thừa số (một hệ quả của lý thuyết Galois ). Các chuỗi d này được cho là liên hợp , và được coi là một nhánh duy nhất của đường cong, của chỉ số phân nhánh d .

Trong trường hợp của một đường cong thực, tức là một đường cong được xác định bởi một đa thức với hệ số thực, ba trường hợp có thể xảy ra. Nếu không có${\ displaystyle P_ {i} (x)}$có hệ số thực, thì một có nhánh không thực. Nếu một vài${\ displaystyle P_ {i} (x)}$ có hệ số thực, thì người ta có thể chọn nó là ${\ displaystyle P_ {0} (x)}$. Nếu d lẻ, thì mọi giá trị thực của x cung cấp một giá trị thực là${\ displaystyle P_ {0} (x)}$, và một nhánh có một nhánh thực trông đều đặn, mặc dù nó là số ít nếu d > 1 . Nếu d chẵn thì${\ displaystyle P_ {0} (x)}$ và ${\ displaystyle P_ {d / 2} (x)}$có giá trị thực, nhưng chỉ với x ≥ 0 . Trong trường hợp này, nhánh thực trông giống như một đỉnh (hoặc là một đỉnh, tùy thuộc vào định nghĩa của một đỉnh được sử dụng).

Ví dụ, đỉnh thông thường chỉ có một nhánh. Nếu nó được xác định bởi phương trình${\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {3} = 0,}$ thì thừa số hóa là ${\ displaystyle (yx ^ {3/2}) (y + x ^ {3/2});}$chỉ số phân nhánh là 2, và hai yếu tố là thực và xác định mỗi nửa nhánh. Nếu đỉnh được xoay, phương trình của nó sẽ trở thành${\ displaystyle y ^ {3} -x ^ {2} = 0,}$ và thừa số hóa là ${\ displaystyle (yx ^ {2/3}) (yj ^ {2} x ^ {2/3}) (y- (j ^ {2}) ^ {2} x ^ {2/3}),}$ với ${\ displaystyle j = (1 + {\ sqrt {-3}}) / 2}$ (hệ số ${\ displaystyle (j ^ {2}) ^ {2}}$đã không được đơn giản hóa thành j để chỉ ra cách định nghĩa ở trên về${\ displaystyle P_ {i} (x)}$là chuyên biệt). Ở đây chỉ số phân nhánh là 3, và chỉ có một yếu tố là thực; điều này cho thấy rằng, trong trường hợp đầu tiên, hai yếu tố phải được coi là xác định cùng một nhánh.

Đường cong đại số là một dạng đại số có chiều một. Điều này ngụ ý rằng một đường cong affine trong không gian affine có chiều n được xác định bởi, ít nhất, n −1 đa thức trong n biến. Để xác định một đường cong, những đa thức phải tạo ra một ideal nguyên tố của chiều Krull 1. Tình trạng này không phải là dễ dàng để kiểm tra trong thực tế. Do đó, cách biểu diễn các đường cong không phẳng sau đây có thể được ưu tiên hơn.

Để cho ${\ displaystyle f, g_ {0}, g_ {3}, \ ldots, g_ {n}}$là n đa thức theo hai biến x ₁ và x ₂ sao cho f là bất khả quy. Các điểm trong không gian afin có chiều n sao cho tọa độ thỏa mãn các phương trình và bất phương trình

${\ displaystyle {\ begin {align} & f (x_ {1}, x_ {2}) = 0 \\ & g_ {0} (x_ {1}, x_ {2}) \ neq 0 \\ x_ {3} & = {\ frac {g_ {3} (x_ {1}, x_ {2})} {g_ {0} (x_ {1}, x_ {2})}} \\ & {} \ \ vdots \\ x_ {n} & = {\ frac {g_ {n} (x_ {1}, x_ {2})} {g_ {0} (x_ {1}, x_ {2})}} \ end {align}}}$

