• logo

Số phức

Trong toán học , một số phức là một số có thể được biểu diễn dưới dạng a + bi , trong đó a và b là các số thực và i là một ký hiệu được gọi là đơn vị ảo và thỏa mãn phương trình i 2 = −1 . Bởi vì không có "thực" số thỏa mãn phương trình này, tôi đã được gọi là số ảo bởi René Descartes . Đối với số phức a + bi , a được gọi làphần thực vàbđược gọi làphần tưởng tượng . Tập hợp các số phức được biểu thị bằng một trong hai ký hiệu C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \ mathbb {C} hoặc C . Mặc dù có danh pháp lịch sử là "ảo", số phức được coi trong khoa học toán học cũng giống như "thực" như số thực và là cơ bản trong nhiều khía cạnh của mô tả khoa học về thế giới tự nhiên. [1] [2] [3] [4] [a]

Một số phức có thể được biểu diễn trực quan dưới dạng một cặp số ( a ,  b ) tạo thành một vectơ trên một biểu đồ được gọi là biểu đồ Argand , biểu diễn mặt phẳng phức . Re là trục thực, Im là trục ảo và i là " đơn vị ảo " thỏa mãn i 2 = −1 .

Số phức cho phép giải tất cả các phương trình đa thức , ngay cả những phương trình không có nghiệm dưới dạng số thực. Chính xác hơn, định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi phương trình đa thức với hệ số thực hoặc phức đều có nghiệm là một số phức. Ví dụ, phương trình ( x + 1 ) 2 = - 9 {\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = - 9} {\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = - 9}không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không thể âm, nhưng có hai nghiệm phức không thực là −1 + 3 i và −1 - 3 i .

Phép cộng, phép trừ và phép nhân các số phức có thể được xác định một cách tự nhiên bằng cách sử dụng quy tắc i 2 = −1 kết hợp với các luật kết hợp , giao hoán và phân phối . Mọi số phức khác không đều có một nghịch đảo nhân . Điều này làm cho các số phức trở thành một trường có các số thực là một trường con. Các số phức cũng tạo thành một không gian vectơ thực có chiều hai, với {1, i } làm cơ sở chuẩn .

Cơ sở tiêu chuẩn này làm cho các số phức trở thành một mặt phẳng Descartes , được gọi là mặt phẳng phức . Điều này cho phép giải thích hình học của các số phức và các phép toán của chúng, và ngược lại thể hiện dưới dạng số phức một số tính chất và cấu tạo hình học. Ví dụ, các số thực tạo thành đường thực được xác định với trục hoành của mặt phẳng phức. Các số phức có giá trị tuyệt đối tạo thành vòng tròn đơn vị . Phép cộng một số phức là một phép tịnh tiến trong mặt phẳng phức và phép nhân với một số phức là một phép đồng dạng có tâm ở gốc. Liên hợp phức là phép đối xứng phản xạ đối với trục thực. Giá trị tuyệt đối phức tạp là một chuẩn Euclide .

Tóm lại, các số phức tạo thành một cấu trúc phong phú đồng thời là một trường đại số đóng , một đại số giao hoán trên thực và một không gian vectơ Euclide có chiều hai.

Định nghĩa

Hình minh họa số phức z = x + iy trên mặt phẳng phức . Phần thực là x và phần ảo của nó là y .

Số phức là một số có dạng a + bi , trong đó a và b là các số thực và i là một số không xác định thỏa mãn i 2 = −1 . Ví dụ, 2 + 3 i là một số phức. [6] [3]

Theo cách này, một số phức được định nghĩa là một đa thức với các hệ số thực trong i không xác định duy nhất , mà quan hệ i 2 + 1 = 0 được áp đặt. Dựa trên định nghĩa này, các số phức có thể được cộng và nhân, sử dụng phép cộng và phép nhân cho đa thức. Quan hệ i 2 + 1 = 0 sinh ra các giá trị bằng nhau i 4 k = 1, i 4 k +1 = i , i 4 k +2 = −1 và i 4 k +3 = - i , giữ cho mọi số nguyên k ; chúng cho phép rút gọn bất kỳ đa thức nào là kết quả của phép cộng và nhân các số phức thành một đa thức tuyến tính trong i , một lần nữa có dạng a + bi với các hệ số thực a, b.

Số thực a được gọi là phần thực của số phức a + bi ; số thực b được gọi là phần ảo của nó . Để nhấn mạnh, phần ảo không bao gồm hệ số i ; nghĩa là phần ảo là b , không phải bi . [7] [8] [3]

Về mặt hình thức, các số phức được định nghĩa là thương của vành đa thức trong i không xác định , bởi lý tưởng tạo bởi đa thức i 2 + 1 (xem bên dưới ). [9]

Ký hiệu

Một số thực a có thể được coi là một số phức a + 0 i , có phần ảo bằng 0. Một số thuần ảo bi là một số phức 0 + bi , có phần thực là 0. Đối với đa thức, người ta thường viết a cho a + 0 i và bi cho 0 + bi . Hơn nữa, khi phần ảo là âm, tức là b = - | b | <0 , người ta thường viết a - | b | i thay vì a + (- | b | ) i ; ví dụ, đối với b = −4 , 3 - 4 i có thể được viết thay vì 3 + (−4) i .

Vì phép nhân của i không xác định và một số thực là giao hoán trong đa thức với hệ số thực, nên đa thức a + bi có thể được viết dưới dạng a + ib . Điều này thường phù hợp với các phần ảo được biểu thị bằng biểu thức, ví dụ, khi b là một căn. [10]

Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re ( z ) , R e ( z ) {\ displaystyle {\ mathcal {Re}} (z)} {\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}, hoặc là R ( z ) {\ displaystyle {\ mathfrak {R}} (z)} {\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}; phần ảo của số phức z được ký hiệu là Im ( z ) , Tôi m ( z ) {\ displaystyle {\ mathcal {Im}} (z)} {\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}, hoặc là Tôi ( z ) . {\ displaystyle {\ mathfrak {I}} (z).} {\displaystyle {\mathfrak {I}}(z).}[2] Ví dụ,

Re ⁡ ( 2 + 3 Tôi ) = 2  và  Tôi ⁡ ( 2 + 3 Tôi ) = 3   . {\ displaystyle \ operatorname {Re} (2 + 3i) = 2 \ quad {\ text {và}} \ quad \ operatorname {Im} (2 + 3i) = 3 ~.} {\displaystyle \operatorname {Re} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (2+3i)=3~.}

Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} ( đậm bảng đen ) hoặc C (đậm thẳng đứng). [2]

Trong một số ngành, đặc biệt là trong điện từ và kỹ thuật điện , j được sử dụng thay vì i vì i thường được sử dụng để biểu diễn dòng điện . [11] Trong những trường hợp này, số phức được viết dưới dạng a + bj , hoặc a + jb .

Hình dung

Một số phức z , dưới dạng một điểm (màu đen) và vectơ vị trí của nó (màu xanh lam)

Do đó, một số phức z có thể được xác định bằng một cặp có thứ tự ( Re ⁡ ( z ) , Tôi ⁡ ( z ) ) {\ displaystyle (\ operatorname {Re} (z), \ operatorname {Im} (z))} {\displaystyle (\operatorname {Re} (z),\operatorname {Im} (z))}của các số thực, đến lượt nó, có thể được hiểu là tọa độ của một điểm trong không gian hai chiều. Không gian tức thời nhất là mặt phẳng Euclide với các tọa độ thích hợp, sau đó được gọi là mặt phẳng phức hoặc biểu đồ Argand , [12] [b] [13] được đặt theo tên của Jean-Robert Argand . Một không gian nổi bật khác mà tọa độ có thể được chiếu trên đó là bề mặt hai chiều của một hình cầu, sau đó được gọi là hình cầu Riemann .

Mặt phẳng phức Descartes

Định nghĩa về số phức liên quan đến hai giá trị thực tùy ý ngay lập tức gợi ý việc sử dụng tọa độ Descartes trong mặt phẳng phức. Trục ngang ( thực ) thường được sử dụng để hiển thị phần thực, với các giá trị tăng dần về bên phải và phần ảo đánh dấu trục tung ( ảo ), với các giá trị tăng dần lên trên.

Một số được biểu đồ có thể được xem như là điểm điều phối hoặc như một vectơ vị trí từ điểm gốc đến điểm này. Do đó, các giá trị tọa độ của một số phức z có thể được biểu diễn ở dạng Descartes , hình chữ nhật hoặc đại số .

Đáng chú ý, các phép toán cộng và nhân có đặc điểm hình học rất tự nhiên, khi các số phức được xem như vectơ vị trí: phép cộng tương ứng với phép cộng vectơ , trong khi phép nhân (xem bên dưới ) tương ứng với nhân độ lớn của chúng và cộng các góc mà chúng tạo ra với trục thực. Nhìn theo cách này, phép nhân một số phức với i tương ứng với việc quay vectơ vị trí ngược chiều kim đồng hồ một phần tư vòng ( 90 ° ) về gốc - một dữ kiện có thể được biểu thị bằng đại số như sau:

( a + b Tôi ) ⋅ Tôi = a Tôi + b ( Tôi ) 2 = - b + a Tôi . {\ displaystyle (a + bi) \ cdot i = ai + b (i) ^ {2} = - b + ai.} {\displaystyle (a+bi)\cdot i=ai+b(i)^{2}=-b+ai.}

Mặt phẳng cực phức

Đối số φ và môđun r xác định vị trí một điểm trong mặt phẳng phức.

Mô đun và đối số

Một lựa chọn thay thế cho tọa độ trong mặt phẳng phức là hệ tọa độ cực sử dụng khoảng cách của điểm z từ gốc tọa độ ( O ) và góc phụ giữa trục thực dương và đoạn thẳng Oz theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Điều này dẫn đến dạng cực của số phức.

Các giá trị tuyệt đối (hoặc mô đun hoặc cường độ ) của một số phức z = x + yi là [14]

r = | z | = x 2 + y 2 . {\ displaystyle r = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.} {\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Nếu z là một số thực (nghĩa là, nếu y = 0 ), thì r = | x | . Nghĩa là, giá trị tuyệt đối của một số thực bằng giá trị tuyệt đối của nó dưới dạng một số phức.

Theo định lý Pythagoras , giá trị tuyệt đối của một số phức là khoảng cách đến gốc tọa độ của điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức .

Đối số của z (trong nhiều ứng dụng được gọi là "pha" φ ) [13] là góc của bán kính Oz với trục thực dương, và được viết dưới dạng arg z . Cũng như với modulus, đối số có thể được tìm thấy từ dạng hình chữ nhật x + yi [15] —bằng cách áp dụng tiếp tuyến nghịch đảo cho thương của các phần ảo theo thực. Bằng cách sử dụng nhận dạng nửa góc, một nhánh duy nhất của arctan đủ để bao hàm phạm vi của hàm arg , (- π , π ] và tránh phân tích theo từng trường hợp phức tạp hơn

φ = tranh luận ⁡ ( x + y Tôi ) = { 2 arctan ⁡ ( y x 2 + y 2 + x ) nếu  x > 0  hoặc là  y ≠ 0 , π nếu  x < 0  và  y = 0 , chưa xác định nếu  x = 0  và  y = 0. {\ displaystyle \ varphi = \ arg (x + yi) = {\ begin {case} 2 \ arctan \ left ({\ dfrac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \ right) & {\ text {if}} x> 0 {\ text {hoặc}} y \ neq 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {và }} y = 0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y = 0. \ end {case}}} {\displaystyle \varphi =\arg(x+yi)={\begin{cases}2\arctan \left({\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}

Thông thường, như đã cho ở trên, giá trị chính trong khoảng (- π , π ] được chọn. Các giá trị trong khoảng [0, 2 π ) nhận được bằng cách thêm 2 π - nếu giá trị là âm. Giá trị của φ được biểu thị bằng radian trong bài viết này. Nó có thể tăng theo bội số nguyên bất kỳ của 2 π và vẫn cho cùng một góc, được xem như phụ bởi các tia của trục thực dương và từ gốc qua z . Do đó, hàm arg đôi khi được coi là đa giá trị . Góc cực của số phức 0 là không xác định, nhưng việc lựa chọn tùy ý góc cực 0 là phổ biến.

Giá trị của φ bằng kết quả của atan2 :

φ = atan2 ⁡ ( Tôi ⁡ ( z ) , Re ⁡ ( z ) ) . {\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} \ left (\ operatorname {Im} (z), \ operatorname {Re} (z) \ right).} {\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left(\operatorname {Im} (z),\operatorname {Re} (z)\right).}

Cùng với nhau, r và φ đưa ra một cách khác để biểu diễn số phức, dạng cực , vì sự kết hợp của mô đun và đối số xác định đầy đủ vị trí của một điểm trên mặt phẳng. Việc khôi phục các tọa độ ban đầu của hình chữ nhật từ dạng cực được thực hiện bằng công thức gọi là dạng lượng giác

z = r ( cos ⁡ φ + Tôi tội ⁡ φ ) . {\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi).} {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).}

Sử dụng công thức của Euler, điều này có thể được viết là

z = r e Tôi φ  hoặc là  z = r exp ⁡ Tôi φ . {\ displaystyle z = re ^ {i \ varphi} {\ text {or}} z = r \ exp i \ varphi.} {\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ or }}z=r\exp i\varphi .}

Sử dụng hàm cis , hàm này đôi khi được viết tắt thành

z = r c Tôi S ⁡ φ . {\ displaystyle z = r \ operatorname {\ mathrm {cis}} \ varphi.} {\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi .}

Trong ký hiệu góc , thường được sử dụng trong điện tử để biểu diễn phasor với biên độ r và pha φ , nó được viết là [16]

z = r ∠ φ . {\ displaystyle z = r \ angle \ varphi.} {\displaystyle z=r\angle \varphi .}

Đồ thị phức tạp

Biểu đồ bánh xe màu của biểu thức ( z 2 - 1) ( z - 2 - i ) 2/z 2 + 2 + 2 i

Khi hình dung các chức năng phức tạp , cần có cả đầu vào và đầu ra phức tạp. Bởi vì mỗi số phức được biểu diễn theo hai chiều, việc vẽ đồ thị một hàm phức sẽ yêu cầu nhận thức về không gian bốn chiều , điều này chỉ có thể thực hiện được trong các phép chiếu. Do đó, các cách khác để hình dung các chức năng phức tạp đã được thiết kế.

