Khu vực

Một cách tiếp cận để xác định ý nghĩa của "khu vực" là thông qua các tiên đề . "Diện tích" có thể được định nghĩa là một hàm từ tập hợp M của một loại hình phẳng đặc biệt (gọi là tập hợp có thể đo được) đến tập hợp các số thực, thỏa mãn các tính chất sau: ^[11]

• Với mọi S thuộc M thì a ( S ) ≥ 0.
• Nếu S và T nằm trong M thì S ∪ T và S ∩ T cũng vậy, đồng thời a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( S ∩ T ).
• Nếu S và T thuộc M với S ⊆ T thì T - S thuộc M và a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
• Nếu một tập hợp S thuộc M và S đồng dư với T thì T cũng thuộc M và a ( S ) = a ( T ).
• Mỗi hình chữ nhật R là M . Nếu hình chữ nhật có chiều dài h và chiều rộng k thì a ( R ) = hk .
• Hãy Q là một tập kèm theo giữa hai khu vực bước S và T . Một khu vực bước được hình thành từ một sự kết hợp hữu hạn các hình chữ nhật liền kề nghỉ ngơi trên một cơ sở chung, tức là S ⊆ Q ⊆ T . Nếu tồn tại một số duy nhất c sao cho a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) cho tất cả các vùng bước như vậy S và T , thì a ( Q ) = c .

Nó có thể được chứng minh rằng một chức năng khu vực như vậy thực sự tồn tại. ^[12]

Một mét vuông tứ giác làm bằng ống PVC.

Mỗi đơn vị độ dài đều có một đơn vị diện tích tương ứng, đó là diện tích hình vuông có độ dài cạnh cho trước. Thus areas can be measured in square metres (m ² ), square centimetres (cm ² ), square millimetres (mm ² ), square kilometres (km ² ), square feet (ft ² ), square yards (yd ² ), square miles (mi ² ), v.v. ^[13] Về mặt đại số, các đơn vị này có thể được coi là bình phương của các đơn vị độ dài tương ứng.

Đơn vị diện tích SI là mét vuông, được coi là một đơn vị dẫn xuất SI . ^[3]

Chuyển đổi

Mặc dù có 10 mm trong 1 cm, có 100 mm ² trong 1 cm ² .

Tính diện tích của một hình vuông có chiều dài và chiều rộng là 1 mét sẽ là:

1 mét × 1 mét = 1 m ²

và do đó, một hình chữ nhật với các cạnh khác nhau (giả sử chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét) sẽ có diện tích tính bằng đơn vị hình vuông có thể được tính là:

3 mét × 2 mét = 6 mét ² . Điều này tương đương với 6 triệu mm vuông. Các chuyển đổi hữu ích khác là:

• 1 km vuông = 1.000.000 mét vuông
• 1 mét vuông = 10.000 cm vuông = 1.000.000 mm vuông
• 1 cm vuông = 100 mm vuông.

Đơn vị không phải hệ mét

Trong đơn vị không thuộc hệ mét, việc chuyển đổi giữa hai đơn vị vuông là hình vuông của việc chuyển đổi giữa các đơn vị chiều dài tương ứng.

1 foot = 12 inch ,

mối quan hệ giữa feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông,

trong đó 144 = 12 ² = 12 × 12. Tương tự:

• 1 thước vuông = 9 bộ vuông
• 1 dặm vuông = 3.097.600 thước vuông = 27.878.400 bộ vuông

Ngoài ra, các yếu tố chuyển đổi bao gồm:

• 1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
• 1 foot vuông = 0,092 903 04 mét vuông
• 1 yard vuông = 0,836 127 36 mét vuông
• 1 dặm vuông = 2,589 988 110 336 km vuông

Các đơn vị khác bao gồm lịch sử

Có một số đơn vị phổ biến khác cho khu vực. Đây là đơn vị diện tích ban đầu trong hệ mét , với:

• 1 là = 100 mét vuông

Mặc dù đã không còn sử dụng, ha vẫn thường được sử dụng để đo đất: ^[13]

• 1 hecta = 100 ares = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Các đơn vị đo diện tích không phổ biến khác bao gồm tetrad , hecta và vô số .

