Hình trụ

Các định nghĩa và kết quả trong phần này được lấy từ Mặt phẳng văn bản và Hình học rắn năm 1913 của George Wentworth và David Eugene Smith ( Wentworth & Smith 1913 ).

Mặt trụ là mặt phẳng bao gồm tất cả các điểm trên tất cả các đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua một đường cong mặt phẳng cố định trong một mặt phẳng không song song với đường thẳng cho trước. Bất kỳ đường thẳng nào trong họ đường thẳng song song này được gọi là một phần tử của mặt trụ. Từ một chuyển động quan điểm trên, được đưa ra một đường cong phẳng, được gọi là đường chuẩn , một bề mặt hình trụ là bề mặt vạch ra bởi một dòng, được gọi là đường sinh một mặt , không phải trong mặt phẳng của đường chuẩn, di chuyển song song với chính nó và luôn luôn đi qua các đường chuẩn . Bất kỳ vị trí cụ thể nào của ma trận đều là một phần tử của bề mặt hình trụ.

Hình trụ tròn bên phải và hình trụ xiên

Một vật rắn được giới hạn bởi một mặt trụ và hai mặt phẳng song song được gọi là một hình trụ (rắn) . Các đoạn thẳng xác định bởi một phần tử của mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng song song được gọi là phần tử của hình trụ . Tất cả các phần tử của một hình trụ có độ dài bằng nhau. Vùng giới hạn bởi mặt trụ trong một trong hai mặt phẳng song song được gọi là đáy của hình trụ. Hai đáy của một hình trụ là các hình đồng dạng . Nếu các yếu tố của hình trụ vuông góc với mặt phẳng chứa các căn cứ, xi-lanh là một xi lanh ngay , nếu không nó được gọi là một xi lanh xiên . Nếu các đáy là đĩa (vùng có ranh giới là hình tròn ) thì hình trụ được gọi là hình trụ tròn . Trong một số phương pháp điều trị cơ bản, hình trụ luôn có nghĩa là hình trụ tròn. ^[2]

Các chiều cao (hoặc độ cao) của một hình trụ là vuông góc với khoảng cách giữa các căn cứ của mình.

Hình trụ có được bằng cách quay một đoạn thẳng về một đường thẳng cố định mà nó song song với nó là một hình trụ có vòng quay . Một hình trụ của cách mạng là một hình trụ tròn bên phải. Chiều cao của một vòng quay hình trụ là chiều dài của đoạn đường dây tạo ra. Đường mà đoạn thẳng quay được gọi là trục của hình trụ và nó đi qua tâm của hai đáy.

Một hình trụ tròn bên phải có bán kính r và chiều cao h

Hình trụ tròn bên phải

Thuật ngữ hình trụ trần thường dùng để chỉ một hình trụ đặc có các đầu tròn vuông góc với trục, tức là một hình trụ tròn bên phải, như trong hình. Mặt trụ không có các đầu mút được gọi là mặt trụ hở . Các công thức về diện tích bề mặt và thể tích của một hình trụ tròn bên phải đã được biết đến từ thời cổ đại.

Hình trụ tròn bên phải cũng có thể được coi là vật rắn của cuộc cách mạng được tạo ra bằng cách quay một hình chữ nhật về một trong các cạnh của nó. Các hình trụ này được sử dụng trong một kỹ thuật tích hợp ("phương pháp đĩa") để thu được các khối lượng chất rắn cách mạng. ^[3]

Phần hình trụ

Phần xi lanh

Mặt cắt hình trụ là giao của mặt trụ với mặt phẳng . Nhìn chung, chúng là những đường cong và là những loại mặt cắt đặc biệt . Tiết diện hình trụ bởi mặt phẳng chứa hai phần tử của hình trụ là một hình bình hành . ^[4] Phần hình trụ như vậy của hình trụ bên phải là một hình chữ nhật . ^[4]

Mặt cắt hình trụ trong đó mặt phẳng cắt nhau và vuông góc với tất cả các phần tử của hình trụ được gọi là mặt cắt bên phải . ^[5] Nếu phần bên phải của hình trụ là hình tròn thì hình trụ đó là hình trụ tròn. Nói một cách tổng quát hơn, nếu một phần bên phải của một hình trụ là một phần hình nón (parabol, elip, hyperbol) thì hình trụ đặc tương ứng là parabol, elliptic và hyperbol.