Trong màu miền , kích thước đầu ra được biểu thị bằng màu sắc và độ sáng, tương ứng. Mỗi điểm trong mặt phẳng phức dưới dạng miền được trang trí , thường có màu đại diện cho đối số của số phức và độ sáng đại diện cho độ lớn. Các điểm tối đánh dấu moduli gần bằng không, các điểm sáng hơn ở xa điểm gốc hơn, sự chuyển màu có thể không liên tục, nhưng được cho là đơn điệu. Màu sắc thường thay đổi theo các bước của π/3từ 0 đến 2 π từ đỏ, vàng, lục, lục lam, lam, sang đỏ tươi. Các đồ thị này được gọi là đồ thị bánh xe màu . Điều này cung cấp một cách đơn giản để hình dung các chức năng mà không làm mất thông tin. Hình ảnh cho thấy các số không cho ± 1, (2 + i ) và các cực tại ± √ −2 −2 i .

Các bề mặt Riemann là một cách khác để hình dung các hàm phức tạp. [ cần giải thích thêm ] Bề mặt Riemann có thể được coi là biến dạng của mặt phẳng phức; trong khi các trục hoành đại diện cho đầu vào thực và ảo, trục tung đơn chỉ đại diện cho đầu ra thực hoặc ảo. Tuy nhiên, các bề mặt Riemann được xây dựng theo cách xoay chúng 180 độ sẽ hiển thị đầu ra tưởng tượng và ngược lại. Không giống như màu miền, bề mặt Riemann có thể biểu diễn các hàm đa giá trị như √ z .

Lịch sử

Các giải pháp trong các gốc (không có hàm lượng giác ) của một vị tướng phương trình bậc ba chứa căn bậc hai của số âm khi cả ba rễ là số thực, một tình huống mà không thể được sửa chữa bởi bao thanh toán được hỗ trợ bởi các thử nghiệm gốc hợp lý nếu khối là tối giản (các cái gọi là casus irreducibilis ). Câu hỏi hóc búa này đã khiến nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano hình thành các số phức vào khoảng năm 1545, [17] mặc dù sự hiểu biết của ông còn rất thô sơ.

Nghiên cứu vấn đề về đa thức tổng quát cuối cùng dẫn đến định lý cơ bản của đại số , cho thấy rằng với số phức, tồn tại một nghiệm cho mọi phương trình đa thức bậc một hoặc cao hơn. Do đó, số phức tạo thành một trường đóng đại số , trong đó bất kỳ phương trình đa thức nào đều có căn .

Nhiều nhà toán học đã đóng góp vào sự phát triển của số phức. Các quy tắc cộng, trừ, nhân và chiết xuất số phức được phát triển bởi nhà toán học người Ý Rafael Bombelli . [18] Một chủ nghĩa hình thức trừu tượng hơn cho các số phức được phát triển thêm bởi nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton , người đã mở rộng sự trừu tượng này thành lý thuyết về các quaternion . [19]

Các tài liệu tham khảo phù du sớm nhất để căn bậc hai của số âm có lẽ có thể nói xảy ra trong công việc của Hy Lạp nhà toán học Anh hùng Alexandria vào thế kỷ thứ 1 AD , nơi ở của ông Stereometrica ông xem xét, rõ ràng là do lỗi, khối lượng của một thể hình cụt của một kim tự tháp đi đến số hạng √ 81 - 144 = 3 i √ 7 trong phép tính của anh ta, mặc dù các đại lượng âm không được hình thành trong toán học Hy Lạp và Hero chỉ đơn thuần thay thế nó bằng số dương ( √ 144 - 81 = 3 √ 7 ) . [20]

Động lực để nghiên cứu số phức như một chủ đề tự nó xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 16 khi các giải pháp đại số cho nghiệm nguyên của đa thức bậc ba và bậc bốn được các nhà toán học người Ý phát hiện (xem Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Người ta sớm nhận ra (nhưng được chứng minh sau đó nhiều hơn) [21] rằng những công thức này, ngay cả khi người ta chỉ quan tâm đến các nghiệm thực, đôi khi yêu cầu thao tác với căn bậc hai của số âm. Ví dụ, công thức Tartaglia cho một phương trình bậc ba có dạng x 3 = px + q [c] cho nghiệm của phương trình x 3 = x là

1 3 ( ( - 1 ) 1 / 3 + ( - 1 ) - 1 / 3 ) . {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ left (\ left ({\ sqrt {-1}} \ right) ^ {1/3} + \ left ({\ sqrt {-1 }} \ right) ^ {- 1/3} \ right).} {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left({\sqrt {-1}}\right)^{1/3}+\left({\sqrt {-1}}\right)^{-1/3}\right).}

Thoạt nhìn điều này có vẻ như vô nghĩa. Tuy nhiên, các phép tính chính thức với số phức cho thấy rằng phương trình z 3 = i có nghiệm - i ,√ 3 + i/2 và - √ 3 + i/2. Lần lượt thay các giá trị này cho √ −1 1/3 trong công thức bậc ba của Tartaglia và đơn giản hóa, ta được 0, 1 và −1 là nghiệm của x 3 - x = 0 . Tất nhiên phương trình cụ thể này có thể được giải ngay lập tức nhưng nó chứng minh rằng khi các công thức tổng quát được sử dụng để giải các phương trình bậc ba với căn thức thực thì, như các nhà toán học sau này đã chỉ ra một cách chặt chẽ, [d] việc sử dụng số phức là không thể tránh khỏi . Rafael Bombelli là người đầu tiên giải quyết một cách rõ ràng các giải pháp có vẻ nghịch lý này của phương trình bậc ba và phát triển các quy tắc số học phức tạp để cố gắng giải quyết các vấn đề này.

Thuật ngữ "tưởng tượng" cho những đại lượng này được đặt ra bởi René Descartes vào năm 1637, người đã rất nỗ lực để nhấn mạnh bản chất không thực của chúng [22]

... đôi khi chỉ là tưởng tượng, đó là người ta có thể tưởng tượng bao nhiêu như tôi đã nói trong mỗi phương trình, nhưng đôi khi không tồn tại đại lượng nào phù hợp với đại lượng mà chúng ta tưởng tượng.
[ ... quelquefois seulement trí tưởng tượng c'est-à-dire que l'on peut toujours en Imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui tương ứng à celle qu'on tưởng tượng. ]

Một nguồn nhầm lẫn nữa là phương trình √ −1 2 = √ −1 √ −1 = −1 dường như không phù hợp với đồng nhất đại số √ a √ b = √ ab , có giá trị đối với các số thực không âm a và b , và cũng được sử dụng trong các phép tính số phức với một trong các a , b dương và một âm khác. Việc sử dụng sai danh tính này (và danh tính liên quan1/√ a= √1/a) trong trường hợp khi cả a và b đều âm, ngay cả Euler bị bệnh. Khó khăn này cuối cùng dẫn đến quy ước sử dụng ký hiệu đặc biệt i thay cho √ −1 để đề phòng sai lầm này. [ cần dẫn nguồn ] Mặc dù vậy, Euler coi việc cho học sinh làm quen với số phức sớm hơn chúng ta ngày nay rất nhiều. Trong cuốn sách đại số cơ bản của mình, Các yếu tố của Đại số , ông giới thiệu những con số này gần như cùng một lúc và sau đó sử dụng chúng một cách tự nhiên xuyên suốt.

Vào thế kỷ 18, số phức đã được sử dụng rộng rãi hơn, vì người ta nhận thấy rằng các thao tác chính thức của các biểu thức phức có thể được sử dụng để đơn giản hóa các phép tính liên quan đến các hàm lượng giác. Ví dụ, vào năm 1730, Abraham de Moivre lưu ý rằng các phép đồng dạng phức tạp liên quan đến các hàm lượng giác của một bội số nguyên của một góc với lũy thừa của các hàm lượng giác của góc đó có thể được biểu diễn lại bằng công thức nổi tiếng sau đây mang tên ông, de Công thức của Moivre :

( cos ⁡ θ + Tôi tội ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + Tôi tội ⁡ n θ . {\ displaystyle (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {n} = \ cos n \ theta + i \ sin n \ theta.} {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}

Năm 1748, Leonhard Euler đã đi xa hơn và thu được công thức phân tích phức của Euler : [23]

cos ⁡ θ + Tôi tội ⁡ θ = e Tôi θ {\ displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta}} {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}

bằng cách chính thức thao tác với chuỗi lũy thừa phức tạp và nhận thấy rằng công thức này có thể được sử dụng để giảm bất kỳ nhận dạng lượng giác nào thành các nhận dạng hàm mũ đơn giản hơn nhiều.

Ý tưởng về một số phức như một điểm trong mặt phẳng phức ( ở trên ) được nhà toán học người Đan Mạch - Na Uy Caspar Wessel mô tả lần đầu tiên vào năm 1799, [24] mặc dù nó đã được dự đoán từ năm 1685 trong cuốn sách A Treatise of Algebra của Wallis . [25]

Hồi ký của Wessel xuất hiện trong Kỷ yếu của Học viện Copenhagen nhưng hầu như không được chú ý. Năm 1806, Jean-Robert Argand đã độc lập phát hành một tập sách nhỏ về số phức và cung cấp một chứng minh chặt chẽ về định lý cơ bản của đại số . [26] Carl Friedrich Gauss trước đó đã công bố một bằng chứng tôpô về cơ bản của định lý vào năm 1797 nhưng ông bày tỏ sự nghi ngờ của mình vào thời điểm đó về "siêu hình thực sự của căn bậc hai của −1". [27] Mãi đến năm 1831, ông mới vượt qua được những nghi ngờ này và xuất bản chuyên luận về số phức như các điểm trong mặt phẳng, [28] [29] ( p 638 ) phần lớn thiết lập ký hiệu và thuật ngữ hiện đại.

Nếu trước đây một người đã suy ngẫm về chủ đề này từ một quan điểm sai lầm và do đó tìm thấy một bóng tối bí ẩn, thì điều này phần lớn là do thuật ngữ vụng về. Nếu không có một đơn vị nào được gọi là +1, −1, √ −1 dương, âm, hoặc tưởng tượng (hoặc thậm chí là không thể), mà thay vào đó, đơn vị trực tiếp, nghịch đảo hoặc bên, thì hiếm có thể nói đến bóng tối như vậy. - Gauss (1831) [29] ( tr 638 ) [28]

Vào đầu thế kỷ 19, các nhà toán học khác đã khám phá ra cách biểu diễn hình học của các số phức một cách độc lập: Buée, [30] [31] Mourey , [32] Warren , [33] Français và anh trai của ông, Bellavitis . [34] [35]

Nhà toán học người Anh GH Hardy nhận xét rằng Gauss là nhà toán học đầu tiên sử dụng số phức theo một cách 'thực sự tự tin và khoa học' mặc dù các nhà toán học như Niels Na Uy Henrik Abel và Carl Gustav Jacob Jacobi nhất thiết phải sử dụng chúng thường xuyên trước khi Gauss xuất bản chuyên luận năm 1831 của mình. [36]

Augustin Louis Cauchy và Bernhard Riemann đã cùng nhau đưa những ý tưởng cơ bản của phân tích phức tạp đến trạng thái hoàn thiện cao, bắt đầu vào khoảng năm 1825 trong trường hợp của Cauchy.

Các thuật ngữ phổ biến được sử dụng trong lý thuyết chủ yếu là do những người sáng lập. Argand gọi cos φ + i sin φ là hệ số hướng , và r = √ a 2 + b 2 là môđun ; [e] [38] Cauchy (1821) gọi cos φ + i sin φ là dạng rút gọn (l'expression réduite) [39] và dường như đã giới thiệu thuật ngữ đối số ; Gauss đã sử dụng i cho √ −1 , [f] đưa ra thuật ngữ số phức cho a + bi , [g] và gọi a 2 + b 2 là chuẩn . [h] Hệ số hướng biểu thức , thường được sử dụng cho cos φ + i sin φ , là do Hankel (1867), [40] và giá trị tuyệt đối, đối với môđun, là do Weierstrass.

Các nhà văn cổ điển sau này về lý thuyết chung bao gồm Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass và nhiều người khác. Công việc quan trọng (bao gồm cả hệ thống hóa) trong phép tính đa biến phức tạp đã được bắt đầu vào đầu thế kỷ 20. Wilhelm Wirtinger đã đạt được những kết quả quan trọng vào năm 1927.

Quan hệ và hoạt động

Bình đẳng

Số phức có định nghĩa tương tự về đẳng thức đối với số thực; hai số phức a 1 + b 1 i và a 2 + b 2 i bằng nhau nếu và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, nghĩa là nếu a 1 = a 2 và b 1 = b 2 . Các số phức khác không viết ở dạng phân cực bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng độ lớn và đối số của chúng khác nhau bởi bội số nguyên của 2 π .

Đặt hàng

Không giống như các số thực, không có thứ tự tự nhiên của các số phức. Đặc biệt, không có thứ tự tuyến tính trên các số phức tương thích với phép cộng và phép nhân - các số phức không thể có cấu trúc của một trường có thứ tự. Điều này là ví dụ vì mọi tổng bình phương không tầm thường trong một trường có thứ tự là ≠ 0 và i 2 + 1 2 = 0 là tổng bình phương không tầm thường. Do đó, số phức được coi là tồn tại trên một mặt phẳng hai chiều một cách tự nhiên.