là tất cả các điểm của một đường cong đại số trong đó một số điểm hữu hạn đã bị loại bỏ. Đường cong này được xác định bởi một hệ thống các bộ sinh lý tưởng của các đa thức h sao cho nó tồn tại một số nguyên k sao cho${\ displaystyle g_ {0} ^ {k} h}$ thuộc về lý tưởng được tạo ra bởi ${\ displaystyle f, x_ {3} g_ {0} -g_ {3}, \ ldots, x_ {n} g_ {0} -g_ {n}}$. Biểu diễn này là sự tương đương hai tỷ lệ giữa đường cong và đường cong mặt phẳng được xác định bởi f . Mọi đường cong đại số có thể được biểu diễn theo cách này. Tuy nhiên, có thể cần một sự thay đổi tuyến tính của các biến để hầu như luôn luôn làm ảnh hưởng đến phép chiếu trên hai biến đầu tiên. Khi cần thay đổi các biến, hầu hết mọi thay đổi đều thuận tiện, ngay khi nó được xác định trên một trường vô hạn.

Biểu diễn này cho phép chúng ta dễ dàng suy ra bất kỳ tính chất nào của một đường cong đại số không phẳng, bao gồm cả biểu diễn đồ họa của nó, từ tính chất tương ứng của phép chiếu mặt phẳng của nó.

Đối với một đường cong được xác định bởi các phương trình ngầm định của nó, biểu diễn trên của đường cong có thể dễ dàng suy ra từ cơ sở Gröbner cho một thứ tự khối sao cho khối của các biến nhỏ hơn là ( x ₁ , x ₂ ). Đa thức f là đa thức duy nhất trong cơ sở chỉ phụ thuộc vào x ₁ và x ₂ . Các phân số g _i / g ₀ thu được bằng cách chọn, với i = 3, ..., n , một đa thức trong cơ sở là tuyến tính theo x _i và chỉ phụ thuộc vào x ₁ , x ₂ và x _i . Nếu những lựa chọn này không thể thực hiện được, điều này có nghĩa là các phương trình xác định một tập đại số không phải là một giống hoặc rằng giống không phải là thứ nguyên một, hoặc tập đó phải thay đổi tọa độ. Trường hợp thứ hai xảy ra khi f tồn tại và là duy nhất, và, với i = 3, ..., n , tồn tại các đa thức mà đơn thức đứng đầu của chúng chỉ phụ thuộc vào x ₁ , x ₂ và x _i .

Việc nghiên cứu các đường cong đại số có thể được rút gọn thành việc nghiên cứu các đường cong đại số bất khả quy : những đường cong đó không thể được viết dưới dạng hợp của hai đường cong nhỏ hơn. Lên đến birational tương đương, các đường cong không thể rút gọn trên một lĩnh vực F là khoát tương đương với các lĩnh vực chức năng đại số trong một biến trên F . Một lĩnh vực chức năng đại số như là một phần mở rộng lĩnh vực K của F có chứa một thành phần x mà là siêu việt hơn F , và như vậy mà K là một phần mở rộng đại số hữu hạn của F ( x ), đó là lĩnh vực chức năng hợp lý trong không xác định x trên  F .

Ví dụ, hãy xem xét lĩnh vực C của số phức, qua đó chúng tôi có thể xác định các lĩnh vực C ( x ) các chức năng hợp lý trong  C . Nếu y ²  =  x ³  -  x  - 1, thì trường C ( x ,  y ) là một trường hàm elliptic . Phần tử x không được xác định duy nhất; ví dụ, trường cũng có thể được coi là phần mở rộng của C ( y ). Đường cong đại số ứng với trường hàm đơn giản là tập hợp các điểm ( x ,  y ) trong C ² thỏa mãn y ²  =  x ³  -  x  - 1.

