Hình học đại số

Zeros của đa thức đồng thời

Hình cầu và hình tròn nghiêng

Trong hình học đại số cổ điển, đối tượng quan tâm chính là các tập hợp biến mất của các tập hợp các đa thức , nghĩa là tập hợp tất cả các điểm đồng thời thỏa mãn một hoặc nhiều phương trình đa thức . Ví dụ, hình cầu hai chiều bán kính 1 trong không gian Euclid ba chiều R ³ có thể được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm ( x , y , z ) với

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0. \,}$

Đường tròn "xiên" trong R ³ có thể được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm ( x , y , z ) thỏa mãn hai phương trình đa thức

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0, \,}$

${\ displaystyle x + y + z = 0. \,}$

Các giống Affine

Đầu tiên chúng ta bắt đầu với trường k . Trong hình học đại số cổ điển, trường này luôn là các số phức C , nhưng nhiều kết quả tương tự cũng đúng nếu chúng ta chỉ giả sử rằng k là đóng đại số . Chúng ta xem xét không gian afin của chiều n trên k , được ký hiệu là A ⁿ ( k ) (hay đơn giản hơn là A ⁿ , khi k rõ ràng với ngữ cảnh). Khi sửa một hệ tọa độ, người ta có thể xác định A ⁿ ( k ) với k ⁿ . Mục đích của việc không làm việc với k ⁿ là để nhấn mạnh rằng người ta "quên" cấu trúc không gian vectơ mà k ⁿ mang theo.

Một hàm f  : A ⁿ → A ¹ được cho là đa thức (hoặc chính quy ) nếu nó có thể được viết dưới dạng đa thức, nghĩa là, nếu có một đa thức p trong k [ x ₁ , ..., x _n ] như vậy rằng f ( M ) = p ( t ₁ , ..., t _n ) với mọi điểm M có tọa độ ( t ₁ , ..., t _n ) trong A ⁿ . Tính chất của một hàm là đa thức (hoặc chính quy) không phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ tọa độ trong A ⁿ .

Khi một hệ tọa độ được chọn, các hàm chính quy trên không gian afin n có thể được xác định với vành các hàm đa thức trong n biến trên k . Do đó, tập các hàm chính quy trên A ⁿ là một vành, được ký hiệu là k [ A ⁿ ].

Chúng ta nói rằng một đa thức biến mất tại một điểm nếu đánh giá nó tại thời điểm đó cho kết quả bằng không. Gọi S là tập các đa thức trong k [ A ⁿ ]. Tập biến mất của S (hoặc quỹ tích biến mất hoặc tập 0 ) là tập V ( S ) của tất cả các điểm trong A ⁿ trong đó mọi đa thức trong S đều biến mất. Nói một cách hình tượng,

${\ displaystyle V (S) = \ {(t_ {1}, \ dot, t_ {n}) \ mid p (t_ {1}, \ dot, t_ {n}) = 0 {\ text {cho tất cả} } p \ trong S \}. \,}$

Một tập hợp con của A ⁿ là V ( S ), đối với S nào đó , được gọi là tập đại số . Các V là viết tắt của nhiều (một loại hình cụ thể của bộ đại số được định nghĩa dưới đây).

Cho một tập con U của A ⁿ , người ta có thể khôi phục tập các đa thức tạo ra nó không? Nếu U là bất kỳ tập hợp con của A ⁿ , xác định tôi ( U ) là tập tất cả các đa thức có biến mất bộ chứa U . Các tôi là viết tắt của lý tưởng : nếu hai đa thức f và g cả hai biến mất trên U , sau đó f + g Vanishes trên U , và nếu h là bất kỳ đa thức, sau đó hf biến mất trên U , vì vậy tôi ( U ) luôn luôn là một lý tưởng của đa thức vòng k [ A ⁿ ].

Hai câu hỏi tự nhiên cần hỏi là:

• Cho một tập con U của A ⁿ , khi nào thì U = V ( I ( U ))?
• Cho một tập đa thức S , khi nào thì S = I ( V ( S ))?

Câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên được cung cấp bằng cách giới thiệu cấu trúc liên kết Zariski , một cấu trúc liên kết trên A ⁿ có các tập đóng là các tập đại số và phản ánh trực tiếp cấu trúc đại số của k [ A ⁿ ]. Khi đó U = V ( I ( U )) nếu và chỉ khi U là một tập đại số hoặc tương đương là một tập đóng Zariski. Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai được đưa ra bởi Nullstellensatz của Hilbert . Trong một trong những hình thức của nó, nó nói rằng tôi ( V ( S )) là triệt để trong những lý tưởng được tạo ra bởi S . Trong ngôn ngữ trừu tượng hơn, có một kết nối Galois , tạo ra hai toán tử đóng ; chúng có thể được xác định, và tự nhiên đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết; các ví dụ được nêu rõ tại kết nối Galois.

Vì nhiều lý do chúng tôi có thể không phải lúc nào muốn làm việc với toàn bộ lý tưởng tương ứng với một bộ đại số U . Định lý cơ sở của Hilbert ngụ ý rằng các iđêan trong k [ A ⁿ ] luôn sinh ra hữu hạn.

Một tập đại số được gọi là bất khả quy nếu nó không thể được viết dưới dạng hợp của hai tập đại số nhỏ hơn. Bất kỳ tập đại số nào cũng là một tập hợp hữu hạn của các tập đại số bất khả quy và sự phân rã này là duy nhất. Do đó các phần tử của nó được gọi là thành phần bất khả quy của tập đại số. Một bộ đại số không thể rút gọn còn được gọi là đa dạng . Nó chỉ ra rằng một tập hợp đại số là một tập hợp nếu và chỉ khi nó có thể được định nghĩa là tập hợp biến mất của một lý tưởng nguyên tố của vành đa thức.

Một số tác giả không phân biệt rõ ràng giữa các bộ đại số và các giống và sử dụng các giống bất khả kháng để phân biệt khi cần thiết.