Liên hợp

Biểu diễn hình học của z và liên hợp z của nó trong mặt phẳng phức

Liên hợp phức của số phức z = x + yi được cho bởi x - yi . Nó được ký hiệu là z hoặc z * . [41] Phép toán một ngôi đối với số phức này không thể được biểu thị bằng cách chỉ áp dụng các phép toán cơ bản cộng, trừ, nhân và chia của chúng.

Về mặt hình học, z là "phản xạ" của z về trục thực. Kết hợp hai lần cho số phức ban đầu

z ¯ ¯ = z , {\ displaystyle {\ overline {\ overline {z}}} = z,} {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z,}

điều này làm cho hoạt động này trở thành một sự tiến hóa . Sự phản xạ làm cho cả phần thực và độ lớn của z không đổi, nghĩa là

Re ⁡ ( z ¯ ) = Re ⁡ ( z ) {\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ overline {z}}) = \ operatorname {Re} (z) \ quad} {\displaystyle \operatorname {Re} ({\overline {z}})=\operatorname {Re} (z)\quad } và | z ¯ | = | z | . {\ displaystyle \ quad | {\ overline {z}} | = | z |.} {\displaystyle \quad |{\overline {z}}|=|z|.}

Phần ảo và đối số của số phức z đổi dấu dưới phép liên hợp

Tôi ⁡ ( z ¯ ) = - Tôi ⁡ ( z )  và  tranh luận ⁡ z ¯ ≡ - tranh luận ⁡ z ( mod 2 π ) . {\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ overline {z}}) = - \ operatorname {Im} (z) \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {arg} {\ overline {z}} \ Equiv - \ operatorname {arg} z {\ pmod {2 \ pi}}.} {\displaystyle \operatorname {Im} ({\overline {z}})=-\operatorname {Im} (z)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {arg} {\overline {z}}\equiv -\operatorname {arg} z{\pmod {2\pi }}.}

Để biết chi tiết về đối số và độ lớn, hãy xem phần về Dạng cực .

Tích của một số phức z = x + yi và liên hợp của nó được gọi là bình phương tuyệt đối . Nó luôn là một số thực không âm và bằng bình phương độ lớn của mỗi:

z ⋅ z ¯ = x 2 + y 2 = | z | 2 = | z ¯ | 2 . {\ displaystyle z \ cdot {\ overline {z}} = x ^ {2} + y ^ {2} = | z | ^ {2} = | {\ overline {z}} | ^ {2}.} {\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{\overline {z}}|^{2}.}

Tính chất này có thể được sử dụng để chuyển một phân số có mẫu số phức thành một phân số tương đương có mẫu số thực bằng cách khai triển cả tử số và mẫu số của phân số bằng phép liên hợp của mẫu số đã cho. Quá trình này đôi khi được gọi là " hợp lý hóa " mẫu số (mặc dù mẫu số trong biểu thức cuối cùng có thể là một số thực vô tỷ), bởi vì nó giống với phương pháp loại bỏ gốc từ các biểu thức đơn giản trong một mẫu số.

Phần thực và phần ảo của số phức z có thể được trích xuất bằng cách sử dụng phép liên hợp:

Re ⁡ ( z ) = z + z ¯ 2 ,  và  Tôi ⁡ ( z ) = z - z ¯ 2 Tôi . {\ displaystyle \ operatorname {Re} (z) = {\ dfrac {z + {\ overline {z}}} {2}}, \ quad {\ text {và}} \ quad \ operatorname {Im} (z) = {\ dfrac {z - {\ overline {z}}} {2i}}.} {\displaystyle \operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.}

Hơn nữa, một số phức là thực nếu và chỉ khi nó bằng liên hợp của chính nó.

Phép cộng phân phối trên các phép toán số học phức tạp cơ bản:

z ± w ¯ = z ¯ ± w ¯ , {\ displaystyle {\ overline {z \ pm w}} = {\ overline {z}} \ pm {\ overline {w}},} {\displaystyle {\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}},}
z ⋅ w ¯ = z ¯ ⋅ w ¯ , z / w ¯ = z ¯ / w ¯ . {\ displaystyle {\ overline {z \ cdot w}} = {\ overline {z}} \ cdot {\ overline {w}}, \ quad {\ overline {z / w}} = {\ overline {z}} / {\ overline {w}}.} {\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\quad {\overline {z/w}}={\overline {z}}/{\overline {w}}.}

Liên hợp cũng được sử dụng trong hình học nghịch đảo , một nhánh của hình học nghiên cứu các phản xạ tổng quát hơn phản xạ về một đường thẳng. Trong phân tích mạng của mạch điện , liên hợp phức được sử dụng để tìm trở kháng tương đương khi tìm định lý truyền công suất cực đại .

Cộng và trừ

Phép cộng hai số phức có thể được thực hiện về mặt hình học bằng cách dựng một hình bình hành.

Hai số phức a và b được thêm vào một cách dễ dàng nhất bằng cách cộng riêng phần thực và phần ảo của chúng vào các tổng. Điều đó có nghĩa là:

a + b = ( x + y Tôi ) + ( u + v Tôi ) = ( x + u ) + ( y + v ) Tôi . {\ displaystyle a + b = (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v) i.} {\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}

Tương tự, phép trừ có thể được thực hiện như

a - b = ( x + y Tôi ) - ( u + v Tôi ) = ( x - u ) + ( y - v ) Tôi . {\ displaystyle ab = (x + yi) - (u + vi) = (xu) + (yv) i.} {\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}

Sử dụng hình dung các số phức trong mặt phẳng phức, phép cộng có cách giải thích hình học như sau: tổng của hai số phức a và b , được hiểu là các điểm trong mặt phẳng phức, là điểm có được bằng cách dựng một hình bình hành từ ba đỉnh O , và các điểm của các mũi tên có nhãn a và b (miễn là chúng không nằm trên một đường thẳng) Tương tự, gọi các điểm A , B lần lượt và điểm thứ tư của hình bình hành X là các tam giác OAB và XBA là đồng dư . Hình ảnh hóa các phép trừ có thể đạt được bằng cách xem xét bổ sung các tiêu cực bị trừ .

Phép nhân

Vì phần thực, phần ảo và i không xác định trong một số phức đều được coi là số tự thân, nên hai số phức, đã cho là z = x + yi và w = u + vi được nhân theo quy tắc của phân phối bất động sản , các tính chất giao hoán và xác định tài sản i 2 = -1 theo cách sau

z ⋅ w = ( x + y Tôi ) ⋅ ( u + v Tôi ) = x ( u + v Tôi ) + y Tôi ( u + v Tôi ) theo luật phân phối (phải) = x u + x v Tôi + y Tôi u + y Tôi v Tôi theo luật phân phối (bên trái) = x u + y Tôi v Tôi + x v Tôi + y Tôi u bởi tính chất giao hoán của phép cộng = x u + y v Tôi 2 + x v Tôi + y u Tôi bởi tính giao hoán của phép nhân = ( x u + y v Tôi 2 ) + ( x v Tôi + y u Tôi ) bởi tính liên kết của phép cộng = ( x u - y v ) + ( x v Tôi + y u Tôi ) bởi tài sản xác định của  Tôi = ( x u - y v ) + ( x v + y u ) Tôi theo luật phân phối . {\ displaystyle {\ begin {align} z \ cdot w & = (x + yi) \ cdot (u + vi) & \\ & = x (u + vi) + yi (u + vi) && {\ text {bởi luật phân phối (bên phải)}} \\ & = xu + xvi + yiu + yivi && {\ text {theo luật phân phối (bên trái)}} \\ & = xu + yivi + xvi + yiu && {\ text {theo tính chất giao hoán của phép cộng}} \\ & = xu + yvi ^ {2} + xvi + yui && {\ text {theo tính chất giao hoán của phép nhân}} \\ & = (xu + yvi ^ {2}) + (xvi + yui) && {\ text {theo tính liên kết của phép cộng}} \\ & = (xu-yv) + (xvi + yui) && {\ text {theo thuộc tính xác định của}} i \\ & = (xu-yv) + ( xv + yu) i && {\ text {theo luật phân phối}}. \ end {align}}} {\displaystyle {\begin{aligned}z\cdot w&=(x+yi)\cdot (u+vi)&\\&=x(u+vi)+yi(u+vi)&&{\text{by the (right) distributive law}}\\&=xu+xvi+yiu+yivi&&{\text{by the (left) distributive law}}\\&=xu+yivi+xvi+yiu&&{\text{by the commutativity of addition}}\\&=xu+yvi^{2}+xvi+yui&&{\text{by the commutativity of multiplication}}\\&=(xu+yvi^{2})+(xvi+yui)&&{\text{by the associativity of addition}}\\&=(xu-yv)+(xvi+yui)&&{\text{by the defining property of }}i\\&=(xu-yv)+(xv+yu)i&&{\text{by the distributive law}}.\end{aligned}}}

Đối ứng và phân chia

Sử dụng phép liên hợp, nghịch đảo của một số phức khác z = x + yi luôn có thể được chia nhỏ thành

1 z = z ¯ z z ¯ = z ¯ | z | 2 = z ¯ x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 - y x 2 + y 2 Tôi , {\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ overline {z}} {z {\ overline {z}}}} = {\ frac {\ overline {z}} {| z | ^ {2}}} = {\ frac {\ overline {z}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2} }} - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} i,} {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {\overline {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i,}

vì khác 0 ngụ ý rằng x 2 + y 2 lớn hơn 0.

Điều này có thể được sử dụng để diễn tả một bộ phận của một số phức tạp tùy ý w = u + vi của một tổ chức phi zero phức tạp số z là

w z = w ⋅ 1 z = ( u + v Tôi ) ⋅ ( x x 2 + y 2 - y x 2 + y 2 Tôi ) = 1 x 2 + y 2 ( ( u x + v y ) + ( v x - u y ) Tôi ) . {\ displaystyle {\ frac {w} {z}} = w \ cdot {\ frac {1} {z}} = (u + vi) \ cdot \ left ({\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} i \ right) = {\ frac {1} {x ^ {2} + y ^ { 2}}} \ left ((ux + vy) + (vx-uy) i \ right).} {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w\cdot {\frac {1}{z}}=(u+vi)\cdot \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i\right)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}\left((ux+vy)+(vx-uy)i\right).}

Phép nhân và phép chia ở dạng phân cực

Phép nhân 2 + i (tam giác xanh) và 3 + i (tam giác đỏ). Hình tam giác màu đỏ được quay để phù hợp với đỉnh của hình màu xanh và kéo dài √ 5 , độ dài cạnh huyền của hình tam giác màu xanh.

Các công thức nhân, chia và lũy thừa ở dạng cực đơn giản hơn các công thức tương ứng trong hệ tọa độ Descartes. Cho hai số phức z 1 = r 1 (cos  φ 1 + i  sin  φ 1 ) và z 2 = r 2 (cos  φ 2 + i  sin  φ 2 ) , vì đồng dạng lượng giác

cos ⁡ a cos ⁡ b - tội ⁡ a tội ⁡ b = cos ⁡ ( a + b ) {\ displaystyle \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b = \ cos (a + b)} {\displaystyle \cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b)}
cos ⁡ a tội ⁡ b + tội ⁡ a cos ⁡ b = tội ⁡ ( a + b ) {\ displaystyle \ cos a \ sin b + \ sin a \ cos b = \ sin (a + b)} {\displaystyle \cos a\sin b+\sin a\cos b=\sin(a+b)}

chúng ta có thể lấy được

z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( φ 1 + φ 2 ) + Tôi tội ⁡ ( φ 1 + φ 2 ) ) . {\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = r_ {1} r_ {2} (\ cos (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) + i \ sin (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2})).} {\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}

Nói cách khác, các giá trị tuyệt đối được nhân lên và các đối số được thêm vào để mang lại dạng cực của tích. Ví dụ, nhân với i tương ứng với một phần tư quay ngược chiều kim đồng hồ, trả về i 2 = −1 . Hình bên phải minh họa phép nhân của

( 2 + Tôi ) ( 3 + Tôi ) = 5 + 5 Tôi . {\ displaystyle (2 + i) (3 + i) = 5 + 5i.} {\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}

Vì phần thực và phần ảo của 5 + 5 i bằng nhau nên đối số của số đó là 45 độ, hay π / 4 (tính bằng radian ). Mặt khác, nó cũng là tổng các góc tại gốc của các tam giác màu đỏ và xanh lam lần lượt là arctan (1/3) và arctan (1/2). Do đó, công thức

π 4 = arctan ⁡ ( 1 2 ) + arctan ⁡ ( 1 3 ) {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) + \ arctan \ left ({\ frac {1} {3}} \ đúng)} {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}

nắm giữ. Vì hàm arctan có thể được xấp xỉ hiệu quả cao, nên các công thức như thế này - được gọi là công thức giống Machin - được sử dụng để tính gần đúng với độ chính xác cao của π .