Mặt cắt hình trụ của hình trụ tròn bên phải

Đối với một hình trụ tròn bên phải, có một số cách mà các mặt phẳng có thể gặp một hình trụ. Đầu tiên, các mặt phẳng cắt một cơ sở tại nhiều nhất một điểm. Một mặt phẳng là tiếp tuyến của hình trụ nếu nó tiếp xúc với hình trụ trong một phần tử duy nhất. Các phần bên phải là hình tròn và tất cả các mặt phẳng khác cắt bề mặt hình trụ theo hình elip . ^[6] Nếu một mặt phẳng cắt đáy của hình trụ tại đúng hai điểm thì đoạn thẳng nối các điểm này là một phần của mặt cắt hình trụ. Nếu một mặt phẳng như vậy chứa hai phần tử, nó có một hình chữ nhật là phần hình trụ, nếu không các mặt của phần hình trụ là các phần của hình elip. Cuối cùng, nếu một mặt phẳng chứa nhiều hơn hai điểm của một cơ sở, thì nó chứa toàn bộ cơ sở đó và phần hình trụ là một hình tròn.

Trong trường hợp hình trụ tròn bên phải có tiết diện hình trụ là hình elip, độ lệch tâm e của tiết diện hình trụ và bán trục a của tiết diện hình trụ phụ thuộc vào bán kính của hình trụ r và góc α giữa mặt phẳng và trục hình trụ, theo cách sau:

${\ displaystyle e = \ cos \ alpha,}$

${\ displaystyle a = {\ frac {r} {\ sin \ alpha}}.}$

Âm lượng

Nếu đáy của một hình trụ tròn có bán kính r và hình trụ có chiều cao h thì thể tích của nó được cho bởi

V = π r ² h .

Công thức này xác định hình trụ có phải là hình trụ bên phải hay không. ^[7]

Công thức này có thể được thiết lập bằng cách sử dụng nguyên tắc của Cavalieri .

Một hình trụ elip đặc với các bán trục a và b cho hình elip cơ sở và chiều cao h

Nói một cách tổng quát hơn, theo cùng một nguyên tắc, thể tích của một hình trụ bất kỳ là tích của diện tích hình đáy và chiều cao. Ví dụ, một hình trụ elip có đáy có bán trục a , bán trục nhỏ b và chiều cao h có thể tích V = Ah , trong đó A là diện tích của hình elip đáy (= π ab ). Kết quả này đối với hình trụ elip bên phải cũng có thể thu được bằng tích phân, trong đó trục của hình trụ được lấy là trục x dương và A ( x ) = A là diện tích của mỗi mặt cắt ngang hình elip, do đó:

${\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} A (x) dx = \ int _ {0} ^ {h} \ pi diabx = \ pi ab \ int _ {0} ^ {h} dx = \ pi abh.}$

Sử dụng tọa độ hình trụ , thể tích của một hình trụ tròn bên phải có thể được tính bằng tích phân

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} s \, \, ds \, d \ phi \, dz }$

${\ displaystyle = \ pi \, r ^ {2} \, h.}$

Diện tích bề mặt

Có bán kính r và độ cao (chiều cao) h , diện tích bề mặt của một hình trụ tròn bên phải, hướng sao cho trục của nó thẳng đứng, gồm ba phần:

• diện tích của đáy trên: π r ²
• diện tích của đáy: π r ²
• diện tích của mặt bên: 2π rh

Diện tích phía trên và căn cứ chốt là như nhau, và được gọi là khu căn cứ , B . Diện tích bên được gọi là khu vực bên , L .

Một hình trụ mở không bao gồm các phần tử trên cùng hoặc dưới cùng và do đó có diện tích bề mặt (diện tích bên)

L = 2π rh .

Diện tích bề mặt của hình trụ tròn bên phải đặc là tổng của cả ba thành phần: đỉnh, đáy và mặt bên. Diện tích bề mặt của nó là do đó,

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r ² = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

trong đó d = 2 r là đường kính của đỉnh hoặc đáy hình tròn.

Thể tích cho trước thì hình trụ tròn bên phải có diện tích mặt bằng nhỏ nhất có h = 2 r . Tương tự, với một diện tích bề mặt cho trước, hình trụ tròn bên phải có thể tích lớn nhất có h = 2 r , tức là hình trụ vừa khít với một hình lập phương có chiều dài cạnh bên = chiều cao (= đường kính của hình tròn đáy). ^{[số 8]}

Diện tích bên, L , của một hình trụ tròn, không cần phải là một hình trụ bên phải, thường được cho bởi:

L = e × p ,

với e là chiều dài của một phần tử và p là chu vi của một phần bên phải của hình trụ. ^[9] Điều này tạo ra công thức trước đây cho diện tích bên khi hình trụ là hình trụ tròn bên phải.

Hình trụ rỗng

Hình trụ rỗng tròn bên phải (vỏ hình trụ)

Hình trụ tròn rỗng bên phải (hoặc vỏ hình trụ ) là một vùng ba chiều được giới hạn bởi hai hình trụ tròn bên phải có cùng trục và hai đáy hình khuyên song song vuông góc với trục chung của hình trụ, như trong sơ đồ.

Hãy để chiều cao được h , bán kính nội r , và bán kính ngoài R . Khối lượng được đưa ra bởi

${\ displaystyle V = \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) h = 2 \ pi \ left ({\ frac {R + r} {2}} \ right) h (Rr).}$.

Như vậy, thể tích của một vỏ hình trụ bằng 2 π (bán kính trung bình) (độ cao) (độ dày). ^[10]

Diện tích bề mặt, bao gồm cả phần trên và phần dưới, được cho bởi

${\ displaystyle A = 2 \ pi (R + r) h + 2 \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}).}$.

Vỏ hình trụ được sử dụng trong một kỹ thuật tích hợp phổ biến để tìm thể tích chất rắn của cuộc cách mạng. ^[11]

Trên Sphere và Cylinder

Một hình cầu có 2/3 thể tích và diện tích bề mặt của hình trụ ngoại tiếp bao gồm cả các đáy của nó

Trong chuyên luận của tên này, được viết c. 225 TCN, Archimedes thu được kết quả trong đó ông tự hào nhất, cụ thể là việc thu thập các công thức cho khối lượng và diện tích bề mặt của một khu vực bằng cách khai thác các mối quan hệ giữa cầu và nó gao xi lanh tròn bên phải của cùng một chiều cao và đường kính . Hình cầu có thể tích bằng hai phần ba thể tích của hình trụ ngoại tiếp và diện tích bề mặt bằng hai phần ba thể tích của hình trụ (kể cả đáy). Vì các giá trị của hình trụ đã được biết trước nên lần đầu tiên anh ta thu được các giá trị tương ứng cho hình cầu. Thể tích của khối cầu bán kính r là4/3π r ³ = 2/3(2 π r ³ ) . Diện tích bề mặt của quả cầu này là 4 π r ² = 2/3(6 π r ² ) . Một quả cầu điêu khắc và hình trụ đã được đặt trên lăng mộ của Archimedes theo yêu cầu của ông.

Trong một số lĩnh vực hình học và cấu trúc liên kết, thuật ngữ hình trụ dùng để chỉ những gì được gọi là bề mặt hình trụ . Hình trụ được định nghĩa là một bề mặt bao gồm tất cả các điểm trên tất cả các đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua một đường cong mặt phẳng cố định trong một mặt phẳng không song song với đường thẳng cho trước. ^[12] Các xi lanh như vậy, đôi khi, được gọi là xi lanh tổng quát . Qua mỗi điểm của một hình trụ suy rộng có một đường thẳng duy nhất được chứa trong hình trụ. ^[13] Do đó, định nghĩa này có thể được diễn đạt lại để nói rằng một hình trụ là bất kỳ bề mặt được trị liệu nào được kéo dài bởi họ các đường thẳng song song một tham số.

Một hình trụ có tiết diện bên phải là hình elip , parabol hoặc hyperbol lần lượt được gọi là hình trụ elip , hình trụ parabol và hình trụ hypebol . Đây là những bề mặt tứ giác suy biến . ^[14]

Hình trụ parabol

Khi các trục chính của một phần tư thẳng hàng với hệ quy chiếu (luôn luôn có thể cho một phần tư), một phương trình tổng quát của hệ phần tư trong ba chiều được đưa ra bởi

${\ displaystyle f (x, y, z) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0,}$

với các hệ số là số thực và không phải của tất cả A , B và C là 0. Nếu ít nhất một biến không xuất hiện trong phương trình thì tứ thức suy biến. Nếu thiếu một biến, chúng ta có thể giả sử bằng một phép quay thích hợp của các trục mà biến z không xuất hiện và phương trình tổng quát của loại tứ phân suy biến này có thể được viết là ^[15]

${\ displaystyle A \ left (x + {\ frac {D} {2A}} \ right) ^ {2} + B \ left (y + {\ frac {E} {2B}} \ right) ^ {2} = \ rho,}$

Ở đâu

${\ displaystyle \ rho = -H + {\ frac {D ^ {2}} {4A}} + {\ frac {E ^ {2}} {4B}}.}$

Hình trụ elip

Nếu AB > 0 thì đây là phương trình của một hình trụ elip . ^{[15] Có} thể đơn giản hóa hơn nữa bằng cách dịch các trục và phép nhân vô hướng. Nếu${\ displaystyle \ rho}$có cùng dấu với các hệ số A và B , thì phương trình của một hình trụ elip có thể được viết lại trong hệ tọa độ Descartes như sau:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}$

Phương trình của một hình trụ elip là một tổng quát của phương trình của hình trụ tròn , thông thường ( a = b ). Hình trụ elip còn được gọi là hình trụ , nhưng tên đó không rõ ràng, vì nó cũng có thể đề cập đến conoid Plücker .