Mẫu Anh cũng thường được sử dụng để đo diện tích đất, nơi

• 1 mẫu Anh = 4,840 thước vuông = 43,560 bộ vuông.

Một mẫu Anh là khoảng 40% của một ha.

Trên quy mô nguyên tử, diện tích được đo bằng đơn vị chuồng trại , như vậy: ^[13]

• 1 chuồng = 10 ⁻²⁸ mét vuông.

Chuồng được sử dụng phổ biến trong việc mô tả vùng tương tác mặt cắt ngang trong vật lý hạt nhân . ^[13]

Ở Ấn Độ ,

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khata = 1 bigha
• 32 khata = 1 mẫu Anh

Khu vực vòng tròn

Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, Hippocrates of Chios là người đầu tiên chỉ ra rằng diện tích của một cái đĩa (vùng được bao quanh bởi một vòng tròn) tỷ lệ với bình phương đường kính của nó, như một phần của phương vuông góc của ông ta đối với vành đai Hippocrates , ^{[14 ]} nhưng không xác định được hằng số tỷ lệ . Eudoxus của Cnidus , cũng vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, cũng phát hiện ra rằng diện tích của một cái đĩa tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó. ^[15]

Sau đó, Quyển I về Các phần tử của Euclid đề cập đến sự bình đẳng về diện tích giữa các hình hai chiều. Các nhà toán học Archimedes sử dụng các công cụ của Euclid để chứng minh rằng các khu vực bên trong một vòng tròn là tương đương với của một tam giác vuông có cơ sở có chiều dài của chu vi của vòng tròn và có chiều cao tương đương với bán kính của vòng tròn, trong cuốn sách của ông Đo một hình tròn . (Chu vi là 2 π r , và diện tích của một tam giác bằng một nửa cơ sở nhân với chiều cao, mang lại diện tích π r ² cho chiếc đĩa.) Archimedes đã tính gần đúng giá trị của π (và do đó diện tích của một hình tròn bán kính đơn vị ) với phương pháp nhân đôi của mình , trong đó anh ta nội tiếp một tam giác đều trong một đường tròn và ghi lại diện tích của nó, sau đó nhân đôi số cạnh để tạo ra một hình lục giác đều , sau đó liên tục nhân đôi số cạnh khi diện tích của đa giác ngày càng gần hơn của đường tròn (và thực hiện tương tự với đa giác ngoại tiếp ).

Nhà khoa học Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert năm 1761 đã chứng minh rằng π , tỷ số giữa diện tích hình tròn với bán kính bình phương của nó, là vô tỉ , nghĩa là nó không bằng thương của hai số nguyên bất kỳ. ^[16] Năm 1794, nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre đã chứng minh rằng π ² là vô tỉ; điều này cũng chứng tỏ rằng π là vô tỉ. ^[17] Năm 1882, nhà toán học người Đức Ferdinand von Lindemann đã chứng minh rằng π là siêu nghiệm (không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số hữu tỉ), xác nhận một phỏng đoán được đưa ra bởi cả Legendre và Euler. ^{[16] : tr. 196}

Khu tam giác

Heron (hay Anh hùng) của Alexandria đã tìm ra công thức được gọi là công thức Heron cho diện tích tam giác tính theo các cạnh của nó, và một bằng chứng có thể được tìm thấy trong cuốn sách của ông, Metrica , được viết vào khoảng năm 60 CN. Có ý kiến ​​cho rằng Archimedes đã biết công thức hơn hai thế kỷ trước đó, ^[18] và vì Metrica là tập hợp các kiến ​​thức toán học có sẵn trong thế giới cổ đại, nên có thể công thức có trước tham chiếu được đưa ra trong công trình đó. ^[19]

Năm 499 , Aryabhata , nhà toán học - thiên văn học vĩ đại của thời đại cổ điển của toán học Ấn Độ và thiên văn học Ấn Độ , đã biểu thị diện tích hình tam giác bằng một nửa cơ sở nhân với chiều cao trong Aryabhatiya (phần 2.6).