Tương tự, phép chia được cho bởi

z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( φ 1 - φ 2 ) + Tôi tội ⁡ ( φ 1 - φ 2 ) ) . {\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = {\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} \ left (\ cos (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) + i \ sin (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) \ right).} {\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}

Căn bậc hai

Căn bậc hai của a + bi (với b ≠ 0 ) là ± ( γ + δ Tôi ) {\ displaystyle \ pm (\ gamma + \ delta i)} \pm (\gamma +\delta i), Ở đâu

γ = a + a 2 + b 2 2 {\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {2}}}} \gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}

và

δ = ( sgn ⁡ b ) - a + a 2 + b 2 2 , {\ displaystyle \ delta = (\ operatorname {sgn} b) {\ sqrt {\ frac {-a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {2}}},} {\displaystyle \delta =(\operatorname {sgn} b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}

trong đó sgn là hàm dấu hiệu . Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách bình phương ± ( γ + δ Tôi ) {\ displaystyle \ pm (\ gamma + \ delta i)} \pm (\gamma +\delta i)để có được a + bi . [42] [43] Tại đây a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}được gọi là môđun của a + bi , và dấu căn bậc hai cho biết căn bậc hai với phần thực không âm, được gọi là căn bậc hai chính ; cũng thế a 2 + b 2 = z z ¯ , {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt {z {\ overline {z}}}},} {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}},}trong đó z = a + bi . [44]

Hàm số mũ

Hàm số mũ exp : C → C ; z ↦ exp ⁡ z {\ displaystyle \ exp \ dấu hai chấm \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}; z \ mapsto \ exp z} {\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto \exp z}có thể được xác định cho mọi số phức z bằng chuỗi lũy thừa

exp ⁡ z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! , {\ displaystyle \ exp z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}},} {\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},}

trong đó có bán kính hội tụ vô hạn .

Giá trị tại 1 của hàm mũ là số của Euler

e = exp ⁡ 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ≈ 2.71828. {\ displaystyle e = \ exp 1 = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ khoảng 2.71828.} {\displaystyle e=\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\approx 2.71828.}

Nếu z là thực, người ta có exp ⁡ z = e z . {\ displaystyle \ exp z = e ^ {z}.} {\displaystyle \exp z=e^{z}.} Tiếp tục giải tích cho phép mở rộng đẳng thức này cho mọi giá trị phức của z , và do đó để xác định lũy thừa phức với cơ số e là

e z = exp ⁡ z . {\ displaystyle e ^ {z} = \ exp z.} {\displaystyle e^{z}=\exp z.}

Phương trình hàm

Hàm số mũ thỏa mãn phương trình hàm e z + t = e z e t . {\ displaystyle e ^ {z + t} = e ^ {z} e ^ {t}.} {\displaystyle e^{z+t}=e^{z}e^{t}.}Điều này có thể được chứng minh bằng cách so sánh sự mở rộng chuỗi lũy thừa của cả hai phần tử hoặc bằng cách áp dụng sự tiếp tục giải tích từ giới hạn của phương trình đến các đối số thực.

Công thức của Euler

Công thức của Euler nói rằng, với bất kỳ số thực y nào ,

e Tôi y = cos ⁡ y + Tôi tội ⁡ y . {\ displaystyle e ^ {iy} = \ cos y + i \ sin y.} {\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y.}

Do đó, phương trình hàm ngụ ý rằng, nếu x và y là thực, người ta có

e x + Tôi y = e x ( cos ⁡ y + Tôi tội ⁡ y ) = e x cos ⁡ y + Tôi e x tội ⁡ y , {\ displaystyle e ^ {x + iy} = e ^ {x} (\ cos y + i \ sin y) = e ^ {x} \ cos y + tức là ^ {x} \ sin y,} {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y,}

là sự phân rã của hàm số mũ thành phần thực và phần ảo của nó.

Lôgarit phức tạp

Trong trường hợp thực, logarit tự nhiên có thể được định nghĩa là nghịch đảo ln : R + → R ; x ↦ ln ⁡ x {\ displaystyle \ ln \ dấu hai chấm \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}; x \ mapsto \ ln x} {\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}của hàm số mũ. Để mở rộng điều này cho miền phức tạp, người ta có thể bắt đầu từ công thức của Euler. Nó ngụ ý rằng, nếu một số phức z ∈ C × {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {\ times}} {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}được viết ở dạng cực

z = r ( cos ⁡ φ + Tôi tội ⁡ φ ) {\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)} {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}

với r , φ ∈ R , {\ displaystyle r, \ varphi \ in \ mathbb {R},} {\displaystyle r,\varphi \in \mathbb {R} ,} sau đó với

ln ⁡ z = ln ⁡ r + Tôi φ {\ displaystyle \ ln z = \ ln r + i \ varphi} {\displaystyle \ln z=\ln r+i\varphi }

như lôgarit phức tạp, người ta có một nghịch đảo thích hợp:

exp ⁡ ln ⁡ z = exp ⁡ ( ln ⁡ r + Tôi φ ) = r exp ⁡ Tôi φ = r ( cos ⁡ φ + Tôi tội ⁡ φ ) = z . {\ displaystyle \ exp \ ln z = \ exp (\ ln r + i \ varphi) = r \ exp i \ varphi = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = z.} {\displaystyle \exp \ln z=\exp(\ln r+i\varphi )=r\exp i\varphi =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z.}

Tuy nhiên, vì cosin và sin là các hàm tuần hoàn, nên việc cộng một bội số nguyên của 2 π vào φ không làm thay đổi z . Ví dụ, e iπ = e 3 iπ = −1 , vì vậy cả iπ và 3 iπ đều là các giá trị có thể có đối với lôgarit tự nhiên của −1 .

Do đó, nếu lôgarit phức không được định nghĩa là một hàm đa giá trị

ln ⁡ z = { ln ⁡ r + Tôi ( φ + 2 π k ) ∣ k ∈ Z } , {\ displaystyle \ ln z = \ left \ {\ ln r + i (\ varphi +2 \ pi k) \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ right \},} {\displaystyle \ln z=\left\{\ln r+i(\varphi +2\pi k)\mid k\in \mathbb {Z} \right\},}

người ta phải sử dụng một cắt cành và để hạn chế codomain , kết quả là song ánh chức năng

ln : C × → R + + Tôi ( - π , π ] . {\ displaystyle \ ln \ dấu hai chấm \; \ mathbb {C} ^ {\ times} \; \ to \; \; \; \ mathbb {R} ^ {+} + \; i \, \ left (- \ pi , \ pi \ right].} {\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}

Nếu z ∈ C ∖ ( - R ≥ 0 ) {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left (- \ mathbb {R} _ {\ geq 0} \ right)} {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}không phải là một số thực không dương (một số dương hoặc một số không thực), giá trị chính của lôgarit phức nhận được bằng - π < φ < π . Nó là một hàm giải tích bên ngoài các số thực âm, nhưng nó không thể được kéo dài thành một hàm liên tục tại bất kỳ số thực âm nào z ∈ - R + {\ displaystyle z \ in - \ mathbb {R} ^ {+}} {\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}, trong đó giá trị chính là ln z = ln (- z ) + iπ . [Tôi]

Luỹ thừa

Nếu x > 0 là thực và z phức, lũy thừa được định nghĩa là

x z = e z ln ⁡ x , {\ displaystyle x ^ {z} = e ^ {z \ ln x},} {\displaystyle x^{z}=e^{z\ln x},}

trong đó ln biểu thị lôgarit tự nhiên.

Có vẻ như việc mở rộng công thức này đến các giá trị phức của x có vẻ tự nhiên , nhưng có một số khó khăn do thực tế là lôgarit phức không thực sự là một hàm, mà là một hàm đa giá trị .

Sau đó là nếu z như trên và nếu t là một số phức khác, thì lũy thừa là hàm nhiều giá trị

z t = { e t ln ⁡ r ( cos ⁡ ( φ t + 2 π k t ) + Tôi tội ⁡ ( φ t + 2 π k t ) ) } ∣ k ∈ Z } {\ displaystyle z ^ {t} = \ left \ {e ^ {t \ ln r} \, (\ cos (\ varphi t + 2 \ pi kt) + i \ sin (\ varphi t + 2 \ pi kt) ) \} \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ right \}} {\displaystyle z^{t}=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+2\pi kt)+i\sin(\varphi t+2\pi kt))\}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}

Số nguyên và số mũ phân số

Biểu diễn hình học của các căn bậc 2 đến bậc 6 của một số phức z , ở dạng cực re iφ  trong đó r = | z  | và φ = arg z . Nếu z là thực thì φ = 0 hoặc π . Rễ chính có màu đen.

Nếu, trong công thức trước, t là một số nguyên, thì sin và cosin độc lập với k . Do đó, nếu số mũ n là một số nguyên, thì z n được xác định rõ ràng và công thức lũy thừa đơn giản hóa thành công thức của de Moivre :

z n = ( r ( cos ⁡ φ + Tôi tội ⁡ φ ) ) n = r n ( cos ⁡ n φ + Tôi tội ⁡ n φ ) . {\ displaystyle z ^ {n} = (r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)) ^ {n} = r ^ {n} \, (\ cos n \ varphi + i \ sin n \ varphi) .} {\displaystyle z^{n}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}

Các n n th rễ của một số phức z được xác định bởi

z 1 / n = r n ( cos ⁡ ( φ + 2 k π n ) + Tôi tội ⁡ ( φ + 2 k π n ) ) {\ displaystyle z ^ {1 / n} = {\ sqrt [{n}] {r}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ varphi + 2k \ pi} {n}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ varphi + 2k \ pi} {n}} \ right) \ right)} {\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}

với 0 ≤ k ≤ n - 1 . (Đây r n {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {r}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}là căn bậc n thông thường (dương) của số thực dương r .) Vì sin và cosin là tuần hoàn nên các giá trị nguyên khác của k không cho giá trị khác.

Trong khi căn bậc n của số thực dương r được chọn là số thực dương c thỏa mãn c n = r , không có cách tự nhiên nào để phân biệt một căn bậc n cụ thể của một số phức. Do đó, n th gốc là một n chức năng -valued của z . Điều này ngụ ý rằng, trái với trường hợp số thực dương, người ta có

( z n ) 1 / n ≠ z , {\ displaystyle (z ^ {n}) ^ {1 / n} \ neq z,} {\displaystyle (z^{n})^{1/n}\neq z,}

vì phía bên trái bao gồm n giá trị và phía bên phải là một giá trị duy nhất.

Tính chất

Cấu trúc trường

Bộ C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} của số phức là một trường . [45] Nói một cách ngắn gọn, điều này có nghĩa là các dữ kiện sau đây là: đầu tiên, hai số phức bất kỳ có thể được cộng và nhân với nhau để tạo ra một số phức khác. Thứ hai, đối với bất kỳ số phức z nào , phép cộng nghịch đảo của nó - z cũng là một số phức; và thứ ba, mọi số phức khác không đều có một số phức nghịch đảo . Hơn nữa, các phép toán này thỏa mãn một số luật, ví dụ luật giao hoán của phép cộng và phép nhân đối với hai số phức z 1 và z 2 bất kỳ :

z 1 + z 2 = z 2 + z 1 , {\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} = z_ {2} + z_ {1},} z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},
z 1 z 2 = z 2 z 1 . {\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = z_ {2} z_ {1}.} z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}.

Hai định luật này và các yêu cầu khác đối với một trường có thể được chứng minh bằng các công thức đã cho ở trên, sử dụng thực tế là bản thân các số thực tạo thành một trường.

Không giống như thực, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} không phải là một trường có thứ tự , nghĩa là không thể xác định một quan hệ z 1 < z 2 tương thích với phép cộng và phép nhân. Trên thực tế, trong bất kỳ trường có thứ tự nào, bình phương của bất kỳ phần tử nào nhất thiết phải dương, vì vậy i 2 = −1 loại trừ sự tồn tại của một thứ tự trên C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}[46]

Khi trường cơ bản của một chủ đề hoặc công trình toán học là trường của số phức, tên của chủ đề thường được sửa đổi để phản ánh thực tế đó. Ví dụ: phân tích phức , ma trận phức , đa thức phức và đại số Lie phức .

Nghiệm của phương trình đa thức

Cho bất kỳ số phức nào (được gọi là hệ số ) a 0 , ...,  a n , phương trình

a n z n + ⋯ + a 1 z + a 0 = 0 {\ displaystyle a_ {n} z ^ {n} + \ dotb + a_ {1} z + a_ {0} = 0} a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0

có ít nhất một nghiệm phức z , với điều kiện có ít nhất một trong các hệ số cao hơn a 1 , ...,  a n khác không. [47] Đây là phát biểu của định lý cơ bản của đại số , của Carl Friedrich Gauss và Jean le Rond d'Alembert . Bởi vì thực tế này, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} được gọi là trường đóng đại số . Thuộc tính này không áp dụng cho trường số hữu tỉ Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} (đa thức x 2 - 2 không có căn nguyên hữu tỉ, vì √ 2 không phải là số hữu tỉ) cũng như các số thực R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} (đa thức x 2 + a không có căn thực đối với a > 0 , vì bình phương của x dương với mọi số thực x ).

Có bằng chứng khác nhau của định lý này, bởi một trong hai phương pháp phân tích như định lý Liouville của , hoặc topo người như số quanh co , hoặc một bằng chứng kết hợp lý thuyết Galois và thực tế là bất cứ đa thức thực sự của lẻ độ có ít nhất một gốc thực sự.

Do thực tế này, các định lý áp dụng cho bất kỳ trường đóng đại số nào áp dụng cho C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}Ví dụ, bất kỳ ma trận vuông phức không rỗng nào đều có ít nhất một giá trị riêng (phức) .

Đặc điểm đại số

Cánh đồng C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} có ba thuộc tính sau:

  • Đầu tiên, nó có đặc điểm 0. Điều này có nghĩa là 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 cho bất kỳ số lượng triệu hồi nào (tất cả đều bằng một).
  • Thứ hai, mức độ siêu việt của nó hơn Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} , lĩnh vực chính của C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,}là cốt yếu của liên tục .
  • Thứ ba, nó được đóng đại số (xem ở trên).

Có thể chỉ ra rằng bất kỳ trường nào có các thuộc tính này đều là đẳng cấu (như một trường) để C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}Ví dụ, đóng đại số của trường Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}của số p -adic cũng thỏa mãn ba thuộc tính này, vì vậy hai trường này là đẳng cấu (như các trường, nhưng không phải là trường tôpô). [48] Ngoài ra, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} là đẳng cấu cho trường của chuỗi Puiseux phức tạp . Tuy nhiên, việc xác định một đẳng cấu đòi hỏi tiên đề của sự lựa chọn . Một hệ quả khác của đặc tính đại số này là C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} chứa nhiều trường con thích hợp là đồng phân với C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} .