Nếu trường F không đóng về mặt đại số, quan điểm của các trường hàm sẽ tổng quát hơn một chút so với quan điểm của việc xem xét quỹ tích của các điểm, vì chúng ta bao gồm, ví dụ, "đường cong" không có điểm nào trên chúng. Ví dụ, nếu trường cơ sở F là trường R của các số thực, thì x ²  +  y ²  = −1 xác định trường mở rộng đại số của R ( x ), nhưng đường cong tương ứng được coi là tập con của R ² không có điểm. . Phương trình x ²  +  y ²  = -1 không xác định một đường cong đại số không thể rút gọn trên R trong chương trình ý nghĩa (một thể thiếu , tách ra một chiều chương trình của loại hữu hạn trên R ). Theo nghĩa này, sự tương ứng 1-1 giữa các đường cong đại số bất khả quy trên F (lên đến tương đương hai tỉ lệ) và các trường hàm đại số trong một biến trên F nói chung là đúng.

Hai đường cong có thể tương đương hai tỷ lệ (nghĩa là có các trường hàm đẳng cấu ) mà không phải là đẳng cấu như các đường cong. Tình huống trở nên dễ dàng hơn khi xử lý các đường cong không đặc biệt , tức là những đường không có bất kỳ điểm kỳ dị nào. Hai đường cong xạ ảnh nonsingular trên một trường là đẳng cấu nếu và chỉ khi các trường hàm của chúng là đẳng cấu.

Định lý Tsen nói về trường hàm của một đường cong đại số trên một trường đóng đại số.

Một đường cong đại số xạ ảnh phức nằm trong không gian xạ ảnh phức tạp n chiều CP ⁿ . Điều này có thứ nguyên phức tạp n , nhưng thứ nguyên tôpô, như một đa tạp thực , 2 n , và nhỏ gọn , liên thông và có thể định hướng . Tương tự như vậy, một đường cong đại số trên C có tôpô thứ hai; nói cách khác, nó là một bề mặt .

Dạng cấu trúc liên kết của bề mặt này, đó là số tay cầm hoặc lỗ bánh rán, bằng với dạng hình học của đường cong đại số có thể được tính bằng phương tiện đại số. Nói tóm lại, nếu người ta xem xét một hình chiếu phẳng của một đường cong nonsingular có bậc d và chỉ là các điểm kỳ dị bình thường (điểm kỳ dị của nhiều hơn hai với các tiếp tuyến riêng biệt), thì chi là ( d  - 1) ( d  - 2) / 2 -  k , với k là số điểm kỳ dị này.

Bề mặt Riemann nhỏ gọn

Một Riemann bề mặt là một tổ hợp đa dạng phân tích kết nối của một chiều phức tạp, mà làm cho nó một đa dạng thực kết nối hai chiều. Nó là compact nếu nó là một không gian tôpô.

Có một triple tương đương của loại giữa các chủng loại đường cong đại số projective tối giản mịn hơn C (với những người không thường xuyên bản đồ thông thường như morphisms), các loại bề mặt Riemann nhỏ gọn (với những người không thường xuyên bản đồ holomorphic như morphisms), và ngược lại của danh mục của các trường hàm đại số trong một biến trên C (với các phép đồng hình trường cố định C là các phép biến hình). Điều này có nghĩa là khi nghiên cứu ba môn học này, chúng ta có nghĩa là học một và cùng một thứ. Nó cho phép các phương pháp giải tích phức tạp được sử dụng trong hình học đại số và các phương pháp đại số-hình học trong phân tích phức tạp và các phương pháp lý thuyết trường được sử dụng trong cả hai phương pháp này. Đây là đặc điểm của một loại bài toán rộng hơn nhiều trong hình học đại số.

Xem thêm hình học đại số và hình học giải tích để có lý thuyết tổng quát hơn.