Một công thức tương đương với Heron đã được người Trung Quốc tìm ra độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản vào năm 1247 trong Shushu Jiuzhang (" Toán học luận trong chín phần "), được viết bởi Qin Jiushao .

Diện tích hình tứ giác

Trong thế kỷ thứ 7, Brahmagupta đã phát triển một công thức, bây giờ được gọi là công thức brahmagupta , cho diện tích của một tứ giác nội tiếp (một tứ giác ghi trong một vòng tròn) về các cạnh của nó. Năm 1842, các nhà toán học người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt đã độc lập tìm ra một công thức, được gọi là công thức Bretschneider , cho diện tích của bất kỳ hình tứ giác nào.

Khu vực đa giác chung

Sự phát triển của tọa độ Descartes bởi René Descartes vào thế kỷ 17 cho phép phát triển công thức của người khảo sát cho diện tích của bất kỳ đa giác nào có vị trí đỉnh đã biết của Gauss vào thế kỷ 19.

Các khu vực được xác định bằng phép tính

Sự phát triển của phép tính tích phân vào cuối thế kỷ 17 đã cung cấp các công cụ sau đó có thể được sử dụng để tính toán các khu vực phức tạp hơn, chẳng hạn như diện tích hình elip và diện tích bề mặt của các vật thể ba chiều cong khác nhau.

Công thức đa giác

Đối với một đa giác không tự giao nhau ( đơn giản ), tọa độ Descartes ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$( i = 0, 1, ..., n -1) trong đó có n đỉnh đã biết, diện tích được cho bởi công thức của người khảo sát : ^[20]

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} {\ Biggl \ vert} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i +1} y_ {i}) {\ Biggr \ vert}}$

trong đó khi i = n -1, thì i +1 được biểu thị dưới dạng môđun n và do đó quy về 0.

Hình chữ nhật

Diện tích của hình chữ nhật này là  lw .

Công thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tích hình chữ nhật . Cho một hình chữ nhật có chiều dài l và chiều rộng w , công thức của diện tích là: ^{[2] [21]}

A = lw  (hình chữ nhật).

Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật là chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vì l = w trong trường hợp hình vuông, diện tích hình vuông có độ dài cạnh s được cho bởi công thức: ^{[1] [2] [22]}

A = s ²  (hình vuông).

Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản của diện tích, và đôi khi được coi như một định nghĩa hoặc tiên đề . Mặt khác, nếu hình học được phát triển trước số học , công thức này có thể được sử dụng để định nghĩa phép nhân các số thực .

Giải phẫu, hình bình hành và hình tam giác

Hầu hết các công thức đơn giản khác cho diện tích đều tuân theo phương pháp mổ xẻ . Điều này bao gồm cắt một hình dạng thành từng miếng, mà khu vực phải tổng hợp vào vùng của hình dạng ban đầu.

Sơ đồ cho thấy cách một hình bình hành có thể được sắp xếp lại thành hình chữ nhật.

Ví dụ, bất kỳ hình bình hành nào cũng có thể được chia nhỏ thành hình thang và tam giác vuông , như trong hình bên trái. Nếu tam giác được di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Sau đó diện tích hình bình hành bằng diện tích hình chữ nhật: ^[2]

A = bh  (hình bình hành).

Một hình bình hành chia thành hai tam giác bằng nhau.

Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng có thể được cắt theo đường chéo thành hai tam giác đồng dạng , như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗi tam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành: ^[2]

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} bh}$  (Tam giác).

Các đối số tương tự có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích cho hình thang ^[23] cũng như các đa giác phức tạp hơn . ^[24]

Diện tích các hình cong

Vòng kết nối

Một vòng tròn có thể được chia thành các lĩnh vực mà sắp xếp lại để tạo thành một xấp xỉ bình hành .

Công thức tính diện tích hình tròn (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tích cái đĩa ) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kính r , nó có thể phân vùng các vòng tròn vào các lĩnh vực , như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này là r và chiều rộng bằng một nửa chu vi của hình tròn, hay π r . Như vậy, tổng diện tích của hình tròn là π r ² : ^[2]

A = π r ²  (đường tròn).