Đặc tính hóa như một trường cấu trúc liên kết

Đặc điểm trước của C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} chỉ mô tả các khía cạnh đại số của C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}Điều đó có nghĩa là, các thuộc tính của tính gần và tính liên tục , vốn quan trọng trong các lĩnh vực như phân tích và cấu trúc liên kết , không được xử lý. Mô tả sau đây của C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} như một trường tôpô (nghĩa là một trường được trang bị tôpô , cho phép khái niệm hội tụ) không tính đến các thuộc tính tôpô. C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} chứa một tập con P (cụ thể là tập các số thực dương) gồm các phần tử khác không thỏa mãn ba điều kiện sau:

  • P đóng dưới phép cộng, phép nhân và phép nghịch đảo.
  • Nếu x và y là những yếu tố riêng biệt của P , sau đó, hoặc x - y hoặc y - x là P .
  • Nếu S là bất kỳ tập con nào khác của P , thì S + P = x + P với một số x trong C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}

Hơn thế nữa, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} có không tầm thường involutive automorphism x ↦ x * (cụ thể là chia phức tạp), sao cho x x * là trong P đối với bất kỳ khác không x trong C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}

Bất kỳ trường F nào có các thuộc tính này đều có thể được tạo tôpô bằng cách lấy các tập B ( x ,  p ) = {  y | p - ( y - x ) ( y - x ) * ∈ P  }  là một cơ sở , nơi x dãy trên lĩnh vực và p dãy trên P . Với cấu trúc liên kết này, F là đẳng cấu như một trường cấu trúc liên kết để C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}

Các trường tôpô nhỏ gọn cục bộ được kết nối duy nhất là R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} và C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .} Điều này cho thấy một đặc điểm khác của C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} như một trường cấu trúc liên kết, kể từ C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} có thể được phân biệt với R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} bởi vì các số phức khác không được kết nối , trong khi các số thực khác không được kết nối . [49]

Xây dựng chính thức

Xây dựng theo cặp đặt hàng

William Rowan Hamilton đã giới thiệu cách tiếp cận để xác định tập hợp C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} của số phức [50] dưới dạng tập ℝ 2 của các cặp số thực có thứ tự ( a ,  b ) , trong đó các quy tắc cộng và nhân sau đây được áp dụng: [45]

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c - b d , b c + a d ) . {\ displaystyle {\ begin {align} (a, b) + (c, d) & = (a + c, b + d) \\ (a, b) \ cdot (c, d) & = (ac- bd, bc + ad). \ end {align}}} {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}

Sau đó, nó chỉ là một vấn đề ký hiệu để biểu thị ( a ,  b ) dưới dạng a + bi .

Xây dựng như một trường thương số

Mặc dù cấu trúc cấp thấp này không mô tả chính xác cấu trúc của số phức, định nghĩa tương đương sau đây cho thấy bản chất đại số của C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} nhiều hơn ngay lập tức. Đặc điểm này dựa trên khái niệm trường và đa thức. Trường là một tập hợp có các phép toán cộng, trừ, nhân và chia hoạt động như quen thuộc với các số hữu tỉ. Ví dụ, luật phân phối

( x + y ) z = x z + y z {\ displaystyle (x + y) z = xz + yz} (x+y)z=xz+yz

phải giữ cho ba phần tử x , y và z bất kỳ của một trường. Bộ R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} của các số thực tạo thành một trường. Một đa thức p ( X ) với các hệ số thực là một biểu thức có dạng

a n X n + ⋯ + a 1 X + a 0 , {\ displaystyle a_ {n} X ^ {n} + \ dotb + a_ {1} X + a_ {0},} {\displaystyle a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}

trong đó a 0 , ...,  a n là các số thực. Phép cộng và phép nhân đa thức thông thường tạo ra tập hợp R [ X ] {\ displaystyle \ mathbb {R} [X]} {\displaystyle \mathbb {R} [X]}của tất cả các đa thức như vậy có cấu trúc vòng . Vòng này được gọi là vòng đa thức trên các số thực.

Tập hợp các số phức được định nghĩa là vành thương R [ x ] / ( X 2 + 1 ) . {\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (X ^ {2} +1).} {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).}[51] lĩnh vực mở rộng này có hai căn bậc hai của -1 , cụ thể là (các cosets của) X và - X , tương ứng. (Các coset của) 1 và X tạo thành cơ sở của ℝ [ X ] / ( X 2 + 1) dưới dạng không gian vectơ thực, có nghĩa là mỗi phần tử của trường mở rộng có thể được viết duy nhất dưới dạng kết hợp tuyến tính trong hai phần tử này . Tương tự, các phần tử của trường mở rộng có thể được viết dưới dạng các cặp số thực có thứ tự ( a ,  b ) . Vòng thương là một trường, vì X 2 + 1 là bất khả quy trên R , {\ displaystyle \ mathbb {R},} {\displaystyle \mathbb {R} ,}vì vậy lý tưởng mà nó tạo ra là cực đại .

Các công thức cộng và nhân trong vòng R [ x ] , {\ displaystyle \ mathbb {R} [x],} {\displaystyle \mathbb {R} [x],}modulo quan hệ X 2 = −1 , tương ứng với các công thức cộng và nhân các số phức được xác định là các cặp có thứ tự. Vì vậy, hai định nghĩa của trường C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} là đẳng cấu (dưới dạng trường).

Chấp nhận điều đó C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} là đóng đại số, vì nó là một phần mở rộng đại số của ℝ trong cách tiếp cận này, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} do đó là sự đóng đại số của R . {\ displaystyle \ mathbb {R}.} {\displaystyle \mathbb {R} .}

Biểu diễn ma trận của số phức

Số phức a + bi cũng có thể được biểu diễn bằng ma trận 2 × 2 có dạng

( a b - b a ) . {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ - b & a \ end {pmatrix}}.} {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}.}

Ở đây các mục a và b là các số thực. Vì tổng và tích của hai ma trận như vậy lại có dạng này, nên các ma trận này tạo thành một chuỗi con của ma trận vành 2 × 2 .

Một phép tính đơn giản cho thấy rằng bản đồ

a + Tôi b ↦ ( a b - b a ) {\ displaystyle a + ib \ mapsto {\ begin {pmatrix} a & b \\ - b & a \ end {pmatrix}}} {\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}

là một đẳng cấu vành từ trường số phức đến vành của các ma trận này. Phép đẳng cấu này liên kết bình phương của giá trị tuyệt đối của một số phức với định thức của ma trận tương ứng và liên hợp của một số phức với chuyển vị của ma trận.

Hành động của ma trận trên một vectơ ( x , y ) tương ứng với phép nhân x + iy với a + ib . Đặc biệt, nếu định thức là 1 thì tồn tại số thực t sao cho ma trận có dạng

( r cos ⁡ t r tội ⁡ t - r tội ⁡ t r cos ⁡ t ) . {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} r \ cos t & r \ sin t \\ - r \ sin t & r \ cos t \ end {pmatrix}}.} {\displaystyle {\begin{pmatrix}r\cos t&r\sin t\\-r\sin t&r\cos t\end{pmatrix}}.}

Trong trường hợp này, hoạt động của ma trận đối với vectơ và phép nhân với số phức cos ⁡ t + Tôi tội ⁡ t {\ displaystyle \ cos t + i \ sin t} {\displaystyle \cos t+i\sin t}đều là chuyển động quay của góc t .

Phân tích phức tạp

Đồ thị bánh xe màu của sin (1 / z ) . Phần màu đen bên trong đề cập đến các số có giá trị tuyệt đối lớn.

Việc nghiên cứu các hàm của một biến số phức được gọi là phép phân tích phức hợp và có giá trị sử dụng thực tế to lớn trong toán học ứng dụng cũng như trong các ngành toán học khác. Thông thường, các chứng minh tự nhiên nhất cho các phát biểu trong phân tích thực hoặc lý thuyết số chẵn sử dụng các kỹ thuật từ phân tích phức tạp (xem ví dụ về định lý số nguyên tố ). Không giống như các hàm thực, thường được biểu diễn dưới dạng đồ thị hai chiều, các hàm phức có đồ thị bốn chiều và có thể được minh họa hữu ích bằng cách mã hóa màu một biểu đồ ba chiều để gợi ý bốn chiều hoặc bằng cách tạo hoạt ảnh chuyển đổi động của hàm phức mặt phẳng phức tạp.

Hàm số mũ và hàm liên quan phức tạp

Các khái niệm về chuỗi hội tụ và các hàm liên tục trong phân tích (thực) có các phép tương tự tự nhiên trong phân tích phức tạp. Một dãy số phức được cho là hội tụ nếu và chỉ khi phần thực và phần ảo của nó. Điều này tương đương với định nghĩa (ε, δ) của giới hạn , trong đó giá trị tuyệt đối của số thực được thay thế bằng giá trị của số phức. Từ một quan điểm trừu tượng hơn, ℂ , được ưu đãi với chỉ số

d ⁡ ( z 1 , z 2 ) = | z 1 - z 2 | {\ displaystyle \ operatorname {d} (z_ {1}, z_ {2}) = | z_ {1} -z_ {2} |} {\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}

là một không gian hệ mét hoàn chỉnh , trong đó đáng chú ý là bao gồm bất đẳng thức tam giác

| z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} |} |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|

với hai số phức z 1 và z 2 bất kỳ .

Giống như trong phân tích thực, khái niệm hội tụ này được sử dụng để xây dựng một số hàm cơ bản : hàm mũ exp z , còn được viết là e z , được định nghĩa là chuỗi vô hạn

exp ⁡ z : = 1 + z + z 2 2 ⋅ 1 + z 3 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ z n n ! . {\ displaystyle \ exp z: = 1 + z + {\ frac {z ^ {2}} {2 \ cdot 1}} + {\ frac {z ^ {3}} {3 \ cdot 2 \ cdot 1}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.} {\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}

Chuỗi định nghĩa các hàm lượng giác thực sin và cosine , cũng như các hàm hypebolic sinh và cosh, cũng chuyển sang các đối số phức tạp mà không thay đổi. Đối với các hàm lượng giác và hyperbolic khác, chẳng hạn như tiếp tuyến , mọi thứ phức tạp hơn một chút, vì chuỗi xác định không hội tụ cho tất cả các giá trị phức tạp. Do đó, người ta phải xác định chúng theo dạng sin, cosin và hàm mũ, hoặc tương đương, bằng cách sử dụng phương pháp giải tích liên tục .

Công thức của Euler cho biết:

exp ⁡ ( Tôi φ ) = cos ⁡ φ + Tôi tội ⁡ φ {\ displaystyle \ exp (i \ varphi) = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi} {\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }

đối với bất kỳ số thực φ , đặc biệt

exp ⁡ ( Tôi π ) = - 1 {\ displaystyle \ exp (i \ pi) = - 1} {\displaystyle \exp(i\pi )=-1}

Không giống như trường hợp số thực, có vô số nghiệm phức z của phương trình

exp ⁡ z = w {\ displaystyle \ exp z = w} {\displaystyle \exp z=w}

với mọi số phức w ≠ 0 . Có thể chứng minh rằng bất kỳ nghiệm nào như vậy z - được gọi là logarit phức của w - đều thỏa mãn

khúc gỗ ⁡ w = ln ⁡ | w | + Tôi tranh luận ⁡ w , {\ displaystyle \ log w = \ ln | w | + i \ arg w,} {\displaystyle \log w=\ln |w|+i\arg w,}

trong đó arg là đối số được xác định ở trên và trong lôgarit tự nhiên (thực) . Vì arg là một hàm nhiều giá trị , chỉ duy nhất lên đến bội số của 2 π , log cũng có nhiều giá trị. Các giá trị chủ yếu của bản ghi thường được thực hiện bằng cách hạn chế phần ảo vào khoảng (- π , π ] .

Luỹ thừa phức z ω được định nghĩa là

z ω = exp ⁡ ( ω khúc gỗ ⁡ z ) , {\ displaystyle z ^ {\ omega} = \ exp (\ omega \ log z),} {\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \log z),}

và là đa giá trị, ngoại trừ khi ω là một số nguyên. Với ω = 1 / n , đối với một số tự nhiên n nào đó , điều này thu hồi tính không duy nhất của căn bậc n nói trên.

Các số phức, không giống như số thực, nói chung không thỏa mãn đồng nhất lũy thừa và lôgarit không biến đổi, đặc biệt khi được coi là hàm đơn giá trị một cách ngây thơ; xem sự thất bại của công suất và nhận dạng lôgarit . Ví dụ, họ không đáp ứng

a b c = ( a b ) c . {\ displaystyle a ^ {bc} = \ left (a ^ {b} \ right) ^ {c}.} {\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}

Cả hai vế của phương trình là đa giá trị theo định nghĩa của lũy thừa phức được đưa ra ở đây, và các giá trị ở bên trái là một tập hợp con của các giá trị ở bên phải.

Các hàm Holomorphic

Một hàm f  : ℂ → ℂ được gọi là holomorphic nếu nó thỏa mãn các phương trình Cauchy – Riemann . Ví dụ, bất kỳ ánh xạ ℝ tuyến tính ℂ → ℂ nào cũng có thể được viết dưới dạng

f ( z ) = a z + b z ¯ {\ displaystyle f (z) = az + b {\ overline {z}}} f(z)=az+b{\overline {z}}

với hệ số phức a và b . Ánh xạ này là phức hợp nếu và chỉ khi b = 0 . Triệu hồi thứ hai b z ¯ {\ displaystyle b {\ overline {z}}} b{\overline {z}}là phân biệt thực, nhưng không thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann .

Phân tích phức tạp cho thấy một số tính năng không rõ ràng trong phân tích thực. Ví dụ, hai hàm holomorphic f và g bất kỳ đồng ý về một tập con mở nhỏ tùy ý của ℂ nhất thiết phải đồng ý ở mọi nơi. Các hàm biến hình , các hàm có thể được viết cục bộ là f ( z ) / ( z - z 0 ) n với một hàm holomorphic f , vẫn có chung một số đặc điểm của các hàm holomorphic. Các hàm khác có các điểm kỳ dị cần thiết , chẳng hạn như sin (1 / z ) tại z = 0 .

Các ứng dụng

Số phức có các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, trong đó có xử lý tín hiệu , lý thuyết điều khiển , điện từ , động lực học chất lỏng , cơ học lượng tử , bản đồ , và phân tích rung động . Một số ứng dụng này được mô tả bên dưới.

Hình học

Hình dạng

Ba phi thẳng hàng điểm u , v , w {\ displaystyle u, v, w} u,v,wtrong mặt phẳng xác định hình dạng của tam giác { u , v , w } {\ displaystyle \ {u, v, w \}} {\displaystyle \{u,v,w\}}. Xác định vị trí của các điểm trong mặt phẳng phức, hình dạng của tam giác này có thể được biểu diễn bằng số học phức như

S ( u , v , w ) = u - w u - v . {\ displaystyle S (u, v, w) = {\ frac {uw} {uv}}.} {\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}

Hình dạng S {\ displaystyle S} Scủa một tam giác sẽ không thay đổi, khi mặt phẳng phức được biến đổi bằng phép tịnh tiến hoặc giãn (bằng phép biến đổi affine ), tương ứng với khái niệm trực quan về hình dạng và mô tả sự tương tự . Do đó mỗi tam giác { u , v , w } {\ displaystyle \ {u, v, w \}} {\displaystyle \{u,v,w\}}nằm trong một lớp đồng dạng của các tam giác có cùng hình dạng. [52]

Hình học Fractal

Bộ Mandelbrot có gắn nhãn các trục thực và trục ảo.

Bộ Mandelbrot là một ví dụ phổ biến của một fractal được hình thành trên mặt phẳng phức. Nó được xác định bằng cách vẽ mọi vị trí c {\ displaystyle c} c nơi lặp lại trình tự f c ( z ) = z 2 + c {\ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c} {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}không phân kỳ khi lặp vô hạn. Tương tự, bộ Julia có các quy tắc giống nhau, ngoại trừ trường hợp c {\ displaystyle c} c vẫn không đổi.

Hình tam giác

Mọi tam giác đều có một hình elip Steiner duy nhất - một hình elip bên trong tam giác và tiếp tuyến với các trung điểm của ba cạnh của tam giác. Tiêu điểm của Steiner inellipse của tam giác có thể được tìm thấy như sau, theo định lý Marden : [53] [54] Biểu thị các đỉnh của tam giác trong mặt phẳng phức là a = x A + y A i , b = x B + y B i và c = x C + y C i . Viết phương trình bậc ba ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) = 0 {\ displaystyle (xa) (xb) (xc) = 0} (x-a)(x-b)(x-c)=0, lấy đạo hàm của nó và cân bằng đạo hàm (bậc hai) bằng 0. Định lý Marden nói rằng các nghiệm của phương trình này là các số phức biểu thị vị trí của hai foci của Steiner inellipse.

Lý thuyết số đại số

Xây dựng một ngũ giác đều bằng cách sử dụng thước thẳng và compa .

Như đã đề cập ở trên, bất kỳ phương trình đa thức không tùy biến nào (theo hệ số phức) đều có nghiệm trong ℂ . Một fortiori, điều này cũng đúng nếu phương trình có các hệ số hữu tỉ. Các gốc của các phương trình như vậy được gọi là số đại số - chúng là đối tượng nghiên cứu chính của lý thuyết số đại số . So với ℚ , đóng đại số của ℚ , cũng chứa tất cả các số đại số, ℂ có ưu điểm là dễ hiểu về mặt hình học. Bằng cách này, phương pháp đại số có thể được sử dụng để nghiên cứu các câu hỏi hình học và ngược lại. Với phương pháp đại số, cụ thể hơn là áp dụng máy móc lý thuyết trường vào trường số chứa nghiệm nguyên , có thể chỉ ra rằng không thể xây dựng một nonagon thông thường chỉ sử dụng compa và thước thẳng - một bài toán hình học thuần túy.

Một ví dụ khác là số nguyên Gaussian , tức là các số có dạng x + iy , trong đó x và y là các số nguyên, có thể được sử dụng để phân loại các tổng bình phương .

Lý thuyết số phân tích

Lý thuyết số phân tích nghiên cứu các số, thường là số nguyên hoặc số hữu tỉ, bằng cách tận dụng thực tế là chúng có thể được coi là số phức, trong đó có thể sử dụng các phương pháp giải tích. Điều này được thực hiện bằng cách mã hóa thông tin lý thuyết số trong các hàm có giá trị phức tạp. Ví dụ, hàm Riemann zeta ζ ( s ) liên quan đến phân phối các số nguyên tố .

Tích phân không đúng

Trong các lĩnh vực ứng dụng, số phức thường được sử dụng để tính các tích phân không đúng có giá trị thực nhất định , bằng các hàm có giá trị phức. Một số phương pháp tồn tại để làm điều này; xem các phương pháp tích hợp đường bao .

Phương trình động lực học

Trong phương trình vi phân , trước hết người ta thường tìm tất cả các nghiệm phức r của phương trình đặc trưng của một phương trình vi phân tuyến tính hoặc hệ phương trình và sau đó tìm cách giải hệ dưới dạng hàm cơ sở có dạng f ( t ) = e rt . Tương tự như vậy, trong các phương trình sai phân , các nghiệm thức phức r của phương trình đặc trưng của hệ phương trình sai phân được sử dụng để giải hệ theo dạng hàm cơ sở có dạng f ( t ) = r t .

Trong toán học ứng dụng

Lý thuyết kiểm soát

Trong lý thuyết điều khiển , các hệ thống thường được biến đổi từ miền thời gian sang miền tần số bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace . Các số không và cực của hệ thống sau đó được phân tích trong mặt phẳng phức . Các kỹ thuật quỹ tích gốc , biểu đồ Nyquist và biểu đồ Nichols đều sử dụng mặt phẳng phức tạp.

Trong phương pháp quỹ tích gốc, điều quan trọng là số không và cực nằm trong nửa mặt phẳng bên trái hay bên phải, nghĩa là có phần thực lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0. Nếu một hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian (LTI) có các cực là

  • ở nửa mặt phẳng bên phải, nó sẽ không ổn định ,
  • tất cả đều nằm trong nửa mặt phẳng bên trái, nó sẽ ổn định ,
  • trên trục tưởng tượng, nó sẽ có độ ổn định biên .

Nếu một hệ thống có các số không trong nửa mặt phẳng bên phải, nó là một hệ thống pha không tối thiểu .

Phân tích tín hiệu

Số phức được sử dụng trong phân tích tín hiệu và các lĩnh vực khác để mô tả thuận tiện cho các tín hiệu thay đổi định kỳ. Đối với các hàm thực đã cho biểu diễn các đại lượng vật lý thực tế, thường dưới dạng sin và cosin, các hàm phức tương ứng được coi là các phần thực của nó là các đại lượng ban đầu. Đối với sóng hình sin có tần số cho trước , giá trị tuyệt đối | z | của tương ứng z là biên độ và lập luận arg z là giai đoạn .

Nếu phân tích Fourier được sử dụng để viết một tín hiệu có giá trị thực nhất định dưới dạng tổng các hàm tuần hoàn, thì các hàm tuần hoàn này thường được viết dưới dạng các hàm có giá trị phức tạp có dạng

x ( t ) = Re ⁡ { X ( t ) } {\ displaystyle x (t) = \ operatorname {Re} \ {X (t) \}} {\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}

và

X ( t ) = A e Tôi ω t = a e Tôi ϕ e Tôi ω t = a e Tôi ( ω t + ϕ ) {\ displaystyle X (t) = Ae ^ {i \ omega t} = ae ^ {i \ phi} e ^ {i \ omega t} = ae ^ {i (\ omega t + \ phi)}} {\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}

trong đó ω đại diện cho tần số góc và số phức A mã hóa pha và biên độ như đã giải thích ở trên.

Việc sử dụng này cũng được mở rộng sang xử lý tín hiệu kỹ thuật số và xử lý hình ảnh kỹ thuật số , sử dụng các phiên bản kỹ thuật số của phân tích Fourier (và phân tích wavelet ) để truyền, nén , khôi phục và xử lý tín hiệu âm thanh kỹ thuật số , hình ảnh tĩnh và tín hiệu video .

Một ví dụ khác, liên quan đến hai dải bên của điều chế biên độ của đài AM, là:

cos ⁡ ( ( ω + α ) t ) + cos ⁡ ( ( ω - α ) t ) = Re ⁡ ( e Tôi ( ω + α ) t + e Tôi ( ω - α ) t ) = Re ⁡ ( ( e Tôi α t + e - Tôi α t ) ⋅ e Tôi ω t ) = Re ⁡ ( 2 cos ⁡ ( α t ) ⋅ e Tôi ω t ) = 2 cos ⁡ ( α t ) ⋅ Re ⁡ ( e Tôi ω t ) = 2 cos ⁡ ( α t ) ⋅ cos ⁡ ( ω t ) . {\ displaystyle {\ begin {align} \ cos ((\ omega + \ alpha) t) + \ cos \ left ((\ omega - \ alpha) t \ right) & = \ operatorname {Re} \ left (e ^ {i (\ omega + \ alpha) t} + e ^ {i (\ omega - \ alpha) t} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ left (\ left (e ^ {i \ alpha t } + e ^ {- i \ alpha t} \ right) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ left (2 \ cos (\ alpha t) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right) \\ & = 2 \ cos (\ alpha t) \ cdot \ operatorname {Re} \ left (e ^ {i \ omega t} \ right) \\ & = 2 \ cos (\ alpha t) \ cdot \ cos \ left (\ omega t \ right). \ end {align}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}

Trong vật lý

Điện từ và kỹ thuật điện

Trong kỹ thuật điện , phép biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích các điện áp và dòng điện khác nhau . Sau đó, việc xử lý điện trở , tụ điện và cuộn cảm có thể được thống nhất bằng cách đưa vào các điện trở ảo, phụ thuộc tần số cho hai điện trở sau và kết hợp cả ba thành một số phức duy nhất được gọi là trở kháng . Cách tiếp cận này được gọi là phép tính phasor .

Trong kỹ thuật điện, đơn vị ảo được ký hiệu là j , để tránh nhầm lẫn với I , đơn vị này thường được sử dụng để biểu thị dòng điện , hoặc đặc biệt hơn, i , thường được sử dụng để biểu thị dòng điện tức thời.

Vì điện áp trong mạch xoay chiều là dao động nên nó có thể được biểu diễn dưới dạng

V ( t ) = V 0 e j ω t = V 0 ( cos ⁡ ω t + j tội ⁡ ω t ) , {\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {j \ omega t} = V_ {0} \ left (\ cos \ omega t + j \ sin \ omega t \ right),} {\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}

Để có được đại lượng đo được, phần thực được lấy:

v ( t ) = Re ⁡ ( V ) = Re ⁡ [ V 0 e j ω t ] = V 0 cos ⁡ ω t . {\ displaystyle v (t) = \ operatorname {Re} (V) = \ operatorname {Re} \ left [V_ {0} e ^ {j \ omega t} \ right] = V_ {0} \ cos \ omega t .} {\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}

Tín hiệu có giá trị phức V ( t ) được gọi là biểu diễn giải tích của tín hiệu có giá trị thực, có thể đo được v ( t ) . [55]

Động lực học chất lỏng

Trong động lực học chất lỏng , các hàm phức hợp được sử dụng để mô tả dòng chảy tiềm năng theo hai chiều .

Cơ lượng tử

Trường số phức là bản chất của các công thức toán học của cơ học lượng tử , trong đó không gian Hilbert phức tạp cung cấp bối cảnh cho một công thức như vậy thuận tiện và có lẽ là tiêu chuẩn nhất. Các công thức nền tảng ban đầu của cơ học lượng tử - phương trình Schrödinger và cơ học ma trận Heisenberg - sử dụng các số phức.

Tính tương đối

Trong thuyết tương đối rộng và đặc biệt , một số công thức cho số liệu trên không thời gian trở nên đơn giản hơn nếu người ta coi thành phần thời gian của liên tục không thời gian là ảo. (Cách tiếp cận này không còn là tiêu chuẩn trong thuyết tương đối cổ điển, nhưng được sử dụng một cách thiết yếu trong lý thuyết trường lượng tử .) Số phức rất cần thiết đối với spinors , là sự tổng quát của các tenxơ được sử dụng trong thuyết tương đối.

Khái quát hóa và các khái niệm liên quan

Biểu đồ quaternion Cayley Q8 hiển thị các chu kỳ nhân với i , j và k

Quá trình mở rộng lĩnh vực R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} trong số thực cho C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} được gọi là công trình Cayley – Dickson . Nó có thể được mang xa hơn đến các kích thước cao hơn, tạo ra các quaternion H {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} và octonion O {\ displaystyle \ mathbb {O}} \mathbb {O} mà (dưới dạng không gian vectơ thực) có kích thước tương ứng là 4 và 8. Trong bối cảnh này, các số phức được gọi là các số nhị phân . [56]

Cũng giống như việc áp dụng cấu trúc để thực , thuộc tính sắp xếp bị mất, các thuộc tính quen thuộc từ số thực và số phức biến mất với mỗi phần mở rộng. Các quaternion mất tính giao hoán, nghĩa là, x · y ≠ y · x đối với một số quaternion x ,  y , và phép nhân các octonion , ngoài ra để không giao hoán, không thể kết hợp: ( x · y ) · z ≠ x · ( y · z ) đối với một số hành x ,  y ,  z .