Nếu ${\ displaystyle \ rho}$có một dấu khác với các hệ số, chúng tôi nhận được các hình trụ elliptic tưởng tượng :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = - 1,}$

mà không có điểm thực sự trên chúng. (${\ displaystyle \ rho = 0}$ đưa ra một điểm thực duy nhất.)

Hình trụ hypebol

Nếu A và B có dấu hiệu khác nhau và${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$, chúng tôi thu được các hình trụ hypebol , có phương trình có thể được viết lại thành:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}$

Hình trụ parabol

Cuối cùng, nếu giả sử AB = 0 , không mất tính tổng quát , B = 0 và A = 1 để thu được hình trụ parabol với phương trình có thể được viết dưới dạng: ^[16]

${\ displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}$

Trong hình học xạ ảnh , một hình trụ chỉ đơn giản là một hình nón có đỉnh ở vô cùng, tương ứng trực quan với một hình trụ trong quan điểm có vẻ là một hình nón hướng lên bầu trời.

Trong hình học xạ ảnh , hình trụ đơn giản là một hình nón có đỉnh (đỉnh) nằm trên mặt phẳng ở vô cùng . Nếu hình nón là hình nón bậc hai thì mặt phẳng ở vô cực (đi qua đỉnh) có thể cắt hình nón tại hai đường thực, một đường thực duy nhất (thực sự là một cặp đường trùng) hoặc chỉ tại đỉnh. Những trường hợp này làm phát sinh các hình trụ hypebol, parabol hoặc elip tương ứng. ^[17]

Khái niệm này hữu ích khi xem xét các conics thoái hóa , có thể bao gồm các conics hình trụ.

Tòa nhà Cung thiên văn Tycho Brahe , Copenhagen, là một ví dụ về hình trụ bị cắt ngắn

Một hình trụ tròn rắn có thể được coi là trường hợp hạn chế của một n -gonal lăng kính nơi n phương pháp tiếp cận vô cực . Mối liên hệ rất mạnh và nhiều văn bản cũ xử lý đồng thời lăng kính và hình trụ. Các công thức về diện tích bề mặt và thể tích được rút ra từ các công thức tương ứng cho lăng trụ bằng cách sử dụng lăng trụ nội tiếp và ngoại tiếp rồi cho số cạnh của lăng trụ tăng lên mà không bị ràng buộc. ^[18] Một lý do giải thích cho sự chú trọng sớm (và đôi khi là cách xử lý độc quyền) đối với hình trụ tròn là hình trụ tròn là loại hình hình học duy nhất mà kỹ thuật này hoạt động với việc chỉ sử dụng các phép tính cơ bản (không hấp dẫn đối với giải tích hoặc nâng cao toán học). Thuật ngữ về lăng trụ và hình trụ là giống hệt nhau. Như vậy, chẳng hạn, vì lăng trụ cắt là lăng trụ có đáy không nằm trong các mặt phẳng song song, nên một hình trụ đặc có đáy không nằm trong các mặt phẳng song song sẽ được gọi là hình trụ cắt cụt .

Từ một quan điểm đa diện, một xi lanh cũng có thể được xem là một kép của một bicone như vô hạn mặt bipyramid .

Họ các lăng kính đều n -gonal

• v
• t
• e

Tên lăng kính	Lăng kính số	( Tam giác ) Hình lăng trụ tam giác	(Tứ giác) Hình lăng trụ vuông	Lăng kính ngũ giác	Lăng kính lục giác	Lăng kính hai cạnh	Lăng kính bát giác	Lăng kính hình lục giác	Lăng kính lục giác	Lăng kính lục giác	Lăng kính dodec lục giác	...	Lăng kính Apeirogonal
Hình đa diện												...
Hình ảnh ốp lát hình cầu												Hình ảnh ốp lát máy bay
Cấu hình Vertex.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Sơ đồ Coxeter												...

• Danh sách các hình dạng
• Steinmetz rắn , giao của hai hoặc ba hình trụ vuông góc

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Hình học phân tích rắn , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Swokowski, Earl W. (1983), Giải tích với Hình học Giải tích (Phiên bản thay thế), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Máy bay và Hình học rắn , Ginn và Co.

• Weisstein, Eric W. "Xi lanh" . MathWorld .
• Diện tích bề mặt của hình trụ tại MATHguide
• Thể tích của một hình trụ tại MATHguide