Mặc dù phân tích được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung. Các giới hạn của khu vực của hình bình hành gần đúng là chính xác π r ² , đó là diện tích hình tròn. ^[25]

Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn giản của các ý tưởng của phép tính toán . Trong thời cổ đại, phương pháp cạn kiệt được sử dụng một cách tương tự để tìm diện tích hình tròn, và phương pháp này ngày nay được công nhận là tiền thân của phép tính tích phân . Sử dụng các phương pháp hiện đại, diện tích hình tròn có thể được tính bằng cách sử dụng một tích phân xác định :

${\ displaystyle A \; = \; 2 \ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx \; = \; \ pi r ^ {2}.}$

Dấu ba chấm

Công thức cho diện tích được bao bởi một hình elip có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các trục bán chính và bán phụ x và y , công thức là: ^[2]

${\ displaystyle A = \ pi xy.}$

Diện tích bề mặt

Archimedes đã chỉ ra rằng diện tích bề mặt của một hình cầu bằng bốn lần diện tích của một đĩa phẳng có cùng bán kính, và thể tích của hình cầu bằng 2/3 thể tích của một hình trụ có cùng chiều cao và bán kính.

Hầu hết các công thức cơ bản cho diện tích bề mặt có thể thu được bằng cách cắt các bề mặt và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của một hình trụ (hoặc bất kỳ hình lăng trụ nào ) được cắt theo chiều dọc, bề mặt đó có thể được làm phẳng thành một hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực hiện dọc theo mặt bên của hình nón , bề mặt bên có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn và diện tích kết quả được tính.

Công thức cho diện tích bề mặt của một hình cầu khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu có độ cong khác Gaussian , nó không thể bị dẹt ra. Công thức cho diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên được Archimedes thu được trong tác phẩm Trên hình cầu và hình trụ . Công thức là: ^[6]

A = 4 πr ²  (hình cầu),

với r là bán kính của hình cầu. Cũng như công thức tính diện tích hình tròn, bất kỳ công thức nào của công thức này đều sử dụng các phương pháp tương tự như giải tích .

Công thức chung

Diện tích của các hình 2 chiều

Khu tam giác ${\ displaystyle A = {\ tfrac {b \ cdot h} {2}}}$

• Một hình tam giác :${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} Bh}$(trong đó B là cạnh bất kỳ và h là khoảng cách từ đường thẳng mà B nằm đến đỉnh còn lại của tam giác). Công thức này có thể được sử dụng nếu biết chiều cao h . Nếu biết độ dài của ba cạnh thì có thể sử dụng công thức Heron :${\ displaystyle {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}$trong đó a , b , c là các cạnh của tam giác và${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$là một nửa chu vi của nó. ^[2] Nếu cho một góc và hai cạnh bao gồm của nó, thì diện tích là${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab \ sin (C)}$trong đó C là góc đã cho và a và b là các cạnh của nó. ^[2] Nếu tam giác được vẽ đồ thị trên một mặt phẳng tọa độ, một ma trận có thể được sử dụng và được đơn giản hóa thành giá trị tuyệt đối của${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} - x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3})}$. Công thức này còn được gọi là công thức dây giày và là một cách dễ dàng để giải diện tích của một tam giác tọa độ bằng cách thay thế 3 điểm (x ₁ , y ₁ ) , (x ₂ , y ₂ ) và (x ₃ , y ₃ ) . Công thức dây giày cũng có thể được sử dụng để tìm diện tích của các đa giác khác khi các đỉnh của chúng đã biết. Một cách tiếp cận khác cho một tam giác tọa độ là sử dụng phép tính để tìm diện tích.
• Một đa giác đơn giản được xây dựng trên một lưới các điểm có khoảng cách bằng nhau (tức là các điểm có tọa độ nguyên ) sao cho tất cả các đỉnh của đa giác đều là các điểm lưới:${\ displaystyle i + {\ frac {b} {2}} - 1}$, trong đó i là số điểm lưới bên trong đa giác và b là số điểm biên. Kết quả này được gọi là định lý Pick . ^[26]

Diện tích trong giải tích

Tích hợp có thể được coi là đo diện tích dưới một đường cong, được xác định bởi f ( x ), giữa hai điểm (ở đây là a và b ).