Sử dụng khái niệm nội tại của không gian tiếp tuyến , các điểm P trên đường cong đại số C được phân loại là trơn (đồng nghĩa: không kỳ dị ), hoặc khác là số ít . Cho n −1 đa thức thuần nhất trong n +1 biến, chúng ta có thể tìm thấy ma trận Jacobian là ma trận ( n −1) × ( n +1) của các đạo hàm riêng. Nếu hạng của ma trận này là n −1, thì các đa thức xác định một đường cong đại số (nếu không thì chúng xác định một loại đại số có chiều cao hơn). Nếu hạng vẫn là n −1 khi ma trận Jacobian được đánh giá tại một điểm P trên đường cong, thì điểm đó là điểm trơn hoặc điểm chính quy; nếu không thì nó là một điểm số ít . Đặc biệt, nếu đường cong là một đường cong đại số xạ ảnh phẳng, được xác định bởi một phương trình đa thức thuần nhất f ( x , y , z ) = 0, thì các điểm kỳ dị chính xác là các điểm P nơi hạng của 1 × ( n + 1) ma trận bằng 0, nghĩa là, trong đó

${\ displaystyle {\ frac {\ một phần f} {\ một phần x}} (P) = {\ frac {\ một phần f} {\ một phần y}} (P) = {\ frac {\ một phần f} {\ một phần z}} (P) = 0.}$

Vì f là một đa thức, định nghĩa này hoàn toàn là đại số và không đưa ra giả thiết nào về bản chất của trường F , đặc biệt không cần phải là các số thực hoặc số phức. Tất nhiên, cần phải nhớ rằng (0,0,0) không phải là một điểm của đường cong và do đó không phải là một điểm kỳ dị.

Tương tự, đối với một đường cong đại số affine được xác định bởi một phương trình đa thức đơn f ( x , y ) = 0, thì các điểm kỳ dị chính xác là các điểm P của đường cong mà hạng của ma trận Jacobian 1 × n bằng 0, nghĩa là, Ở đâu

${\ displaystyle f (P) = {\ frac {\ một phần f} {\ một phần x}} (P) = {\ frac {\ một phần f} {\ một phần y}} (P) = 0.}$

Các điểm kỳ dị của một đường cong không phải là bất biến nhị phân. Tuy nhiên, định vị và phân loại các điểm kỳ dị của một đường cong là một cách để tính toán chi , là một bất biến nhị phân . Để điều này hoạt động, chúng ta nên xem xét đường cong một cách khách quan và yêu cầu F phải đóng theo phương pháp đại số, để tất cả các điểm kỳ dị thuộc về đường cong đều được xem xét.

Phân loại các điểm kỳ dị

x ³  = y ²

Các điểm đơn lẻ bao gồm nhiều điểm mà đường cong cắt ngang qua chính nó và cũng có nhiều dạng đỉnh khác nhau , ví dụ như được thể hiện bởi đường cong với phương trình x ³  = y ² tại (0,0).

Một đường cong C có nhiều nhất một số điểm kỳ dị hữu hạn. Nếu nó không có, nó có thể được gọi là trơn tru hoặc không số ít . Thông thường, định nghĩa này được hiểu theo trường đóng đại số và cho đường cong C trong không gian xạ ảnh (tức là hoàn chỉnh theo nghĩa hình học đại số). Ví dụ, đường cong mặt phẳng của phương trình${\ displaystyle yx ^ {3} = 0}$ được coi là số ít, vì có một điểm kỳ dị (một đỉnh) ở vô cùng.

Trong phần còn lại của phần này, người ta coi một đường cong phẳng C được xác định là tập 0 của một đa thức hai biến f ( x , y ) . Một số kết quả, nhưng không phải tất cả, có thể được tổng quát thành các đường cong không phẳng.

Các điểm kỳ dị được phân loại theo một số bất biến. Bội số m được định nghĩa là số nguyên lớn nhất sao cho các đạo hàm của f với tất cả các bậc lên đến m - 1 biến mất (cũng là số giao điểm nhỏ nhất giữa đường cong và đường thẳng tại P ). Bằng trực giác, một điểm kỳ dị có đồng bằng bất biến δ nếu nó tập trung δ điểm đôi bình thường tại P . Để làm cho điều này chính xác, quá trình thổi tung tạo ra cái gọi là điểm gần vô hạn , và tính tổng m ( m −1) / 2 trên các điểm gần vô hạn, trong đó m là bội số của chúng, tạo ra δ . Đối với một đường cong bất khả quy và thu gọn và một điểm P, chúng ta có thể xác định δ về mặt đại số là độ dài của${\ displaystyle {\ widetilde {{\ mathcal {O}} _ {P}}} / {\ mathcal {O}} _ {P}}$ Ở đâu ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {P}}$là vòng cục bộ tại P và${\ displaystyle {\ widetilde {{\ mathcal {O}} _ {P}}}}$là sự đóng tích phân của nó. ^[1]

Số Milnor μ của một điểm kỳ dị là mức độ của ánh xạgrad f ( x , y )/| grad  f ( x , y ) |trên hình cầu nhỏ bán kính ε, theo nghĩa là bậc tôpô của ánh xạ liên tục , trong đó grad  f là trường vectơ gradient (phức) của f . Nó liên quan đến δ và r bởi công thức Milnor – Jung ,

μ = 2δ - r + 1.

Ở đây, số nhánh r của P là số chi nhánh không thể rút gọn địa phương tại P . Ví dụ, r = 1 tại điểm đỉnh bình thường và r = 2 tại điểm kép bình thường. Bội số m ít nhất là r , và P là số ít nếu và chỉ khi m nhỏ nhất là 2. Hơn nữa, δ ít nhất là m ( m -1) / 2.

Tính toán các bất biến delta của tất cả các điểm kỳ dị cho phép xác định chi g của đường cong; nếu d là độ, thì

${\ displaystyle g = {\ frac {1} {2}} (d-1) (d-2) - \ sum _ {P} \ delta _ {P},}$

trong đó tổng được lấy trên tất cả các điểm kỳ dị P của đường cong mặt phẳng xạ ảnh phức tạp. Nó được gọi là công thức chi .

Gán các bất biến [ m , δ, r ] cho điểm kỳ dị, trong đó m là bội, δ là bất biến delta và r là số phân nhánh. Khi đó đỉnh thông thường là điểm có bất biến [2,1,1] và điểm kép thông thường là điểm có bất biến [2,1,2], và điểm thông thường m- đa bội là điểm có bất biến [ m , m ( m −1) / 2, m ].

Đường cong hợp lý

Một đường cong hợp lý , cũng được gọi là một đường cong unicursal, là bất kỳ đường cong đó là birationally tương đương với một dòng, mà chúng tôi có thể để trở thành một dòng projective; theo đó, chúng ta có thể đồng nhất trường hàm của đường cong với trường hàm hữu tỉ trong một F ( x ) không xác định . Nếu F là đóng đại số, điều này tương đương với một đường cong của chi 0; tuy nhiên, trường của tất cả các hàm đại số thực được xác định trên đa dạng đại số thực x ² + y ²  = −1 là trường của chi số 0 không phải là trường hàm hữu tỉ.

Cụ thể, một đường cong hữu tỷ nhúng trong không gian afin có chiều n trên F có thể được tham số hóa (ngoại trừ các điểm đặc biệt riêng biệt) bằng n hàm hữu tỷ của một tham số t duy nhất ; bằng cách giảm các hàm hữu tỉ này xuống cùng một mẫu số, n +1 đa thức tạo thành xác định một tham số đa thức về sự hoàn thành xạ ảnh của đường cong trong không gian xạ ảnh. Một ví dụ là đường cong chuẩn tắc hữu tỉ , trong đó tất cả các đa thức này đều là đơn thức .