Thực, số phức, quaternion và octonion là tất cả các đại số chia có quy chuẩn trên R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} Theo định lý Hurwitz, chúng là những người duy nhất; các sedenion , bước tiếp theo trong quá trình xây dựng Cayley – Dickson, không có cấu trúc này.

Cấu trúc Cayley – Dickson có liên quan chặt chẽ đến việc đại diện thường xuyên của C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,} được coi như một R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} - đại số (một ℝ -không gian toán tử với một phép nhân), đối với cơ sở (1,  i ) . Điều này có nghĩa như sau: R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} -bản đồ tuyến tính

C → C z ↦ w z {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {C} & \ rightarrow \ mathbb {C} \\ z & \ mapsto wz \ end {align}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}

đối với một số phức cố định w có thể được biểu diễn bằng ma trận 2 × 2 (khi đã chọn cơ sở). Đối với cơ sở (1,  i ) , ma trận này là

( Re ⁡ ( w ) - Tôi ⁡ ( w ) Tôi ⁡ ( w ) Re ⁡ ( w ) ) , {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ operatorname {Re} (w) & - \ operatorname {Im} (w) \\\ operatorname {Im} (w) & \ operatorname {Re} (w) \ end {pmatrix }},} {\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}

nghĩa là, cái được đề cập trong phần biểu diễn ma trận của số phức ở trên. Trong khi đây là một đại diện tuyến tính của C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} trong ma trận thực 2 × 2, nó không phải là ma trận duy nhất. Bất kỳ ma trận nào

J = ( p q r - p ) , p 2 + q r + 1 = 0 {\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} p & q \\ r & -p \ end {pmatrix}}, \ quad p ^ {2} + qr + 1 = 0} J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0

có tài sản đó vuông của nó là tiêu cực của ma trận sắc: J 2 = - Tôi . Sau đó

{ z = a Tôi + b J : a , b ∈ R } {\ displaystyle \ {z = aI + bJ: a, b \ in \ mathbb {R} \}} {\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}

cũng là đẳng lập với trường C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,} và đưa ra một cấu trúc phức tạp thay thế trên R 2 . {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.} {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}Điều này được khái quát bởi khái niệm về một cấu trúc phức hợp tuyến tính .

Số siêu đơn giản cũng tổng quát hóa R , {\ displaystyle \ mathbb {R},} {\displaystyle \mathbb {R} ,} C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,} H , {\ displaystyle \ mathbb {H},} {\displaystyle \mathbb {H} ,} và O . {\ displaystyle \ mathbb {O}.} {\displaystyle \mathbb {O} .}Ví dụ, khái niệm này chứa các số phức phân chia , là các phần tử của vòng R [ x ] / ( x 2 - 1 ) {\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} -1)} {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)} (như trái ngược với R [ x ] / ( x 2 + 1 ) {\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)} {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}đối với số phức). Trong vành này, phương trình a 2 = 1 có bốn nghiệm.

Cánh đồng R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} là sự hoàn thành của Q , {\ displaystyle \ mathbb {Q},} {\displaystyle \mathbb {Q} ,}trường số hữu tỉ , đối với số liệu giá trị tuyệt đối thông thường . Các lựa chọn số liệu khác trên Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} dẫn đến các cánh đồng Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}của số p -adic (với bất kỳ số nguyên tố p nào ), do đó tương tự với ℝ . Không có cách nào khác để hoàn thành Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} hơn R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} và Q p , {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p},} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}theo định lý Ostrowski . Các đóng đại số Q p ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}}} {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}} của Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} vẫn mang một tiêu chuẩn, nhưng (không giống như C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} ) không hoàn toàn liên quan đến nó. Hoàn thành C p {\ displaystyle \ mathbb {C} _ {p}} {\mathbb {C}}_{p} của Q p ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}}} {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}hóa ra là đóng đại số. Theo phép loại suy, trường được gọi là số phức p -adic.

Nhữn cánh đồng R , {\ displaystyle \ mathbb {R},} {\displaystyle \mathbb {R} ,} Q p , {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p},} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p},} và phần mở rộng trường hữu hạn của chúng, bao gồm C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,}được gọi là trường cục bộ .

Xem thêm

  • Bề mặt đại số
  • Chuyển động tròn sử dụng số phức
  • Hệ thống cơ sở phức hợp
  • Hình học phức tạp
  • Số phức kép
  • Số nguyên Eisenstein
  • Danh tính của Euler
  • Đại số hình học (bao gồm mặt phẳng phức là không gian con spinor 2 chiều G 2 + {\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {2} ^ {+}} {\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}})
  • Gốc của sự thống nhất
  • Số phức đơn vị

Ghi chú

  1. ^ "Các số phức, nhiều như số thực, và có lẽ còn hơn thế nữa, tìm thấy sự thống nhất với tự nhiên là điều thực sự đáng chú ý. Bản thân Nature cũng bị ấn tượng bởi phạm vi và tính nhất quán của hệ thống số phức như chính chúng ta, và đã giao phó cho những con số này các hoạt động chính xác của thế giới của cô ấy ở quy mô nhỏ nhất của nó. " - R. Penrose (2016, trang 73) [5]
  2. ^ "Máy bay R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} \R^2 mà điểm của nó được xác định với các yếu tố của C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} được gọi là mặt phẳng phức "..." Việc giải thích hình học hoàn chỉnh các số phức và các phép toán trên chúng xuất hiện đầu tiên trong công trình của C. Wessel (1799). Biểu diễn hình học của số phức, đôi khi được gọi là "sơ đồ Argand", được sử dụng sau khi xuất bản các bài báo của JR Argand vào năm 1806 và 1814, người đã khám phá lại, phần lớn một cách độc lập, những phát hiện của Wessel ". - ( Solomentsev 2001 )
  3. ^ Theo ký hiệu hiện đại, giải pháp của Tartaglia dựa trên việc mở rộng khối lập phương của tổng hai căn khối lập phương: ( u 3 + v 3 ) 3 = 3 u v 3 ( u 3 + v 3 ) + u + v {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ right) ^ {3} = 3 {\ sqrt [{3}] {uv }} \ left ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ right) + u + v} \left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right)^3 = 3 \sqrt[3]{uv} \left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right) + u + v Với x = u 3 + v 3 {\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}}} x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}, p = 3 u v 3 {\ displaystyle p = 3 {\ sqrt [{3}] {uv}}} p = 3 \sqrt[3]{uv}, q = u + v {\ displaystyle q = u + v} q = u + v, u và v có thể được biểu diễn theo p và q là u = q / 2 + ( q / 2 ) 2 - ( p / 3 ) 3 {\ displaystyle u = q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}} u = q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3} và v = q / 2 - ( q / 2 ) 2 - ( p / 3 ) 3 {\ displaystyle v = q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}} v = q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}, tương ứng. Vì thế, x = q / 2 + ( q / 2 ) 2 - ( p / 3 ) 3 3 + q / 2 - ( q / 2 ) 2 - ( p / 3 ) 3 3 {\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}} + {\ sqrt [ {3}] {q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}}} x = \sqrt[3]{q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}} + \sqrt[3]{q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}}. Khi nào ( q / 2 ) 2 - ( p / 3 ) 3 {\ displaystyle (q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}} (q/2)^2-(p/3)^3 là âm (casus irreducibilis), căn bậc hai nên được coi là liên hợp phức của căn thứ nhất.
  4. ^ Người ta đã chứng minh rằng các số ảo nhất thiết phải xuất hiện trong công thức bậc ba khi phương trình có ba nghiệm thực khác nhau bởi Pierre Laurent Wantzel năm 1843, Vincenzo Mollame năm 1890, Otto Hölder năm 1891 và Adolf Kneser năm 1892. Paolo Ruffini cũng cung cấp một bằng chứng không đầy đủ vào năm 1799. - S. Confalonieri (2015) [21]
  5. ^ Argand (1814) [37] ( p 204 ) định nghĩa môđun của một số phức nhưng ông không đặt tên cho nó:
    "Dans ce qui suit, les accens, indfféremment sa khoáng, seront Employés pour indquer la grandeur Regiue des quantités qu ' tôi có ảnh hưởng; ainsi, si a = m + n - 1 {\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}, m {\ displaystyle m} m et n {\ displaystyle n} n étant réels, trên devra entender que a ′ {\ displaystyle a_ {'}} {\displaystyle a_{'}} ou a ′ = m 2 + n 2 {\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}. "
    [Như sau, dấu trọng âm, ở bất cứ nơi nào chúng được đặt, sẽ được sử dụng để biểu thị kích thước tuyệt đối của số lượng mà chúng được gán; do đó nếu a = m + n - 1 {\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}, m {\ displaystyle m} m và n {\ displaystyle n} n là có thật, người ta nên hiểu rằng a ′ {\ displaystyle a_ {'}} {\displaystyle a_{'}} hoặc là a ′ = m 2 + n 2 {\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.]
    Argand [37] ( p 208 ) định nghĩa và đặt tên cho môđun và hệ số hướng của một số phức: "... a = m 2 + n 2 {\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}pourrait être appelé le module de a + b - 1 {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}, et représenterait la grandeur Regiue de la ligne a + b - 1 {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}, tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la direction. "
    [... a = m 2 + n 2 {\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}có thể được gọi là mô-đun của a + b - 1 {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}và sẽ đại diện cho kích thước tuyệt đối của dòng a + b - 1 , {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}} \ ,,} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,} (Lưu ý rằng Argand đại diện cho số phức dưới dạng vectơ.) Trong khi yếu tố khác [cụ thể là a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 - 1 {\ displaystyle {\ tfrac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} + {\ tfrac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}], có mô-đun là thống nhất [1], sẽ đại diện cho hướng của nó.] [37]
  6. ^ Gauss (1831) [29] ( p 96 ) viết
    "Quemadmodum nghĩa là Arithmetica sublimior trong quaestionibus hactenus pertractatis solo liên numeros integros reales versatur, ita theoremata khoảng residua biquadratica Tunç tantum trong summa simplicitate ac genuina venustate rực rỡ, quando quảng cáo Arithmeticae trường quantitates imaginarias expanditur, ita ut absque limitedtione ipsius obiectum consuant numberae a + bi , denotantibus i , pro more quantrọng sắc giáo dân √ −1 , atque a, b, omnes vô thời hạn. ∞ {\ displaystyle \ infty} \infty et + ∞ {\ displaystyle \ infty} \infty . "
    [Tất nhiên cũng giống như số học cao hơn đã được nghiên cứu cho đến nay trong các bài toán chỉ giữa các số nguyên thực, do đó, các định lý liên quan đến dư bậc hai sau đó tỏa sáng trong sự đơn giản và vẻ đẹp thực sự lớn nhất, khi lĩnh vực số học được mở rộng sang các đại lượng tưởng tượng , do đó , không hạn chế về nó, các số có dạng a + bi - i biểu thị theo quy ước đại lượng ảo √ −1 và các biến a, b [biểu thị] tất cả các số nguyên thực giữa - ∞ {\ displaystyle - \ infty} -\infty và + ∞ {\ displaystyle + \ infty} +\infty - cấu thành một đối tượng.] [29]
  7. ^ Gauss (1831) [29] ( tr 96 )
    "Tales numros vocabimus numros Tích phân complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam loài sub his contineri conceantur."
    [Chúng ta sẽ gọi các số như vậy [cụ thể là các số có dạng a + bi ] là "số nguyên phức", do đó [số] thực không được coi là đối lập của [số] phức mà [là] một loại [của số đó ] có thể nói là chứa đựng bên trong chúng.] [29]
  8. ^ Gauss (1831) [29] ( tr 98 )
    "Productum numberri complexi per numerum ipsi obsunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numberri realis, ipsius quadratum habendum est."
    [Chúng tôi gọi một "chuẩn" là tích của một số phức [ví dụ:. a + ib ] với liên từ [ a - ib ] của nó. Do đó bình phương của một số thực nên được coi là chuẩn của nó.] [29]
  9. ^ Tuy nhiên, đối với một hàm ngược khác của hàm mũ phức (và không phải giá trị chính xác định ở trên), có thể thực hiện cắt nhánh tại bất kỳ tia nào khácqua gốctọađộ.