Diện tích giữa hai đồ thị có thể được đánh giá bằng cách tính hiệu giữa tích phân của hai hàm

• Diện tích giữa đường cong có giá trị dương và trục hoành, được đo giữa hai giá trị a và b (b được xác định là lớn hơn trong hai giá trị) trên trục hoành, được cho bởi tích phân từ a đến b của hàm đó đại diện cho đường cong: ^[1]

${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

• Khu vực giữa đồ thị của hai hàm là tương đương với không thể thiếu của một chức năng , f ( x ), trừ tích phân của hàm khác, g ( x ):

${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} (f (x) -g (x)) \, dx,}$ Ở đâu ${\ displaystyle f (x)}$ là đường cong có giá trị y lớn hơn.

• Một khu vực được giới hạn bởi một hàm ${\ displaystyle r = r (\ theta)}$biểu thị bằng tọa độ cực là: ^[1]

${\ displaystyle A = {1 \ over 2} \ int r ^ {2} \, d \ theta.}$

• Khu vực được bao quanh bởi một đường cong tham số ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t) = (x (t), y (t))}$ với các điểm cuối ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t_ {0}) = {\ vec {u}} (t_ {1})}$được cho bởi tích phân dòng :

${\ displaystyle \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} x {\ dot {y}} \, dt = - \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} y { \ dot {x}} \, dt = {1 \ over 2} \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} (x {\ dot {y}} - y {\ dot {x}} ) \, dt}$

hoặc thành phần z của

${\ displaystyle {1 \ over 2} \ oint _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ vec {u}} \ times {\ dot {\ vec {u}}} \, dt.}$

(Để biết chi tiết, xem Định lý Green § Tính diện tích .) Đây là nguyên tắc của dụng cụ cơ planimeter .

Diện tích giới hạn giữa hai hàm số bậc hai

Để tìm diện tích giới hạn giữa hai hàm số bậc hai , chúng ta lấy một hàm số trừ đi một hàm số khác để viết hiệu là

${\ displaystyle f (x) -g (x) = ax ^ {2} + bx + c = a (x- \ alpha) (x- \ beta)}$

trong đó f ( x ) là cận trên bậc hai và g ( x ) là cận dưới bậc hai. Xác định phân biệt của f ( x ) - g ( x ) là

${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac.}$

Bằng cách đơn giản hóa công thức tích phân giữa đồ thị của hai hàm số (như đã cho trong phần trên) và sử dụng công thức Vieta , chúng ta có thể thu được ^{[27] [28]}

${\ displaystyle A = {\ frac {\ Delta {\ sqrt {\ Delta}}} {6a ^ {2}}} = {\ frac {a} {6}} (\ beta - \ alpha) ^ {3} , \ qquad a \ neq 0.}$

Điều trên vẫn hợp lệ nếu một trong các hàm giới hạn là tuyến tính thay vì bậc hai.

Diện tích bề mặt của các hình 3 chiều

• Hình nón : ^[29] ${\ displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$, trong đó r là bán kính của hình tròn và h là chiều cao. Điều đó cũng có thể được viết lại thành${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}$^[29] hoặc${\ displaystyle \ pi r (r + l) \, \!}$trong đó r là bán kính và l là chiều cao nghiêng của hình nón.${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$ là khu vực cơ sở trong khi ${\ displaystyle \ pi rl}$là diện tích mặt bên của hình nón. ^[29]
• khối lập phương :${\ displaystyle 6s ^ {2}}$, với s là độ dài của một cạnh. ^[6]
• hình trụ :${\ displaystyle 2 \ pi r (r + h)}$, trong đó r là bán kính của một cơ sở và h là chiều cao. các 2${\ displaystyle \ pi}$r cũng có thể được viết lại thành${\ displaystyle \ pi}$d , với d là đường kính.
• lăng trụ : 2B + Ph, trong đó B là diện tích của đáy, P là chu vi của đáy và h là chiều cao của lăng trụ.
• kim tự tháp :${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}}}$, trong đó B là diện tích của mặt đáy, P là chu vi của mặt đáy và L là độ dài của đường xiên.
• lăng trụ hình chữ nhật :${\ displaystyle 2 (\ ell w + \ ell h + wh)}$, Ở đâu ${\ displaystyle \ ell}$là chiều dài, w là chiều rộng và h là chiều cao.