Chức năng thông thường

Cũng giống như các hàm liên tục là các bản đồ tự nhiên trên không gian tôpô và các hàm trơn là các bản đồ tự nhiên trên các đa tạp có thể phân biệt , có một lớp hàm tự nhiên trên một tập đại số, được gọi là hàm chính quy hoặc hàm đa thức . Một hàm chính quy trên tập đại số V chứa trong A ⁿ là giới hạn đối với V của một hàm chính quy trên A ⁿ . Đối với một tập đại số được xác định trên trường của số phức, các hàm thông thường là phân tích trơn tru và đồng đều .

Có vẻ hạn chế một cách bất thường khi yêu cầu một hàm thông thường luôn mở rộng đến không gian xung quanh, nhưng nó rất giống với tình huống trong một không gian tôpô bình thường , trong đó định lý mở rộng Tietze đảm bảo rằng một hàm liên tục trên một tập con đóng luôn mở rộng đến không gian tôpô xung quanh.

Cũng giống như với các hàm thông thường trên không gian affine, các hàm thông thường trên V tạo thành một vành, chúng ta ký hiệu là k [ V ]. Chiếc nhẫn này được gọi là vòng phối hợp của V .

Vì các hàm chính quy trên V xuất phát từ các hàm chính quy trên A ⁿ nên có mối quan hệ giữa các vành tọa độ. Cụ thể, nếu một hàm chính quy trên V là giới hạn của hai hàm f và g trong k [ A ⁿ ], thì f  -  g là một hàm đa thức rỗng trên V và do đó thuộc I ( V ). Do đó k [ V ] có thể được xác định với k [ A ⁿ ] / I ( V ).

Biến thái của các giống affine

Sử dụng các hàm thông thường từ một loại affine đến A ¹ , chúng ta có thể xác định các bản đồ thông thường từ một loại affine khác. Đầu tiên, chúng ta sẽ định nghĩa một ánh xạ thông thường từ một loại vào không gian affine: Cho V là một loại chứa trong A ⁿ . Chọn m hàm chính quy trên V và gọi chúng là f ₁ , ..., f _m . Chúng ta xác định một ánh xạ chính quy f từ V đến A ^m bằng cách cho f = ( f ₁ , ..., f _m ) . Nói cách khác, mỗi f _i xác định một tọa độ trong khoảng của f .

Nếu V ′ là một đa dạng chứa trong A ^m , chúng ta nói rằng f là một ánh xạ chính quy từ V đến V ′ nếu khoảng của f nằm trong V ′.

Định nghĩa của các bản đồ thông thường cũng áp dụng cho các tập đại số. Các bản đồ thông thường còn được gọi là biến hình , vì chúng làm cho tập hợp tất cả các tập đại số affine thành một loại , trong đó các đối tượng là các tập đại số affine và các hình thái là các bản đồ thông thường. Các giống affine là một tiểu thể loại của danh mục các bộ đại số.

Cho một ánh xạ chính quy g từ V đến V ′ và một hàm chính quy f của k [ V ′], khi đó f ∘ g ∈ k [ V ] . Ánh xạ f → f ∘ g là một phép đồng hình vành từ k [ V ′] đến k [ V ]. Ngược lại, mọi phép đồng cấu vành từ k [ V ′] đến k [ V ] xác định một ánh xạ chính quy từ V đến V ′. Điều này xác định một tương đương của loại giữa các chủng loại bộ đại số và các loại đối diện của hữu hạn tạo ra giảm k -algebras. Sự tương đương này là một trong những điểm khởi đầu của lý thuyết lược đồ .

Hàm hợp lý và tính tương đương hai số

Ngược lại với các phần trước, phần này chỉ liên quan đến các giống chứ không phải các tập đại số. Mặt khác, các định nghĩa mở rộng một cách tự nhiên cho các giống xạ ảnh (phần tiếp theo), vì một giống affine và việc hoàn thành xạ ảnh của nó có cùng một lĩnh vực chức năng.

Nếu V là một loạt affine, phối hợp chiếc nhẫn của nó là một miền không thể thiếu và có như vậy một lĩnh vực phân số được ký hiệu là k ( V ) và được gọi là lĩnh vực chức năng hợp lý trên V hay, trong thời gian ngắn, các lĩnh vực chức năng của V . Phần tử của nó là những hạn chế đối với V của chức năng hợp lý trong không gian affine chứa V . Các miền của một hàm hợp lý f không phải là V nhưng bổ sung của subvariety (một hypersurface), nơi mẫu số của f biến mất.

Như với các bản đồ thông thường, người ta có thể xác định một bản đồ hợp lý từ nhiều loại V đến nhiều loại V '. Cũng như với các bản đồ thông thường, các bản đồ hữu tỉ từ V đến V 'có thể được xác định thành các phép đồng hình trên thực địa từ k ( V ') đến k ( V ).

Hai giống affine tương đương về mặt hai mặt nếu có hai hàm hợp lý giữa chúng nghịch đảo với nhau trong các vùng mà cả hai đều được xác định. Tương đương, chúng tương đương hai bậc nếu các trường hàm của chúng là đẳng cấu.

Giống affine là giống hợp lý nếu nó tương đương về mặt hai mặt với không gian affine. Điều này có nghĩa là giống thừa nhận một tham số hóa hợp lý , đó là một tham số hóa với các hàm hợp lý . Ví dụ, vòng tròn của phương trình${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$là một đường cong hữu tỉ, vì nó có phương trình tham số

${\ displaystyle x = {\ frac {2 \, t} {1 + t ^ {2}}}}$

${\ displaystyle y = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ ,,}$

mà cũng có thể được xem như một bản đồ hợp lý từ đường thẳng đến vòng tròn.

Vấn đề của việc giải quyết các điểm kỳ dị là phải biết liệu mọi giống đại số có tương đương hai bậc với một giống mà sự hoàn thành xạ ảnh không (xem thêm phần hoàn thành trơn tru ). Nó đã được Heisuke Hironaka giải trong câu khẳng định ở đặc tính 0 vào năm 1964 và vẫn chưa được giải trong đặc tính hữu hạn.