Bất kỳ đoạn conic nào được xác định trên F với một điểm hợp lý trong F là một đường cong hữu tỷ. Nó có thể được tham số hóa bằng cách vẽ một đường thẳng có hệ số góc t đi qua điểm hợp lý, và một giao điểm với đường cong bậc hai mặt phẳng; điều này cho ta một đa thức với hệ số F và một gốc F , do đó căn còn lại cũng là F -rational (tức là cũng thuộc F ).

x ² + xy + y ² = 1

Ví dụ, xét hình elip x ² + xy + y ²  = 1, trong đó (−1, 0) là một điểm hữu tỉ. Vẽ một đường thẳng có hệ số góc t từ (−1,0), y  = t ( x +1), thay nó vào phương trình của elip, tính thừa và giải cho x , chúng ta thu được

${\ displaystyle x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t + t ^ {2}}}.}$

Khi đó phương trình của y là

${\ displaystyle y = t (x + 1) = {\ frac {t (t + 2)} {1 + t + t ^ {2}}} \ ,,}$

xác định một tham số hóa hữu tỉ của elip và do đó cho thấy elip là một đường cong hữu tỉ. Tất cả các điểm của elip đã cho, ngoại trừ (−1,1), tương ứng với t  = ∞; Do đó, toàn bộ đường cong được tham số hóa bởi đường xạ ảnh thực.

Một tham số hóa hữu tỷ như vậy có thể được xem xét trong không gian xạ ảnh bằng cách cân bằng tọa độ xạ ảnh đầu tiên với tử số của tham số hóa và tọa độ cuối cùng với mẫu số chung. Vì tham số được xác định trong một dòng xạ ảnh, các đa thức trong tham số phải được đồng nhất . Ví dụ, tham số xạ ảnh của hình elip trên là

${\ displaystyle X = U ^ {2} -T ^ {2}, \ quad Y = T \, (T + 2 \, U), \ quad Z = T ^ {2} + TU + U ^ {2} .}$

Loại bỏ T và U giữa các phương trình này, chúng ta nhận lại được phương trình xạ ảnh của hình elip

${\ displaystyle X ^ {2} + X \, Y + Y ^ {2} = Z ^ {2},}$

có thể dễ dàng thu được trực tiếp bằng cách đồng nhất phương trình trên.

Nhiều đường cong trong danh sách các đường cong của Wikipedia là hợp lý và do đó có các tham số hợp lý tương tự.

Đường cong mặt phẳng hợp lý

Đường cong mặt phẳng hợp lý là đường cong hợp lý được nhúng vào ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$. Đã đưa ra các phần chung chung${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, s_ {3} \ in \ Gamma (\ mathbb {P} ^ {1}, {\ mathcal {O}} (d))}$ mức độ ${\ displaystyle d}$ đa thức thuần nhất trong hai tọa độ, ${\ displaystyle x, y}$, có một bản đồ

${\ displaystyle s: \ mathbb {P} ^ {1} \ to \ mathbb {P} ^ {2}}$ được cho bởi ${\ displaystyle s ([x: y]) = [s_ {1} ([x: y]): s_ {2} ([x: y]): s_ {3} ([x: y])]}$

xác định một đường cong mặt phẳng hợp lý của độ ${\ displaystyle d}$. ^[2] Có một không gian moduli liên quan ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {0,0} (\ mathbb {P} ^ {2}, d \ cdot [H])}$ (Ở đâu ${\ displaystyle [H]}$là lớp siêu phẳng) tham số hóa tất cả các đường cong ổn định như vậy . Một số thứ nguyên có thể được thực hiện để xác định kích thước không gian moduli: Có${\ displaystyle d + 1}$ tham số trong ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbb {P} ^ {1}, {\ mathcal {O}} (d))}$ cho ${\ displaystyle 3d + 3}$tổng các tham số cho mỗi phần. Sau đó, vì chúng được coi là thương số xạ ảnh trong${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ có ${\ displaystyle 1}$ ít tham số hơn trong ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$. Hơn nữa, có một nhóm ba chiều của tự động hóa${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$, vì thế ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ có kích thước ${\ displaystyle 3d + 3-1-3 = 3d-1}$. Khoảng trắng moduli này có thể được sử dụng để đếm số${\ displaystyle N_ {d}}$ mức độ ${\ displaystyle d}$ đường cong mặt phẳng hợp lý cắt nhau ${\ displaystyle 3d-1}$sử dụng lý thuyết Gromov – Witten . ^[3] Nó được đưa ra bởi quan hệ đệ quy