Công thức chung cho diện tích bề mặt

Công thức tổng quát cho diện tích bề mặt của đồ thị của một hàm số phân biệt liên tục ${\ displaystyle z = f (x, y),}$ Ở đâu ${\ displaystyle (x, y) \ in D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ và ${\ displaystyle D}$ là một vùng trong mặt phẳng xy với ranh giới phẳng:

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ part f} {\ part x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ part f } {\ một phần y}} \ right) ^ {2} +1}} \, dx \, dy.}$

Một công thức tổng quát hơn nữa cho diện tích của đồ thị của một bề mặt tham số ở dạng vectơ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}$ Ở đâu ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ là một hàm vectơ có thể phân biệt liên tục của ${\ displaystyle (u, v) \ in D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$là: ^[8]

${\ displaystyle A = \ iint _ {D} \ left | {\ frac {\ part \ mathbf {r}} {\ một phần u}} \ times {\ frac {\ một phần \ mathbf {r}} {\ một phần v }} \ right | \, du \, dv.}$

Danh sách các công thức

Các công thức chung bổ sung cho diện tích:

Hình dạng	Công thức	Biến
Thường xuyên tam giác ( giác đều tam giác )	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} s ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ là độ dài một cạnh của tam giác.
Tam giác [1]	${\ displaystyle {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ là một nửa chu vi, ${\ displaystyle a}$, ${\ displaystyle b}$ và ${\ displaystyle c}$ là chiều dài của mỗi cạnh.
Tam giác [2]	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab \ sin (C) \, \!}$	${\ displaystyle a}$ và ${\ displaystyle b}$ là hai mặt bất kỳ, và ${\ displaystyle C}$ là góc giữa chúng.
Tam giác [1]	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} bh \, \!}$	${\ displaystyle b}$ và ${\ displaystyle h}$lần lượt là mặt đáy và độ cao (đo vuông góc với mặt đáy).
Tam giác cân	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} b {\ sqrt {a ^ {2} - {\ frac {b ^ {2}} {4}}}} = {\ frac {b} {4} } {\ sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle a}$ là độ dài của một trong hai cạnh bằng nhau và ${\ displaystyle b}$ là chiều dài của một cạnh khác.
Rhombus / Diều	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ab}$	${\ displaystyle a}$ và ${\ displaystyle b}$là độ dài hai đường chéo của hình thoi hoặc hình diều.
Hình bình hành	${\ displaystyle bh \, \!}$	${\ displaystyle b}$ là chiều dài của cơ sở và ${\ displaystyle h}$ là đường cao vuông góc.
Hình thang	${\ displaystyle {\ frac {(a + b) h} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle a}$ và ${\ displaystyle b}$ là các cạnh song song và ${\ displaystyle h}$ khoảng cách (chiều cao) giữa các điểm tương đồng.
thường xuyên lục giác	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {3}} s ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ là độ dài của một cạnh của hình lục giác.
Hình bát giác đều	${\ displaystyle 2 (1 + {\ sqrt {2}}) s ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle s}$ là chiều dài của một cạnh của hình bát giác.
Đa giác đều	${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} nl ^ {2} \ cdot \ cot (\ pi / n) \, \!}$	${\ displaystyle l}$ là chiều dài cạnh và ${\ displaystyle n}$ là số mặt.
Đa giác đều	${\ displaystyle {\ frac {1} {4n}} p ^ {2} \ cdot \ cot (\ pi / n) \, \!}$	${\ displaystyle p}$ là chu vi và ${\ displaystyle n}$ là số mặt.
Đa giác đều	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} nR ^ {2} \ cdot \ sin (2 \ pi / n) = nr ^ {2} \ tan (\ pi / n) \, \!}$	${\ displaystyle R}$ là bán kính của một đường tròn ngoại tiếp, ${\ displaystyle r}$ là bán kính của một đường tròn nội tiếp và ${\ displaystyle n}$ là số mặt.
Đa giác đều	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} ap = {\ tfrac {1} {2}} nsa \, \!}$	${\ displaystyle n}$ là số mặt, ${\ displaystyle s}$ là chiều dài cạnh, ${\ displaystyle a}$là apothem , hoặc bán kính của đường tròn nội tiếp trong đa giác và${\ displaystyle p}$ là chu vi của đa giác.
Vòng tròn	${\ displaystyle \ pi r ^ {2} \ {\ text {hoặc}} \ {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \, \!}$	${\ displaystyle r}$ là bán kính và ${\ displaystyle d}$các đường kính .
Khu vực tròn	${\ displaystyle {\ frac {\ theta} {2}} r ^ {2} \ {\ text {hoặc}} \ {\ frac {L \ cdot r} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle r}$ và ${\ displaystyle \ theta}$lần lượt là bán kính và góc ( tính bằng radian ) và${\ displaystyle L}$ là chiều dài của chu vi.
Hình elip [2]	${\ displaystyle \ pi ab \, \!}$	${\ displaystyle a}$ và ${\ displaystyle b}$là bán lớn và bán nhỏ rìu, tương ứng.
Tổng diện tích bề mặt của một hình trụ	${\ displaystyle 2 \ pi r (r + h) \, \!}$	${\ displaystyle r}$ và ${\ displaystyle h}$ lần lượt là bán kính và chiều cao.
Diện tích mặt bên của hình trụ	${\ displaystyle 2 \ pi rh \, \!}$	${\ displaystyle r}$ và ${\ displaystyle h}$ lần lượt là bán kính và chiều cao.
Tổng diện tích bề mặt của một hình cầu [6]	${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2} \ {\ text {hoặc}} \ \ pi d ^ {2} \, \!}$	${\ displaystyle r}$ và ${\ displaystyle d}$ lần lượt là bán kính và đường kính.
Tổng diện tích bề mặt của một kim tự tháp [6]	${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle B}$ là khu vực cơ sở, ${\ displaystyle P}$ là chu vi cơ sở và ${\ displaystyle L}$ là chiều cao nghiêng.
Tổng diện tích bề mặt của một kim tự tháp hình cụt [6]	${\ displaystyle B + {\ frac {PL} {2}} \, \!}$	${\ displaystyle B}$ là khu vực cơ sở, ${\ displaystyle P}$ là chu vi cơ sở và ${\ displaystyle L}$ là chiều cao nghiêng.
Chuyển đổi diện tích hình vuông sang hình tròn	${\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} A \, \!}$	${\ displaystyle A}$là diện tích của hình vuông tính bằng đơn vị hình vuông.
Chuyển đổi diện tích hình tròn sang hình vuông	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} C \, \!}$	${\ displaystyle C}$là diện tích của hình tròn tính bằng đơn vị hình tròn.

Các phép tính trên chỉ ra cách tìm diện tích của nhiều hình dạng thông thường .

Diện tích của đa giác không đều (và do đó tùy ý) có thể được tính bằng cách sử dụng " công thức của Người khảo sát " (công thức dây giày). ^[25]

Mối liên hệ giữa diện tích với chu vi

Các bất bình đẳng isoperimetric khẳng định rằng, đối với một đường cong khép kín có chiều dài L (vì vậy khu vực bao quanh nó có chu vi L ) và cho khu vực Một trong những khu vực mà nó bao,

${\ displaystyle 4 \ pi A \ leq L ^ {2},}$

và sự bình đẳng giữ nguyên nếu và chỉ khi đường cong là đường tròn . Do đó, một hình tròn có diện tích lớn nhất của bất kỳ hình đóng nào có chu vi cho trước.

Ở một cực khác, một hình có chu vi L cho trước có thể có diện tích nhỏ tùy ý, như được minh họa bằng một hình thoi "nghiêng" tùy ý sao cho hai góc của nó gần bằng 0 một cách tùy ý và hai góc còn lại đóng tùy ý. đến 180 °.

Đối với hình tròn, tỉ số diện tích với chu vi (thuật ngữ chỉ chu vi hình tròn) bằng nửa bán kính r . Điều này có thể được nhìn thấy từ công thức diện tích πr ² và công thức chu vi 2 πr .

Diện tích của một đa giác đều là một nửa thời gian chu vi của nó apothem (nơi apothem là khoảng cách từ trung tâm đến điểm gần nhất trên mọi mặt).

Fractals

Nhân đôi độ dài các cạnh của một đa giác nhân diện tích của nó lên 4, tỷ lệ này là 2 (tỷ lệ giữa độ dài cạnh mới với độ dài cạnh cũ) được nâng lên lũy thừa của 2 (kích thước của không gian mà đa giác nằm trong đó). Nhưng nếu độ dài một chiều của một Fractal được vẽ theo hai chiều đều tăng gấp đôi, thì nội dung không gian của Fractal chia theo lũy thừa của hai mà không nhất thiết phải là một số nguyên. Sức mạnh này được gọi là chiều Fractal của Fractal. ^[30]

Có vô số đường phân giác diện tích của một tam giác. Ba trong số chúng là các trung tuyến của tam giác (nối các trung điểm của các cạnh với các đỉnh đối diện), và chúng đồng quy với trọng tâm của tam giác ; thực sự, chúng là đường phân giác khu vực duy nhất đi qua tâm. Bất kỳ đường thẳng nào đi qua một tam giác chia đôi diện tích và chu vi của nó đều đi qua tâm của tam giác (tâm của đường tròn nội tiếp của nó ). Có một, hai hoặc ba trong số này cho bất kỳ tam giác nào.

Bất kỳ đường thẳng nào đi qua trung điểm của một hình bình hành đều chia cắt diện tích.

Tất cả bisectors diện tích hình tròn hoặc hình elip khác đi qua trung tâm, và bất cứ hợp âm qua trung tâm bisect khu vực. Trong trường hợp của một đường tròn, chúng là đường kính của đường tròn.

Cho một đường bao dây, bề mặt có diện tích trải dài ít nhất ("lấp đầy") nó là bề mặt nhỏ nhất . Ví dụ quen thuộc bao gồm bong bóng xà phòng .

Câu hỏi về diện tích lấp đầy của vòng tròn Riemann vẫn còn bỏ ngỏ. ^[31]

Hình tròn có diện tích lớn nhất trong số các vật thể hai chiều có cùng chu vi.

Một đa giác ngoại tiếp (một nội tiếp trong một đường tròn) có diện tích lớn nhất trong số các đa giác có số cạnh bằng nhau cho trước.

Một phiên bản của bất đẳng thức đẳng tích cho các tam giác phát biểu rằng tam giác có diện tích lớn nhất trong số tất cả các tam giác có chu vi cho trước là tam giác đều . ^[32]

Tam giác có diện tích lớn nhất trong tất cả các tam giác nội tiếp được trong một đường tròn đã cho là tam giác đều; và tam giác có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các hình tròn nội tiếp một đường tròn đã cho là tam giác đều. ^[33]

Tỉ số giữa diện tích hình tròn nội tiếp với diện tích tam giác đều, ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$, lớn hơn của bất kỳ tam giác không đều nào. ^[34]

Tỉ số diện tích bình phương chu vi tam giác đều, ${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}},}$lớn hơn so với bất kỳ tam giác nào khác. ^[32]

• Tứ giác Brahmagupta , một tứ giác nội tiếp với các cạnh nguyên, đường chéo nguyên và diện tích là số nguyên.
• Bản đồ tương đương
• Tam giác Heronian , một tam giác có các cạnh nguyên và diện tích là một số nguyên.
• Danh sách các bất đẳng thức tam giác
• Diện tích một phần bảy tam giác , một tam giác bên trong bằng một phần bảy diện tích tam giác tham chiếu.

• Định lý Routh , một tổng quát của tam giác diện tích một phần bảy.

• Thứ tự về độ lớn —Danh sách các khu vực theo kích thước.
• Suy ra công thức của một ngũ giác
• Planimeter , một công cụ để đo các khu vực nhỏ, ví dụ như trên bản đồ.
• Diện tích tứ giác lồi
• Ngũ giác Robbins , một ngũ giác tuần hoàn có độ dài các cạnh và diện tích đều là số hữu tỉ.