Khách quan đa dạng

Hình parabol ( y = x ² , màu đỏ) và hình khối ( y = x ³ , màu xanh lam) trong không gian xạ ảnh

Cũng giống như các công thức về gốc của đa thức bậc hai, bậc ba và bậc bốn gợi ý mở rộng các số thực đến thiết lập hoàn chỉnh hơn về mặt đại số của các số phức, nhiều tính chất của các dạng đại số gợi ý mở rộng không gian afin thành một không gian xạ ảnh hoàn chỉnh hơn về mặt hình học. Trong khi số phức thu được bằng cách thêm số i , một căn của đa thức x ² + 1 , thì không gian xạ ảnh thu được bằng cách thêm vào các điểm thích hợp "ở vô cùng", các điểm mà các đường thẳng song song có thể gặp nhau.

Để xem điều này có thể xảy ra như thế nào, hãy xem xét sự đa dạng V ( y - x ² ) . Nếu chúng ta vẽ nó, chúng ta sẽ có một hình parabol . Khi x đi đến dương vô cùng, hệ số góc của đường từ điểm gốc đến điểm ( x ,  x ² ) cũng theo dương vô cùng. Khi x đi đến âm vô cùng, thì hệ số góc của đường thẳng tiến về âm vô cùng.

So sánh điều này với giống V ( y  -  x ³ ). Đây là một đường cong hình khối . Khi x đi đến dương vô cùng, hệ số góc của đường từ điểm gốc đến điểm ( x ,  x ³ ) theo dương vô cùng như trước đó. Nhưng không giống như trước đây, khi x đi đến âm vô cùng, hệ số góc của cùng một đường cũng tiến về dương vô cùng; hoàn toàn ngược lại với parabol. Vì vậy, hành vi "ở vô cùng" của V ( y  -  x ³ ) khác với hành vi "ở vô cùng" của V ( y  -  x ² ).

Việc xem xét sự hoàn thành xạ ảnh của hai đường cong, đó là sự kéo dài của chúng "ở vô cùng" trong mặt phẳng xạ ảnh , cho phép chúng ta định lượng sự khác biệt này: điểm ở vô cùng của parabol là một điểm chính quy , có tiếp tuyến là đường ở vô cùng. , trong khi điểm ở vô cực của đường cong hình khối là một đỉnh . Ngoài ra, cả hai đường cong đều hữu tỷ, vì chúng được tham số hóa bởi x , và định lý Riemann-Roch ngụ ý rằng đường cong lập phương phải có một điểm kỳ dị, điểm này phải ở vô cùng, vì tất cả các điểm của nó trong không gian afin là chính tắc.

Do đó, nhiều thuộc tính của các giống đại số, bao gồm tính tương đương hai thế hệ và tất cả các thuộc tính tôpô, phụ thuộc vào hành vi "ở vô cùng" và vì vậy việc nghiên cứu các giống trong không gian xạ ảnh là điều đương nhiên. Hơn nữa, sự ra đời của các kỹ thuật xạ ảnh đã làm cho nhiều định lý trong hình học đại số trở nên đơn giản và sắc nét hơn: Ví dụ, định lý Bézout về số giao điểm giữa hai giống có thể được phát biểu ở dạng sắc nét nhất chỉ trong không gian xạ ảnh. Vì những lý do này, không gian xạ ảnh đóng một vai trò cơ bản trong hình học đại số.

Ngày nay, không gian xạ ảnh P ⁿ có chiều n thường được định nghĩa là tập các đường thẳng đi qua một điểm, được coi là điểm gốc, trong không gian afin có chiều n + 1 , hoặc tương đương với tập các đường vectơ trong a không gian vectơ có chiều n + 1 . Khi một hệ tọa độ đã được chọn trong không gian có chiều n + 1 , tất cả các điểm của một đường thẳng có cùng một tập tọa độ, tính đến phép nhân với một phần tử của k . Điều này xác định tọa độ thuần nhất của một điểm P ⁿ là một dãy gồm n + 1 phần tử của trường cơ sở k , được xác định cho đến phép nhân với một phần tử khác của k (giống nhau đối với toàn bộ dãy).

Một đa thức trong n + 1 biến biến mất tại tất cả các điểm của đường thẳng đi qua gốc nếu và chỉ khi nó là thuần nhất . Trong trường hợp này, người ta nói rằng đa thức biến mất tại điểm tương ứng của P ⁿ . Điều này cho phép chúng ta xác định một tập đại số xạ ảnh trong P ⁿ là tập V ( f ₁ , ..., f _k ) , trong đó tập hữu hạn các đa thức thuần nhất { f ₁ , ..., f _k } biến mất. Giống như đối với các tập đại số affine, có một phép phân chia giữa các tập đại số xạ ảnh và các iđêan thuần nhất rút gọn xác định chúng. Các giống xạ ảnh là các tập đại số xạ ảnh mà lý tưởng xác định là số nguyên tố. Nói cách khác, một giống xạ ảnh là một tập đại số xạ ảnh, có vành tọa độ thuần nhất là miền tích phân , vành tọa độ xạ ảnh được xác định là thương của vành được phân cấp hoặc các đa thức trong n + 1 biến bởi lý tưởng thuần nhất (rút gọn). xác định giống. Mọi tập đại số xạ ảnh có thể được phân tách duy nhất thành một tổ hợp hữu hạn của các giống xạ ảnh.

Các hàm chính quy duy nhất có thể được định nghĩa đúng trên nhiều phương pháp xạ ảnh là các hàm hằng số. Vì vậy, khái niệm này không được sử dụng trong các tình huống xạ ảnh. Mặt khác, trường hàm hữu tỷ hay trường hàm là một khái niệm hữu ích, tương tự như trường hợp affine, được định nghĩa là tập hợp các thương của hai phần tử đồng nhất có cùng bậc trong vành tọa độ thuần nhất.

Hình học đại số thực là nghiên cứu các điểm thực của các giống đại số.

Thực tế là trường các số thực là một trường có thứ tự không thể bị bỏ qua trong một nghiên cứu như vậy. Ví dụ, đường cong của phương trình${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -a = 0}$ là một vòng tròn nếu ${\ displaystyle a> 0}$, nhưng không có bất kỳ điểm thực sự nào nếu ${\ displaystyle a <0}$. Theo đó, hình học đại số thực không chỉ là nghiên cứu các giống đại số thực, mà đã được khái quát hóa thành nghiên cứu các tập bán đại số , là nghiệm của các hệ phương trình đa thức và bất phương trình đa thức. Ví dụ, một nhánh của phương trình hyperbol${\ displaystyle xy-1 = 0}$ không phải là một tập hợp đại số, nhưng là một tập hợp bán đại số được xác định bởi ${\ displaystyle xy-1 = 0}$ và ${\ displaystyle x> 0}$ hoặc bằng cách ${\ displaystyle xy-1 = 0}$ và ${\ displaystyle x + y> 0}$.

Một trong những bài toán khó của hình học đại số thực là bài toán thứ mười sáu của Hilbert chưa giải được : Quyết định vị trí tương ứng nào có thể xảy ra đối với các hình bầu dục của đường cong phẳng phin có bậc 8.

Người ta có thể xác định nguồn gốc của hình học đại số tính toán là cuộc họp EUROSAM'79 (Hội nghị chuyên đề quốc tế về thao tác biểu tượng và đại số) được tổ chức tại Marseille , Pháp vào tháng 6 năm 1979. Tại cuộc họp này,

• Dennis S. Arnon cho thấy George E. Collins 's trụ phân hủy đại số (CAD) cho phép tính toán của topo của bộ bán đại số,
• Bruno Buchberger đã trình bày các cơ sở của Gröbner và thuật toán của ông để tính toán chúng,
• Daniel Lazard đã trình bày một thuật toán mới để giải các hệ phương trình đa thức thuần nhất với độ phức tạp tính toán về cơ bản là đa thức với số nghiệm dự kiến ​​và do đó chỉ đơn giản là cấp số nhân với số ẩn số. Thuật toán này có liên quan chặt chẽ với kết quả đa biến của Macaulay .

Kể từ đó, hầu hết các kết quả trong lĩnh vực này đều có liên quan đến một hoặc một số mục này bằng cách sử dụng hoặc cải tiến một trong các thuật toán này hoặc bằng cách tìm các thuật toán có độ phức tạp chỉ đơn giản là hàm mũ trong số các biến.

Một nhóm lý thuyết toán học bổ sung cho các phương pháp ký hiệu được gọi là hình học đại số số đã được phát triển trong vài thập kỷ qua. Phương pháp tính toán chính là tiếp tục đồng hình . Điều này hỗ trợ, ví dụ, một mô hình tính toán dấu phẩy động để giải quyết các vấn đề của hình học đại số.

Cơ sở Gröbner

Một cơ sở Gröbner là một hệ thống máy phát điện của một đa thức lý tưởng mà tính toán cho phép khấu trừ của nhiều thuộc tính của sự đa dạng đại số affine xác định bởi các lý tưởng.

Cho một lý tưởng, tôi xác định một tập đại số V :

• V trống (trên phần mở rộng đóng đại số của trường cơ sở), nếu và chỉ khi cơ sở Gröbner cho bất kỳ thứ tự đơn thức nào được giảm xuống {1}.
• Bằng chuỗi Hilbert, người ta có thể tính thứ nguyên và bậc của V từ bất kỳ cơ sở Gröbner nào của I cho một thứ tự đơn thức tinh chỉnh tổng bậc.
• Nếu số chiều của V là 0, người ta có thể tính các điểm (số hữu hạn) của V từ bất kỳ cơ sở Gröbner nào của I (xem Hệ phương trình đa thức ).
• Một phép tính cơ sở của Gröbner cho phép người ta loại bỏ khỏi V tất cả các thành phần bất khả quy được chứa trong một siêu bề mặt nhất định.
• Một phép tính cơ sở của Gröbner cho phép người ta tính toán đóng Zariski của hình ảnh của V bằng phép chiếu trên k tọa độ đầu tiên và tập hợp con của hình ảnh mà phép chiếu không đúng.
• Tổng quát hơn các phép tính cơ sở của Gröbner cho phép người ta tính điểm đóng Zariski của hình ảnh và các điểm tới hạn của một hàm hợp lý của V thành một dạng affine khác.

Các phép tính cơ sở Gröbner không cho phép người ta tính toán trực tiếp phép phân rã chính của I cũng như các iđêan nguyên tố xác định các thành phần bất khả quy của V , nhưng hầu hết các thuật toán cho điều này liên quan đến phép tính cơ sở Gröbner. Các thuật toán không dựa trên cơ sở Gröbner sử dụng chuỗi thông thường nhưng có thể cần cơ sở Gröbner trong một số trường hợp ngoại lệ.

Các cơ sở Gröbner được coi là khó tính toán. Trên thực tế, chúng có thể chứa, trong trường hợp xấu nhất, các đa thức có bậc của nó là cấp số nhân đôi về số biến và một số đa thức cũng có cấp số nhân đôi. Tuy nhiên, đây chỉ là độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất và độ phức tạp của thuật toán Lazard năm 1979 có thể thường xuyên áp dụng. Thuật toán Faugère F5 nhận ra sự phức tạp này, vì nó có thể được xem như một cải tiến của thuật toán năm 1979 của Lazard. Theo đó, các triển khai tốt nhất cho phép người ta tính toán gần như thường xuyên với các bộ đại số có bậc lớn hơn 100. Điều này có nghĩa là hiện tại, độ khó của việc tính toán cơ sở Gröbner có liên quan chặt chẽ đến độ khó nội tại của bài toán.

Phân rã đại số hình trụ (CAD)

CAD là một thuật toán được giới thiệu vào năm 1973 bởi G. Collins để thực hiện với độ phức tạp có thể chấp nhận được định lý Tarski – Seidenberg về loại bỏ định lượng lượng tử trên các số thực.

Định lý này liên quan đến các công thức của logic bậc nhất mà công thức nguyên tử là các đa thức bằng nhau hoặc bất đẳng thức giữa các đa thức với hệ số thực. Do đó, các công thức này là các công thức có thể được xây dựng từ các công thức nguyên tử bởi các toán tử logic và (∧), hoặc (∨), không phải (¬), cho tất cả (∀) và tồn tại (∃). Định lý Tarski khẳng định rằng, từ một công thức như vậy, người ta có thể tính một công thức tương đương mà không cần định lượng (∀, ∃).

Độ phức tạp của CAD tăng gấp đôi theo cấp số nhân về số lượng biến. Điều này có nghĩa là CAD cho phép, về mặt lý thuyết, giải quyết mọi vấn đề của hình học đại số thực có thể được biểu thị bằng một công thức như vậy, đó là hầu hết mọi vấn đề liên quan đến các giống và tập bán đại số cho trước một cách rõ ràng.

Trong khi tính toán cơ sở Gröbner có độ phức tạp gấp đôi theo cấp số nhân chỉ trong một số trường hợp hiếm hoi, thì CAD hầu như luôn có độ phức tạp cao này. Điều này ngụ ý rằng, trừ khi nếu hầu hết các đa thức xuất hiện trong đầu vào là tuyến tính, nó có thể không giải quyết các vấn đề với nhiều hơn bốn biến.

Kể từ năm 1973, hầu hết các nghiên cứu về chủ đề này được dành để cải thiện CAD hoặc tìm các thuật toán thay thế trong các trường hợp đặc biệt được quan tâm chung.

Như một ví dụ về hiện đại, có các thuật toán hiệu quả để tìm ít nhất một điểm trong mọi thành phần được kết nối của tập bán đại số và do đó để kiểm tra xem tập bán đại số có trống hay không. Mặt khác, trên thực tế, CAD vẫn là thuật toán tốt nhất để đếm số lượng các thành phần được kết nối.

Sự phức tạp tiệm cận so với hiệu quả thực tế

Các thuật toán tổng quát cơ bản của hình học tính toán có độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất theo cấp số nhân . Chính xác hơn, nếu d là bậc lớn nhất của đa thức đầu vào và n là số biến thì độ phức tạp của chúng tối đa là${\ displaystyle d ^ {2 ^ {cn}}}$đối với một số hằng số c và, đối với một số đầu vào, độ phức tạp ít nhất là${\ displaystyle d ^ {2 ^ {c'n}}}$cho một hằng số khác c ′.

Trong 20 năm cuối của thế kỷ 20, nhiều thuật toán khác nhau đã được giới thiệu để giải các bài toán con cụ thể với độ phức tạp tốt hơn. Hầu hết các thuật toán này có độ phức tạp${\ displaystyle d ^ {O (n ^ {2})}}$. ^{[ cần dẫn nguồn ]}

Trong số các thuật toán giải quyết một bài toán con của các bài toán được giải bằng cơ sở Gröbner, người ta có thể trích dẫn thử nghiệm nếu một loại affine rỗng và giải các hệ đa thức không thuần nhất có số nghiệm hữu hạn. Các thuật toán như vậy hiếm khi được thực hiện bởi vì, trên hầu hết các mục, các thuật toán F4 và F5 của Faugère có hiệu quả thực tế tốt hơn và có thể là độ phức tạp tương tự hoặc tốt hơn ( có thể là do việc đánh giá độ phức tạp của các thuật toán cơ sở Gröbner trên một loại mục cụ thể là một nhiệm vụ khó khăn. chỉ được thực hiện trong một số trường hợp đặc biệt).

Các thuật toán chính của hình học đại số thực giải quyết một vấn đề được giải quyết bằng CAD có liên quan đến cấu trúc liên kết của các tập bán đại số. Người ta có thể trích dẫn việc đếm số lượng các thành phần được kết nối , kiểm tra xem hai điểm có nằm trong cùng các thành phần hay không hoặc tính toán phân tầng Whitney của một tập đại số thực . Họ có một sự phức tạp của${\ displaystyle d ^ {O (n ^ {2})}}$, nhưng hằng số liên quan bởi ký hiệu O quá cao nên việc sử dụng chúng để giải quyết bất kỳ vấn đề nhỏ nào được CAD giải quyết một cách hiệu quả, là không thể ngay cả khi người ta có thể sử dụng tất cả sức mạnh tính toán hiện có trên thế giới. Do đó, các thuật toán này chưa bao giờ được thực hiện và đây là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực để tìm kiếm các thuật toán có cùng độ phức tạp tiệm cận tốt và hiệu quả thực tế tốt.

Các phương pháp tiếp cận hiện đại đối với hình học đại số xác định lại và mở rộng hiệu quả phạm vi của các đối tượng cơ bản ở các mức độ tổng quát khác nhau thành các lược đồ, lược đồ chính thức , lược đồ ind , không gian đại số , ngăn xếp đại số , v.v. Nhu cầu về điều này đã nảy sinh từ những ý tưởng hữu ích trong lý thuyết về giống, ví dụ như các chức năng chính thức của Zariski có thể được đáp ứng bằng cách đưa các phần tử thuận vào các vòng cấu trúc; Việc xem xét không gian của các vòng và cung, xây dựng các thương bằng các hành động nhóm và phát triển các cơ sở chính thức cho lý thuyết giao điểm tự nhiên và lý thuyết biến dạng dẫn đến một số mở rộng hơn nữa.

Đáng chú ý nhất, vào cuối những năm 1950, các giống đại số được đưa vào khái niệm sơ đồ của Alexander Grothendieck . Các đối tượng cục bộ của chúng là các giản đồ affine hoặc phổ nguyên tố là các không gian vòng cục bộ tạo thành một loại đối nghịch với loại các vành đơn kim giao hoán, mở rộng tính đối ngẫu giữa loại đại số affine trên một trường k và loại sinh hữu hạn đại số k rút gọn . Việc dán là dọc theo cấu trúc liên kết Zariski; người ta có thể kết dính trong danh mục các không gian được khoanh vùng cục bộ, nhưng cũng có thể, bằng cách sử dụng phương pháp nhúng Yoneda, trong phạm trù trừu tượng hơn của các tập hợp trước so với loại lược đồ affine. Tôpô Zariski theo nghĩa lý thuyết tập hợp sau đó được thay thế bởi tôpô Grothendieck . Grothendieck đã giới thiệu các cấu trúc liên kết Grothendieck có những ví dụ kỳ lạ hơn nhưng tốt hơn về mặt hình học và nhạy cảm hơn so với cấu trúc liên kết Zariski thô, cụ thể là cấu trúc liên kết étale , và hai cấu trúc liên kết Grothendieck phẳng: fppf và fpqc; ngày nay một số ví dụ khác đã trở nên nổi bật bao gồm cả cấu trúc liên kết Nisnevich . Sheaves có thể được khái quát hơn nữa thành ngăn xếp theo nghĩa của Grothendieck, thường với một số điều kiện bổ sung về khả năng biểu diễn dẫn đến ngăn xếp Artin và thậm chí tốt hơn, ngăn xếp Deligne-Mumford , cả hai thường được gọi là ngăn xếp đại số.

Đôi khi các trang web đại số khác thay thế loại lược đồ affine. Ví dụ, Nikolai Durov đã giới thiệu các đơn thức đại số giao hoán như một sự tổng quát hóa của các đối tượng cục bộ trong một hình học đại số tổng quát. Các phiên bản của hình học nhiệt đới , của hình học tuyệt đối trên một trường của một phần tử và tương tự đại số của hình học Arakelov đã được thực hiện trong thiết lập này.

Một khái quát hóa chính thức khác có thể là hình học đại số phổ thông, trong đó mọi loại đại số đều có hình học đại số của riêng nó. Không nên nhầm lẫn thuật ngữ đa dạng đại số với đa dạng đại số .

Ngôn ngữ của lược đồ, ngăn xếp và tổng quát hóa đã được chứng minh là một cách có giá trị để xử lý các khái niệm hình học và trở thành nền tảng của hình học đại số hiện đại.

Các ngăn xếp đại số có thể được tổng quát hóa hơn nữa và đối với nhiều câu hỏi thực tế như lý thuyết biến dạng và lý thuyết giao điểm, đây thường là cách tiếp cận tự nhiên nhất. Người ta có thể mở rộng vị trí Grothendieck của các lược đồ affine đến một vị trí phân loại cao hơn của các lược đồ affine dẫn xuất , bằng cách thay thế các vành giao hoán bằng một loại vô hạn của các đại số giao hoán được phân cấp vi phân , hoặc các vành giao hoán đơn giản hoặc một loại tương tự với một biến thể thích hợp của Grothendieck cấu trúc liên kết. Người ta cũng có thể thay thế các tập trước của các tập bằng các tập trước của các tập đơn giản (hoặc của các nhóm vô hạn). Sau đó, với sự hiện diện của một máy đồng vị thích hợp, người ta có thể phát triển một khái niệm về ngăn xếp dẫn xuất như là một tập trước trên phạm trù vô cực của lược đồ affine dẫn xuất, đáp ứng phiên bản phân loại vô hạn nhất định của tiên đề bó (và là đại số, quy nạp là một dãy của các điều kiện về khả năng đại diện). Quillen loại mô hình , loại Segal và quasicategories là một số trong những công cụ thường được sử dụng để chính thức hóa này năng suất các hình học đại số có nguồn gốc , được giới thiệu bởi các trường của Carlos Simpson , bao gồm Andre Hirschowitz, Bertrand Toën , Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié và những người khác; và được phát triển thêm bởi Jacob Lurie , Bertrand Toën và Gabrielle Vezzosi . Một phiên bản khác (không tương tự) của hình học đại số dẫn xuất, sử dụng phạm trù A-infinity đã được phát triển từ đầu những năm 1990 bởi Maxim Kontsevich và những người theo học.

Trước thế kỷ 16

Một số gốc rễ của hình học đại số có từ công trình nghiên cứu của người Hy Lạp cổ đại từ thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. Các vấn đề Delian , ví dụ, là để xây dựng một chiều dài x sao cho lập phương của phía x chứa cùng một khối lượng như hộp hình chữ nhật một ² b cho bên cho một và b . Menaechmus (khoảng năm 350 trước Công nguyên) đã xem xét vấn đề trên phương diện hình học bằng cách giao nhau của cặp hình phẳng ay  =  x ² và xy  =  ab . ^[1] Vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, Archimedes và Apollonius đã nghiên cứu một cách có hệ thống các bài toán bổ sung về mặt cắt hình nón bằng cách sử dụng tọa độ. ^{[1] [2]} Các nhà toán học Hồi giáo thời Trung cổ , bao gồm cả Ibn al-Haytham vào thế kỷ thứ 10 sau Công nguyên, ^{[3] đã} giải một số phương trình bậc ba bằng các phương tiện đại số thuần túy và sau đó giải thích kết quả bằng hình học. Nhà toán học người Ba Tư Omar Khayyám (sinh năm 1048 sau Công Nguyên) đã khám phá ra phương pháp giải phương trình bậc ba bằng cách cắt một parabol với một đường tròn ^[4] và dường như là người đầu tiên hình thành lý thuyết tổng quát về phương trình bậc ba. ^[5] Một vài năm sau khi Omar Khayyam, Sharaf al-Din al-Tusi 's chuyên luận về phương trình đã được mô tả bởi Roshdi Rashed là 'khai mào đầu của hình học đại số'. ^[6] Điều này đã bị chỉ trích bởi Jeffrey Oaks, người cho rằng việc nghiên cứu đường cong bằng phương trình bắt nguồn từ Descartes vào thế kỷ XVII. ^[7]

Thời phục hưng

Những kỹ thuật áp dụng cấu trúc hình học vào các bài toán đại số như vậy cũng đã được một số nhà toán học thời Phục hưng như Gerolamo Cardano và Niccolò Fontana "Tartaglia" áp dụng vào nghiên cứu của họ về phương trình bậc ba. Cách tiếp cận hình học đối với các bài toán xây dựng, thay vì phương pháp đại số, được hầu hết các nhà toán học thế kỷ 16 và 17 ưa chuộng, đặc biệt là Blaise Pascal , người đã lập luận chống lại việc sử dụng các phương pháp đại số và giải tích trong hình học. ^[8] Các nhà toán học Pháp Franciscus Vieta và sau đó là René Descartes và Pierre de Fermat đã cách mạng hóa cách suy nghĩ thông thường về các vấn đề xây dựng thông qua sự ra đời của hình học tọa độ . Họ quan tâm chủ yếu đến các tính chất của đường cong đại số , chẳng hạn như các tính chất được xác định bởi phương trình Diophantine (trong trường hợp của Fermat), và việc định dạng lại đại số của các công trình Hy Lạp cổ điển về hình nón và lập phương (trong trường hợp của Descartes).

Trong cùng thời gian, Blaise Pascal và Gérard Desargues tiếp cận hình học từ một góc độ khác, phát triển các khái niệm tổng hợp về hình học xạ ảnh . Pascal và Desargues cũng nghiên cứu các đường cong, nhưng từ quan điểm hình học thuần túy: tương tự của thước đo Hy Lạp và cấu tạo la bàn . Cuối cùng, hình học giải tích của Descartes và Fermat đã chiến thắng, vì nó đã cung cấp cho các nhà toán học thế kỷ 18 những công cụ định lượng cụ thể cần thiết để nghiên cứu các vấn đề vật lý bằng cách sử dụng phép tính mới của Newton và Leibniz . Tuy nhiên, vào cuối thế kỷ 18, hầu hết các ký tự đại số của hình học tọa độ đã được gộp lại bằng phép tính các số cực kỳ của Lagrange và Euler .

Thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20

Phải mất thế kỷ 19 sự phát triển đồng thời của hình học phi Euclid và tích phân Abel để đưa những ý tưởng đại số cũ trở lại nếp hình học. Sự phát triển đầu tiên trong số những phát triển mới này do Edmond Laguerre và Arthur Cayley , những người đã cố gắng xác định các thuộc tính thước đo tổng quát của không gian xạ ảnh nắm bắt. Cayley đã giới thiệu ý tưởng về các dạng đa thức thuần nhất , và cụ thể hơn là các dạng bậc hai , trên không gian xạ ảnh. Sau đó, Felix Klein nghiên cứu hình học xạ ảnh (cùng với các dạng hình học khác) từ quan điểm rằng hình học trên không gian được mã hóa trong một lớp biến đổi nhất định trên không gian. Vào cuối thế kỷ 19, máy đo xạ ảnh đã nghiên cứu các dạng biến đổi tổng quát hơn trên các hình trong không gian xạ ảnh. Thay vì các phép biến đổi tuyến tính xạ ảnh thường được coi là cung cấp hình học Kleinian cơ bản trên không gian xạ ảnh, chúng cũng quan tâm đến các phép biến đổi nhị phân mức độ cao hơn . Khái niệm yếu hơn này về sự đồng dư sau đó sẽ dẫn đến các thành viên của trường phái hình học đại số Ý thế kỷ 20 phân loại các bề mặt đại số theo phép đẳng cấu nhị phân .

Sự phát triển thứ hai vào đầu thế kỷ 19, của tích phân Abel, sẽ dẫn Bernhard Riemann đến sự phát triển của các bề mặt Riemann .

Trong cùng thời kỳ bắt đầu đại số hóa hình học đại số thông qua đại số giao hoán . Các kết quả nổi bật theo hướng này là định lý cơ sở của Hilbert và Nullstellensatz của Hilbert , là cơ sở của mối liên hệ giữa hình học đại số và đại số giao hoán, và kết quả đa biến của Macaulay , là cơ sở của lý thuyết loại trừ . Có lẽ vì kích thước của phép tính được áp dụng bởi các kết quả đa biến, lý thuyết loại trừ đã bị lãng quên vào giữa thế kỷ 20 cho đến khi nó được đổi mới bởi lý thuyết kỳ dị và hình học đại số tính toán. ^[a]

Thế kỷ 20

BL van der Waerden , Oscar Zariski và André Weil đã phát triển một nền tảng cho hình học đại số dựa trên đại số giao hoán đương đại , bao gồm lý thuyết định giá và lý thuyết về lý tưởng . Một trong những mục tiêu là đưa ra một khuôn khổ nghiêm ngặt để chứng minh các kết quả của trường phái hình học đại số Ý . Đặc biệt, trường phái này đã sử dụng một cách có hệ thống khái niệm điểm chung chung mà không có bất kỳ định nghĩa chính xác nào, được các tác giả này đưa ra lần đầu tiên vào những năm 1930.

Trong những năm 1950 và 1960, Jean-Pierre Serre và Alexander Grothendieck đã đúc kết lại nền tảng của việc sử dụng lý thuyết sheaf . Sau đó, từ khoảng năm 1960, và phần lớn do Grothendieck lãnh đạo, ý tưởng về các kế hoạch đã được đưa ra, kết hợp với một bộ máy rất tinh vi của các kỹ thuật tương đồng . Sau một thập kỷ phát triển nhanh chóng, lĩnh vực này ổn định vào những năm 1970, và các ứng dụng mới đã được thực hiện, cả lý thuyết số và các câu hỏi hình học cổ điển hơn về các giống đại số, điểm kỳ dị , môđun và môđun hình thức .

Một lớp học quan trọng của giống, không dễ hiểu trực tiếp từ phương trình xác định của họ, là những giống abel , đó là những giống projective mà điểm tạo thành một abel nhóm . Các ví dụ nguyên mẫu là các đường cong elip , có một lý thuyết phong phú. Chúng là công cụ trong việc chứng minh định lý cuối cùng của Fermat và cũng được sử dụng trong mật mã đường cong elliptic .

Song song với xu hướng trừu tượng của hình học đại số, liên quan đến các phát biểu chung về giống, các phương pháp tính toán hiệu quả với các giống cụ thể đã được phát triển, dẫn đến lĩnh vực hình học đại số tính toán mới. Một trong những phương pháp thành lập của lĩnh vực này là lý thuyết về cơ sở Gröbner , do Bruno Buchberger đưa ra vào năm 1965. Một phương pháp sáng lập khác, đặc biệt hơn dành cho hình học đại số thực, là phân rã đại số trụ , được đưa ra bởi George E. Collins vào năm 1973.

Xem thêm: hình học đại số suy ra .

Một loạt phân tích được xác định tại địa phương như tập các giải pháp chung của nhiều phương trình liên quan đến chức năng phân tích . Nó tương tự như khái niệm bao hàm về đa dạng đại số thực hoặc phức tạp . Bất kỳ đa tạp phức tạp nào cũng là một loại phân tích. Vì các giống phân tích có thể có những điểm kỳ dị nên không phải tất cả các giống phân tích đều là đa tạp.

Hình học giải tích hiện đại về cơ bản tương đương với hình học đại số thực và phức tạp, như đã được trình bày bởi Jean-Pierre Serre trong bài báo của ông GAGA , tên của nó là tiếng Pháp cho hình học đại số và hình học giải tích . Tuy nhiên, hai lĩnh vực vẫn khác biệt, vì các phương pháp chứng minh là khá khác nhau và hình học đại số cũng bao gồm hình học trong đặc tính hữu hạn .

Hình học đại số hiện tìm thấy các ứng dụng trong thống kê , ^[9] lý thuyết điều khiển , ^{[10] [11]} robot , ^[12] mã sửa lỗi , ^[13] phát sinh loài ^[14] và mô hình hình học . ^[15] Ngoài ra còn có các mối liên hệ với lý thuyết dây , ^[16] lý thuyết trò chơi , ^[17] so khớp đồ thị , ^[18] solitons ^[19] và lập trình số nguyên . ^[20]

Nguồn

• Kline, M. (1972). Tư tưởng Toán học từ Cổ đại đến Hiện đại . Tập 1. Nhà xuất bản Đại học Oxford. ISBN 0195061357. |volume=có thêm văn bản ( trợ giúp )

Một số sách giáo khoa cổ điển có trước các lược đồ

• van der Waerden, BL (1945). Einfuehrung trong Hình học đại số chết . Dover .
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994). Phương pháp Hình học Đại số Tập 1 . Nhà xuất bản Đại học Cambridge . ISBN 978-0-521-46900-5. Zbl  0796.14001 .
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994). Các Phương Pháp Hình Học Đại Số Tập 2 . Nhà xuất bản Đại học Cambridge . ISBN 978-0-521-46901-2. Zbl  0796.14002 .
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994). Các Phương Pháp Hình Học Đại Số Tập 3 . Nhà xuất bản Đại học Cambridge . ISBN 978-0-521-46775-9. Zbl  0796.14003 .

Sách giáo khoa hiện đại không sử dụng ngôn ngữ của lược đồ

• Garrity, Thomas; et al. (2013). Hình học đại số Một phương pháp tiếp cận giải quyết vấn đề . Hội Toán học Hoa Kỳ . ISBN 978-0-821-89396-8.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Các nguyên tắc của Hình học Đại số . Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-05059-9. Zbl  0836.14001 .
• Harris, Joe (1995). Hình học Đại số Một khóa học đầu tiên . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97716-4. Zbl  0779.14001 .
• Mumford, David (1995). Hình học Đại số I Phức tạp Các phép tính xạ ảnh (xuất bản lần thứ 2). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58657-9. Zbl  0821.14001 .
• Reid, Miles (1988). Hình học đại số bậc đại học . Nhà xuất bản Đại học Cambridge . ISBN 978-0-521-35662-6. Zbl  0701.14001 .
• Shafarevich, Igor (1995). Hình học Đại số Cơ bản I Sự khác nhau trong không gian xạ ảnh (xuất bản lần thứ 2). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-54812-8. Zbl  0797.14001 .

Sách giáo khoa hình học đại số tính toán

• Cox, David A .; John bé nhỏ; O'Shea, Donal (1997). Ý tưởng, Sự đa dạng và Thuật toán (xuất bản lần thứ 2). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94680-1. Zbl  0861.13012 .
• Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2006). Các thuật toán trong hình học đại số thực . Springer-Verlag .
• González-Vega, Laureano; Recio, Tóm tắt (1996). Các thuật toán trong hình học đại số và ứng dụng . Birkhaüser.
• Elkadi, Mohamed; Mourrain, Bernard; Piene, Ragni, chỉnh sửa. (Năm 2006). Hình học đại số và mô hình hình học . Springer-Verlag .
• Dickenstein, Alicia ; Schreyer, Frank-Olaf; Sommese, Andrew J., biên tập. (2008). Các thuật toán trong Hình học Đại số . Các tập IMA trong Toán học và Ứng dụng của nó. 146 . Springer . ISBN 9780387751559. LCCN  2007938208 .
• Cox, David A .; Little, John B.; O'Shea, Donal (1998). Sử dụng hình học đại số . Springer-Verlag .
• Caviness, Bob F.; Johnson, Jeremy R. (1998). Loại bỏ định lượng và phân hủy đại số hình trụ . Springer-Verlag .

Sách giáo khoa và tài liệu tham khảo cho các chương trình

• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998). Hình học của các lược đồ . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98637-1. Zbl  0960.14002 .
• Grothendieck, Alexander (1960). Éléments de géométrie algébrique . Ấn phẩm Mathématiques de l'IHÉS . Zbl  0118.36206 .
• Grothendieck, Alexander ; Dieudonné, Jean Alexandre (1971). Éléments de géométrie algébrique . 1 (xuất bản lần thứ 2). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8. Zbl  0203.23301 .
• Hartshorne, Robin (1977). Hình học Đại số . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl  0367.14001 .
• Mumford, David (1999). Sách Đỏ về Sự đa dạng và Lược đồ Bao gồm các Bài giảng Michigan về Đường cong và Gia-cô-banh của chúng (xuất bản lần thứ 2). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl  0945.14001 .
• Shafarevich, Igor (1995). Các lược đồ Hình học Đại số Cơ bản II và các đa tạp phức tạp (xuất bản lần thứ 2). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-57554-2. Zbl  0797.14002 .

• Cơ sở của Hình học Đại số của Ravi Vakil, 808 trang.
• Mục nhập hình học đại số trên PlanetMath
• Bản dịch tiếng Anh của sách giáo khoa van der Waerden
• Dieudonné, Jean (ngày 3 tháng 3 năm 1972). "Lịch sử của Hình học Đại số" . Nói chuyện tại Khoa Toán của Đại học Wisconsin – Milwaukee - qua YouTube .
• Dự án Ngăn xếp , một sách giáo khoa và tài liệu tham khảo mã nguồn mở về ngăn xếp đại số và hình học đại số