Người giới thiệu

  1. ^ Để biết thêm về lịch sử của các con số "tưởng tượng", từ sự hoài nghi ban đầu đến sự chấp nhận cuối cùng, xem Bourbaki, Nicolas (1998). "Cơ sở của Toán học § Logic: Lý thuyết tập hợp". Các yếu tố của Lịch sử Toán học . Springer. trang 18–24.
  2. ^ a b c "Danh sách toàn diện các ký hiệu đại số" . Kho Toán học . Ngày 25 tháng 3 năm 2020 . Truy cập ngày 12 tháng 8 năm 2020 .
  3. ^ a b c "Số phức" . www.mathsisfun.com . Truy cập ngày 12 tháng 8 năm 2020 .
  4. ^ "Số phức" . Wiki Toán học & Khoa học rực rỡ . Truy cập ngày 12 tháng 8 năm 2020 .
  5. ^ Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: Một hướng dẫn đầy đủ về các quy luật của vũ trụ (tái bản ed.). Ngôi nhà ngẫu nhiên. trang 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8.
  6. ^ Axler, Sheldon (2010). Đại số đại học . Wiley. p. 262 . ISBN 9780470470770.
  7. ^ Spiegel, MR; Lipschutz, S.; Schiller, JJ; Spellman, D. (ngày 14 tháng 4 năm 2009). Biến phức tạp . Schaum's Outline Series (xuất bản lần thứ 2). Đồi McGraw. ISBN 978-0-07-161569-3.
  8. ^ Aufmann, Richard N. .; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). "Chương P" . Đại số Cao đẳng và Lượng giác (6 ed.). Học tập Cengage. p. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.
  9. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  10. ^ See ( Ahlfors 1979 ).
  11. ^ Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Các biến phức tạp và ứng dụng (xuất bản lần thứ 6). New York: McGraw-Hill. p. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. Trong kỹ thuật điện, chữ j được dùng thay cho i .
  12. ^ Pedoe, Dan (1988). Hình học: Một khóa học toàn diện . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  13. ^ a b Weisstein, Eric W. "Số phức" . mathworld.wolfram.com . Truy cập ngày 12 tháng 8 năm 2020 .
  14. ^ Xem ( Apostol 1981 ), trang 18.
  15. ^ Kasana, HS (2005). "Chương 1" . Biến phức tạp: Lý thuyết và ứng dụng (xuất bản lần thứ 2). PHI Học Pvt. Công ty TNHH p. 14. ISBN 978-81-203-2641-5.
  16. ^ Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). "Chương 9" . Mạch điện (xuất bản lần thứ 8). Sảnh Prentice. p. 338. ISBN 978-0-13-198925-2.
  17. ^ Kline, Morris. Lịch sử tư tưởng toán học, tập 1 . p. 253.
  18. ^ Katz, Victor J. (2004). "9.1.4". Lịch sử Toán học, Phiên bản tóm tắt . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  19. ^ Hamilton, Wm. (1844). "Về một loại đại lượng tưởng tượng mới được kết nối với một lý thuyết về quaternion" . Kỷ yếu của Học viện Hoàng gia Ailen . 2 : 424–434.
  20. ^ Nahin, Paul J. (2007). Câu chuyện tưởng tượng: Câu chuyện về √ −1 . Nhà xuất bản Đại học Princeton . ISBN 978-0-691-12798-9. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 10 năm 2012 . Truy cập ngày 20 tháng 4 năm 2011 .
  21. ^ a b Confalonieri, Sara (2015). Nỗ lực không thể đạt được để tránh sự bất ổn của Casus đối với phương trình khối: De Regula Aliza của Gerolamo Cardano . Springer. trang 15–16 (chú thích 26). ISBN 978-3658092757.
  22. ^ Descartes, René (1954) [1637]. La Géométrie | Hình học của René Descartes với bản sao của ấn bản đầu tiên . Ấn phẩm Dover . ISBN 978-0-486-60068-0. Truy cập ngày 20 tháng 4 năm 2011 .
  23. ^ Euler, Leonard (1748). Giới thiệu trong Analysin Infinitorum [ Giới thiệu về Phân tích Cái vô hạn ] (bằng tiếng Latinh). vol. 1. Lucerne, Thụy Sĩ: Marc Michel Bosquet & Co. p. 104. |volume=có thêm văn bản ( trợ giúp )
  24. ^ Wessel, Caspar (1799). "Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning" [Về biểu diễn phân tích của hướng, một nỗ lực được áp dụng đặc biệt để xác định các đa giác mặt phẳng và hình cầu]. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [Bộ sưu tập mới về các tác phẩm của Hiệp hội Khoa học Hoàng gia Đan Mạch] (bằng tiếng Đan Mạch). 5 : 469–518.
  25. ^ Wallis, John (1685). Một luận về đại số, cả lịch sử và thực tiễn… . London, Anh: in bởi John Playford, cho Richard Davis. trang 264–273.
  26. ^ Argand (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités Imaginaires dans les constructions géométriques [ Bài luận về cách biểu diễn các đại lượng phức bằng các cấu tạo hình học ] (bằng tiếng Pháp). Paris, Pháp: Bà Veuve Blanc.
  27. ^ Gauss, Carl Friedrich (1799) "Định lý Demonstratio novaatis omnem functionem algebraicam rationalem tích phân unius variabilis trên thực tế thực tế có thực primi vel secundi gradus Resolutionvi Posse." [Chứng minh mới của định lý rằng bất kỳ hàm đại số tích phân hữu tỉ của một biến đơn lẻ đều có thể được giải quyết thành các nhân tử thực của cấp độ một hoặc cấp hai.] Ph.D. luận án, Đại học Helmstedt, (Đức). (trong Latin)
  28. ^ a b Ewald, William B. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundation of Math . 1 . Nhà xuất bản Đại học Oxford. p. 313. ISBN 9780198505358. Truy cập ngày 18 tháng 3 năm 2020 .
  29. ^ a b c d e f g h Gauss, CF (1831). "Theoria Residentuorum biquadraticorum. Commentatio secunda" [Lý thuyết về phần dư của hai bậc. Hồi ký thứ hai.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (bằng tiếng Latinh). 7 : 89–148.
  30. ^ Adrien Quentin Buée (1745–1845): MacTutor
  31. ^ Buée (1806). "Mémoire sur les quantités Imaginaires" [Hồi ký về đại lượng tưởng tượng]. Các giao dịch triết học của Hiệp hội Hoàng gia London (bằng tiếng Pháp). 96 : 23–88. doi : 10.1098 / rstl.1806.0003 . S2CID  110394048 .
  32. ^ Mourey, CV (1861). La vraies théore des quantités négaries et des quantités prétendues fantasyinaires [ Lý thuyết thực sự về đại lượng âm và về đại lượng tưởng tượng ] (bằng tiếng Pháp). Paris, Pháp: Mallet-Bachelier. 1861 tái bản 1828 nguyên bản.
  33. ^ Xem:
     • Warren, John (1828). Một chuyên luận về biểu diễn hình học của gốc hình vuông của đại lượng âm . Cambridge, Anh: Nhà xuất bản Đại học Cambridge.
     • Warren, John (1829). "Xem xét các phản đối được nêu ra chống lại sự biểu diễn hình học của căn bậc hai của các đại lượng âm" . Các giao dịch triết học của Hiệp hội Hoàng gia London . 119 : 241–254. doi : 10.1098 / rstl.1829.0022 . S2CID  186211638 .
     • Warren, John (1829). "Về biểu diễn hình học của lũy thừa của các đại lượng, mà chỉ số của chúng liên quan đến căn bậc hai của số âm" . Các giao dịch triết học của Hiệp hội Hoàng gia London . 119 : 339–359. doi : 10.1098 / rstl.1829.0031 . S2CID  125699726 .
  34. ^ Français, JF (1813). "Nouveaux Princecipes de géométrie de position, et interprétation géométrique des Symboles virtualires" [Các nguyên tắc mới của hình học vị trí, và cách giải thích hình học của các ký hiệu [số] phức]. Annales des mathématiques pures et appquées (bằng tiếng Pháp). 4 : 61–71.
  35. ^ Caparrini, Sandro (2000). "Về nguồn gốc chung của một số công trình về giải thích hình học của số phức" . Trong Kim Williams (ed.). Hai nền văn hóa . Birkhäuser. p. 139. ISBN 978-3-7643-7186-9.
  36. ^ Hardy, GH; Được rồi, EM (2000) [1938]. Giới thiệu về lý thuyết các con số . OUP Oxford . p. 189 (tái bản lần thứ tư). ISBN 978-0-19-921986-5.
  37. ^ a b c Argand (1814). "Reflexions sur la nouvelle théorie des fantasyinaires, suives d'une application à la Liberation d'un theorème d'analise" [Những phản ánh về lý thuyết mới về số phức, tiếp theo là một ứng dụng để chứng minh một định lý phân tích]. Annales de mathématiques pures et appquées (bằng tiếng Pháp). 5 : 197–209.
  38. ^ Jeff Miller (ngày 21 tháng 9 năm 1999). "ĐNG CẤP" . Công dụng được biết đến nhiều nhất của một số từ trong toán học (M) . Bản gốc lưu trữ ngày 3 tháng 10 năm 1999.Bảo trì CS1: URL không phù hợp ( liên kết )
  39. ^ Cauchy, Augustin Louis (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique (bằng tiếng Pháp). vol. 1. Paris, Pháp: L'Imprimerie Royale. p. 183. |volume=có thêm văn bản ( trợ giúp )
  40. ^ Hankel, Hermann (1867). Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen [ Bài giảng về số phức và chức năng của chúng ] (bằng tiếng Đức). vol. 1. Leipzig, [Đức]: Leopold Voss. p. 71. |volume=có thêm văn bản ( trợ giúp )Từ P. 71: "Wir werden den Factor ( cos φ + i sin φ) haüfig den Richtungscoeosystemen nennen." (Chúng ta thường gọi hệ số (cos φ + i sin φ) là "hệ số hướng".)
  41. ^ Đối với ký hiệu cũ, Xem ( Apostol 1981 ), trang 15–16.
  42. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Sổ tay các hàm toán học với các công thức, đồ thị và bảng toán học . Ấn phẩm của Courier Dover. p. 17. ISBN 978-0-486-61272-0. Bản gốc lưu trữ ngày 23 tháng 4 năm 2016 . Truy cập ngày 16 tháng 2 năm 2016 ., Mục 3.7.26, tr. 17 Lưu trữ ngày 10 tháng 9 năm 2009 tại Wayback Machine
  43. ^ Cooke, Roger (2008). Đại số cổ điển: bản chất, nguồn gốc và cách sử dụng của nó . John Wiley và các con trai. p. 59. ISBN 978-0-470-25952-8. Bản gốc lưu trữ ngày 24 tháng 4 năm 2016 . Truy cập ngày 16 tháng 2 năm 2016 ., Trích xuất: trang 59 Lưu trữ ngày 23 tháng 4 năm 2016 tại Wayback Machine
  44. ^ Xem ( Ahlfors 1979 ), trang 3.
  45. ^ a b Xem ( Apostol 1981 ), trang 15–16.
  46. ^ Xem ( Apostol 1981 ), trang 25.
  47. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  48. ^ Marker, David (1996). "Giới thiệu về Lý thuyết Mô hình Trường" . Trong Marker, D.; Messmer, M.; Pillay, A. (tái bản). Lý thuyết mô hình của các trường . Ghi chú bài giảng trong Logic. 5 . Berlin: Springer-Verlag. trang 1–37. ISBN 978-3-540-60741-0. ÔNG  1477154 .
  49. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.4)
  50. ^ Corry, Leo (2015). Lược sử về các con số . Nhà xuất bản Đại học Oxford. trang 215–16.
  51. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  52. ^ Lester, JA (1994). "Hình tam giác I: Hình dạng". Aequationes Mathematicae . 52 : 30–54. doi : 10.1007 / BF01818325 . S2CID  121095307 .
  53. ^ Kalman, Dan (2008a). "Một Chứng minh Sơ cấp của Định lý Marden" . Toán học Hoa Kỳ hàng tháng . 115 (4): 330–38. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920532 . ISSN  0002-9890 . S2CID  13222698 . Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 3 năm 2012 . Truy cập ngày 1 tháng 1 năm 2012 .
  54. ^ Kalman, Dan (2008b). "Định lý Kỳ diệu nhất trong Toán học" . Tạp chí Toán học Trực tuyến và Ứng dụng của nó . Bản gốc lưu trữ ngày 8 tháng 2 năm 2012 . Truy cập ngày 1 tháng 1 năm 2012 .
  55. ^ Cấp, IS; Phillips, WR (2008). Điện từ học (2 ed.). Loạt bài Vật lý Manchester. ISBN 978-0-471-92712-9.
  56. ^ McCrimmon, Kevin (2004). Một hương vị của Đại số Jordan . Văn bản đại học. Springer. p. 64. ISBN 0-387-95447-3. ÔNG2014924

Công trình được trích dẫn

  • Ahlfors, Lars (1979). Phân tích phức tạp (xuất bản lần thứ 3). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Apostol, Tom (1981). Phân tích toán học . Addison-Wesley.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Số phức" , Bách khoa toàn thư về Toán học , Nhà xuất bản EMS

đọc thêm

  • Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: Hướng dẫn đầy đủ về các quy luật của vũ trụ . Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
  • Derbyshire, John (2006). Số lượng không xác định: Một lịch sử thực và ảo của đại số . Joseph Henry Báo chí. ISBN 978-0-309-09657-7.
  • Needham, Tristan (1997). Phân tích phức hợp trực quan . Báo chí Clarendon. ISBN 978-0-19-853447-1.

Toán học

  • Ahlfors, Lars (1979). Phân tích phức tạp (xuất bản lần thứ 3). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Conway, John B. (1986). Chức năng của One I Variable Complex . Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
  • Joshi, Kapil D. (1989). Cơ sở của Toán học rời rạc . New York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-21152-6.
  • Pedoe, Dan (1988). Hình học: Một khóa học toàn diện . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  • Nhấn, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Phần 5.5 Số học phức tạp" . Công thức số: Nghệ thuật tính toán khoa học (xuất bản lần thứ 3). New York: Nhà xuất bản Đại học Cambridge. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Số phức" , Bách khoa toàn thư về Toán học , Nhà xuất bản EMS

Lịch sử

  • Bourbaki, Nicolas (1998). "Cơ sở của toán học § logic: lý thuyết tập hợp". Các yếu tố của lịch sử toán học . Springer.
  • Burton, David M. (1995). Lịch sử Toán học (xuất bản lần thứ 3). New York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-009465-9.
  • Katz, Victor J. (2004). Lịch sử Toán học, Phiên bản tóm tắt . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  • Nahin, Paul J. (1998). Câu chuyện tưởng tượng: Câu chuyện về - 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {-1}}} \scriptstyle {\sqrt {-1}}. Nhà xuất bản Đại học Princeton. ISBN 978-0-691-02795-1. - Giới thiệu nhẹ nhàng về lịch sử của số phức và sự khởi đầu của phép phân tích phức.
  • Ebbinghaus, HD; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Máy chính, K. Neukirch, J .; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Số (ấn bản bìa cứng). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. - Một quan điểm tiên tiến về sự phát triển lịch sử của khái niệm số.
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Complex_number" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP