Phát sinh

Các đồ thị của hàm số , vẽ màu đen, và một đường tiếp tuyến với chức năng đó, rút ra trong màu đỏ. Hệ số góc của đường tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đã đánh dấu.

Trong toán học , đạo hàm của một hàm của một biến số thực đo lường độ nhạy đối với sự thay đổi của giá trị hàm (giá trị đầu ra) đối với sự thay đổi trong đối số của nó (giá trị đầu vào). Đạo hàm là một công cụ cơ bản của giải tích . Ví dụ, đạo hàm của vị trí của một vật chuyển động so với thời gian là vận tốc của vật : điều này đo lường vị trí của vật đó thay đổi nhanh như thế nào khi thời gian trôi qua.

Đạo hàm của hàm một biến tại một giá trị đầu vào đã chọn, khi nó tồn tại, là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm tại điểm đó. Đường tiếp tuyến là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của hàm gần giá trị đầu vào đó. Vì lý do này, đạo hàm thường được mô tả là "tốc độ thay đổi tức thời", tỷ số giữa sự thay đổi tức thời của biến phụ thuộc so với của biến độc lập.

Các đạo hàm có thể được tổng quát hóa thành các hàm của một số biến số thực . Trong khái quát này, đạo hàm được giải thích lại như một phép biến đổi tuyến tính mà đồ thị của nó là (sau một phép tịnh tiến thích hợp) là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất với đồ thị của hàm ban đầu. Các ma trận Jacobian là ma trận đại diện này biến đổi tuyến tính đối với các cơ sở được đưa ra bởi sự lựa chọn của các biến độc lập và phụ thuộc với. Nó có thể được tính toán theo các đạo hàm riêng đối với các biến độc lập. Đối với một hàm có giá trị thực của một số biến, ma trận Jacobian giảm thành vectơ gradient .

Quá trình tìm đạo hàm được gọi là phân biệt . Quá trình ngược lại được gọi là phản phân hóa . Các định lý cơ bản của giải tích liên quan antidifferentiation với hội nhập . Phân biệt và tích phân tạo thành hai phép toán cơ bản trong phép tính một biến số. ^{[Ghi chú 1]}

Sự khác biệt [ sửa ]

Khác biệt hóa là hành động tính toán một phái sinh. Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) của một biến số x là đại lượng đo tốc độ thay đổi giá trị y của hàm số so với sự thay đổi của biến số x . Nó được gọi là đạo hàm của f đối với x . Nếu x và y là các số thực và nếu đồ thị của f được vẽ dựa trên x thì đạo hàm là hệ số góc của đồ thị này tại mỗi điểm.

Độ dốc của một hàm tuyến tính: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Trường hợp đơn giản nhất, ngoài trường hợp nhỏ của một hàm hằng , là khi y là một hàm tuyến tính của x , nghĩa là đồ thị của y là một đường thẳng. Trong trường hợp này, y = f ( x ) = mx + b , với các số thực m và b , và hệ số góc m được cho bởi

${\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}$

trong đó ký hiệu Δ ( Delta ) là chữ viết tắt của "thay đổi trong" và các kết hợp và tham chiếu đến các thay đổi tương ứng, tức là${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$

${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$.

Công thức trên đúng vì

${\displaystyle {\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}}$

Như vậy

${\displaystyle \Delta y=m\Delta x.}$

Điều này cung cấp giá trị cho độ dốc của một đường.

Nếu hàm f không tuyến tính (tức là đồ thị của nó không phải là một đường thẳng), thì sự thay đổi của y chia cho sự thay đổi của x sẽ thay đổi trong khoảng được xem xét: phân biệt là một phương pháp để tìm giá trị duy nhất cho tốc độ thay đổi này, không qua một phạm vi nhất định nhưng ở bất kỳ giá trị nào cho trước của x .${\displaystyle (\Delta x),}$

Ý tưởng, được minh họa bởi Hình 1 đến Hình 3, là tính toán tốc độ thay đổi làm giá trị giới hạn của tỷ lệ chênh lệch Δ y / Δ x khi Δ x có xu hướng về 0.

Kí hiệu [ sửa ]

Hai ký hiệu riêng biệt thường được sử dụng cho đạo hàm, một ký hiệu từ Gottfried Wilhelm Leibniz và ký hiệu kia từ Joseph Louis Lagrange . Một ký hiệu thứ ba, lần đầu tiên được sử dụng bởi Isaac Newton , đôi khi được nhìn thấy trong vật lý.

Trong ký hiệu của Leibniz , một vô cùng thay đổi trong x được biểu thị bởi dx , và đạo hàm của y đối với với x được viết

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

gợi ý về tỉ số của hai đại lượng vô cùng nhỏ. (Biểu thức trên được đọc là "đạo hàm của y so với x ", " dy theo dx " hoặc " dy trên dx ". Dạng truyền miệng " dy dx " thường được sử dụng trong cuộc trò chuyện, mặc dù nó có thể dẫn đến nhầm lẫn. )

Trong ký hiệu Lagrange , đạo hàm đối với x của hàm f ( x ) được ký hiệu là

f ' ( x )  (đọc là " f nguyên tố của x ")

Trong trường hợp không rõ ràng về biến được ngụ ý bởi sự khác biệt, ký hiệu chỉ số dưới được sử dụng

f _x ' ( x ) (đọc là " f nguyên tố x của x ")

Ký hiệu Lagrange đôi khi được quy cho Newton không chính xác .

Ký hiệu Newton cho sự khác biệt (còn được gọi là ký hiệu dấu chấm để phân biệt) đặt một dấu chấm lên trên biến phụ thuộc. Nghĩa là, nếu y là một hàm của t , thì đạo hàm của y đối với t là

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Các dẫn xuất cao hơn được biểu diễn bằng cách sử dụng nhiều dấu chấm, như trong

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Kí hiệu Newton thường được sử dụng khi biến độc lập biểu thị thời gian . Nếu vị trí y là một hàm của t thì biểu thị vận tốc ^[1] và biểu thị gia tốc . ^[2]${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Định nghĩa nghiêm ngặt [ sửa ]

Một secant tiếp cận một tiếp tuyến khi .${\displaystyle \Delta x\to 0}$

Cách tiếp cận phổ biến nhất để biến ý tưởng trực quan này thành một định nghĩa chính xác là định nghĩa đạo hàm như một giới hạn của thương số của các số thực. ^[3] Đây là cách tiếp cận được mô tả bên dưới.

Cho f là một hàm có giá trị thực được xác định trong một lân cận mở của một số thực a . Trong hình học cổ điển, các đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm f tại một là đường duy nhất qua điểm ( một , f ( một )) mà đã không đáp ứng được các đồ thị của f transversally , có nghĩa là dòng đã không vượt qua thẳng qua đồ thị. Đạo hàm của y đối với x tại a , về mặt hình học, hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của f tại( a , f ( a )) . Hệ số góc của đường tiếp tuyến rất gần với hệ số góc của đường thẳng qua ( a , f ( a )) và một điểm gần đó trên đồ thị, ví dụ ( a + h , f ( a + h )) . Những dòng này được gọi là dòng secant . Giá trị h gần bằng 0 cho phép xấp xỉ tốt độ dốc của đường tiếp tuyến và các giá trị nhỏ hơn (theo giá trị tuyệt đối ) của h nói chung sẽ cho giá trị gần đúng tốt hơn. Độ dốc m của đường secant là hiệu số giữa các giá trị y của những điểm này chia cho hiệu số giữa các giá trị x , nghĩa là

${\displaystyle m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Biểu thức này là thương số chênh lệch của Newton . Việc chuyển từ một câu trả lời gần đúng đến một câu trả lời chính xác được thực hiện bằng cách sử dụng một giới hạn . Về mặt hình học, giới hạn của các đường thẳng là đường tiếp tuyến. Do đó, giới hạn của thương số chênh lệch khi h tiến gần đến 0, nếu nó tồn tại, phải biểu thị hệ số góc của đường tiếp tuyến với ( a , f ( a )) . Giới hạn này được xác định là đạo hàm của hàm f tại a :

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Khi giới hạn tồn tại, f được cho là có thể phân biệt tại a . Ở đây f ′ ( a ) là một trong một số ký hiệu chung cho đạo hàm ( xem bên dưới ). Từ định nghĩa này, rõ ràng là một hàm phân biệt f đang tăng khi và chỉ khi đạo hàm của nó là dương, và đang giảm iff thì đạo hàm của nó là âm. Thực tế này được sử dụng rộng rãi khi phân tích hành vi của hàm, ví dụ khi tìm cực trị cục bộ .

Tương tự, đạo hàm thỏa mãn tính chất

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)\cdot h)}{h}}=0,}$

có cách giải thích trực quan (xem Hình 1) rằng đường tiếp tuyến với f tại a cho phép xấp xỉ tuyến tính tốt nhất

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}$

để f gần a (tức là đối với h nhỏ ). Cách diễn giải này là cách dễ dàng tổng quát nhất cho các cài đặt khác ( xem bên dưới ).

Việc thay 0 cho h trong thương số của hiệu số gây ra phép chia cho 0 , do đó không thể tìm thấy trực tiếp độ dốc của đường tiếp tuyến bằng phương pháp này. Thay vào đó, hãy xác định Q ( h ) là thương số chênh lệch dưới dạng hàm của h :

${\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Q ( h ) là hệ số góc của đường thẳng giữa ( a , f ( a )) và ( a + h , f ( a + h )) . Nếu f là một hàm liên tục , nghĩa là đồ thị của nó là một đường cong liên tục và không có khoảng trống, thì Q là một hàm liên tục cách h = 0 . Nếu tồn tại giới hạn lim _{h → 0} Q ( h ) , nghĩa là có một cách chọn giá trị choQ (0) làm cho Q trở thànhmột hàm liên tục thì hàm f khả vi tại a và đạo hàm tại a bằng Q (0) .

Trong thực tế, sự tồn tại của một phần mở rộng liên tục của thương số Q ( h ) đến h = 0 được thể hiện bằng cách sửa đổi tử số để hủy bỏ h ở mẫu số. Các thao tác như vậy có thể làm cho giá trị giới hạn của Q đối với h nhỏ trở nên rõ ràng mặc dù Q vẫn chưa được xác định tại h = 0 . Quá trình này có thể kéo dài và tẻ nhạt đối với các chức năng phức tạp và nhiều phím tắt thường được sử dụng để đơn giản hóa quy trình.

Định nghĩa trên các hyperreals [ sửa ]

Liên quan đến mở rộng siêu thực R ⊂ ^⁎ R của các số thực, đạo hàm của hàm số thực y = f ( x ) tại điểm thực x có thể được xác định là bóng của thương∆ y/∆ xcho vô cùng Δ x , nơi Δ y = f ( x + Δ x ) - f ( x ) . Ở đây, phần mở rộng tự nhiên của f đối với các hyperreals vẫn được ký hiệu là f . Ở đây, đạo hàm được cho là tồn tại nếu bóng đổ độc lập với số thập phân vô cùng được chọn.

Ví dụ [ sửa ]

Hàm bình phương cho bởi f ( x ) = x ² là phân biệt tại x = 3 và đạo hàm của nó tại đó là 6. Kết quả này được thiết lập bằng cách tính giới hạn khi h tiến gần đến không của thương hiệu của f (3) :

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}}$

Biểu thức cuối cùng cho thấy thương hiệu bằng 6 + h khi h ≠ 0 và không xác định khi h = 0 , vì định nghĩa của thương hiệu khác biệt. Tuy nhiên, định nghĩa của giới hạn nói rằng thương số chênh lệch không cần xác định khi h = 0 . Giới hạn là kết quả của việc để h về 0, có nghĩa là nó là giá trị mà 6 + h có xu hướng khi h trở nên rất nhỏ:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}$

Do đó hệ số góc của đồ thị hàm số vuông tại điểm (3, 9) là 6 và do đó đạo hàm của nó tại x = 3 là f ′ (3) = 6 .

Tổng quát hơn, một phép tính tương tự cho thấy đạo hàm của hàm bình phương tại x = a là f ′ ( a ) = 2 a :

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}}$

Tính liên tục và khả năng khác biệt [ sửa ]

Nếu f là khả vi tại một , sau đó e cũng phải được liên tục tại một . Ví dụ, chọn một điểm a và đặt f là hàm bước trả về giá trị 1 cho mọi x nhỏ hơn a và trả về một giá trị khác 10 cho mọi x lớn hơn hoặc bằng a . f không thể có đạo hàm tại a . Nếu h là âm, thì a + h nằm ở phần thấp của bước, do đó, dòng tách từa đến a + h là rất dốc, và khi h có xu hướng bằng không thì độ dốc có xu hướng vô cùng. Nếu h dương thì a + h nằm trên phần cao của bậc thang nên đường thẳng từ a đến a + h có hệ số góc bằng không. Do đó, các đường secant không tiếp cận bất kỳ độ dốc duy nhất nào, vì vậy giới hạn của thương số chênh lệch không tồn tại.

Tuy nhiên, ngay cả khi một chức năng liên tục tại một điểm, thì nó có thể không phân biệt được ở đó. Ví dụ, hàm giá trị tuyệt đối cho bởi f ( x ) = | x | là liên tục tại x = 0 , nhưng nó không thể phân biệt được ở đó. Nếu h là dương, thì độ dốc của đường thẳng từ 0 đến h là một, trong khi nếu h là âm, thì độ dốc của đường thẳng từ 0 đến h là âm. Đây có thể được xem bằng đồ thị như một "đường gấp khúc" hoặc "điểm đỉnh" trong đồ thị tại x = 0 . Ngay cả một hàm có đồ thị trơn cũng không thể phân biệt được tại điểm màTiếp tuyến là phương thẳng đứng : Ví dụ, hàm số cho bởi f ( x ) = x ^1/3 không phân biệt tại x = 0 .

Tóm lại, một hàm số có đạo hàm là liên tục, nhưng có những hàm số liên tục không có đạo hàm.

Hầu hết các hàm xảy ra trong thực tế đều có đạo hàm tại mọi điểm hoặc tại hầu hết mọi điểm. Thời kỳ đầu của lịch sử giải tích , nhiều nhà toán học đã giả định rằng một hàm số liên tục có thể phân biệt được ở hầu hết các điểm. Trong điều kiện nhẹ, ví dụ: nếu hàm là một hàm đơn điệu hoặc một hàm Lipschitz , thì điều này đúng. Tuy nhiên, vào năm 1872, Weierstrass đã tìm ra ví dụ đầu tiên về một hàm liên tục ở mọi nơi nhưng không thể phân biệt được. Ví dụ này bây giờ được gọi là hàm Weierstrass . Năm 1931, Stefan Banach chứng minh rằng tập các hàm có đạo hàm tại một thời điểm nào đó là một tập hợptrong không gian của tất cả các chức năng liên tục. ^[4] Một cách không chính thức, điều này có nghĩa là hầu như không có bất kỳ hàm liên tục ngẫu nhiên nào có đạo hàm tại một điểm.

Đạo hàm dưới dạng một hàm [ sửa ]

Đạo hàm tại các điểm khác nhau của một hàm phân biệt. Trong trường hợp này, đạo hàm bằng:${\displaystyle \sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)}$

Gọi f là hàm có đạo hàm tại mọi điểm trong miền của nó . Sau đó, chúng ta có thể xác định một hàm ánh xạ mọi điểm x với giá trị của đạo hàm của f tại x . Hàm này được viết f ′ và được gọi là hàm đạo hàm hoặc đạo hàm của f .

Đôi khi f có nhiều nhất một đạo hàm, nhưng không phải tất cả, các điểm thuộc miền của nó. Hàm có giá trị tại a bằng f ′ ( a ) bất cứ khi nào f ′ ( a ) được xác định và ở nơi khác là không xác định cũng được gọi là đạo hàm của f . Nó vẫn là một hàm, nhưng miền của nó nhỏ hơn miền của f .

Sử dụng ý tưởng này, phân biệt trở thành một hàm của các hàm: Đạo hàm là một toán tử có miền là tập hợp của tất cả các hàm có đạo hàm tại mọi điểm trong miền của chúng và phạm vi của nó là một tập các hàm. Nếu chúng ta ký hiệu toán tử này bằng D , thì D ( f ) là hàm f ′ . Vì D ( f ) là một hàm nên nó có thể được đánh giá tại điểm a . Theo định nghĩa của hàm đạo hàm, D ( f ) ( a ) = f ′ ( a ) .

Để so sánh, hãy xem xét hàm nhân đôi được cho bởi f ( x ) = 2 x ; f là một hàm có giá trị thực của một số thực, có nghĩa là nó nhận các số làm đầu vào và có các số làm đầu ra:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}}$

Toán tử D , tuy nhiên, không được xác định trên các số riêng lẻ. Nó chỉ được định nghĩa trên các hàm:

${\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}}$

Bởi vì đầu ra của D là một hàm, đầu ra của D có thể được đánh giá tại một điểm. Ví dụ, khi D được áp dụng cho hàm bình phương, x ↦ x ² , D xuất ra hàm nhân đôi x ↦ 2 x , mà chúng ta đặt tên là f ( x ) . Hàm đầu ra này sau đó có thể được đánh giá để có f (1) = 2 , f (2) = 4 , v.v.

Các dẫn xuất cao hơn [ sửa ]

Cho f là một hàm phân biệt, và cho f ′ là đạo hàm của nó. Đạo hàm của f ′ (nếu nó có một) được viết thành f ′ ′ và được gọi là đạo hàm cấp hai của f . Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp hai, nếu tồn tại, được viết f ′ ′ ′ và được gọi là đạo hàm cấp ba của f . Tiếp tục quá trình này, người ta có thể định nghĩa, nếu tồn tại, đạo hàm thứ n là đạo hàm của đạo hàm thứ ( n −1) . Các dẫn xuất lặp đi lặp lại này được gọi là các dẫn xuất bậc cao. Đạo hàm cấp n còn được gọi là đạo hàm cấp n .

Nếu x ( t ) đại diện cho vị trí của một vật tại thời điểm t , thì các đạo hàm bậc cao của x có cách giải thích cụ thể trong vật lý . Đạo hàm cấp một của x là vận tốc của vật . Đạo hàm cấp hai của x là gia tốc . Đạo hàm thứ ba của x là hàm giật . Và cuối cùng, các dẫn xuất từ ​​thứ tư đến thứ sáu của x là snap, crackle và pop ; áp dụng nhiều nhất cho vật lý thiên văn .

Một hàm f không cần phải có đạo hàm (ví dụ, nếu nó không liên tục). Tương tự, ngay cả khi f không có đạo hàm, nó có thể không có đạo hàm cấp hai. Ví dụ, hãy

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

Tính toán cho thấy rằng f là một hàm phân biệt có đạo hàm tại được cho bởi${\displaystyle x}$

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

f ' ( x ) là hai lần hàm giá trị tuyệt đối tạivà nó không có đạo hàm tại 0. Các ví dụ tương tự cho thấy một hàm có thể cóđạo hàm thứ k với mỗi số nguyên k khôngâmnhưng không cóđạo hàm thứ ( k + 1) . Một hàm số có k đạo hàm liên tiếp được gọi là hàm phân biệt k lần . Nếu ngoàiđạo hàm thứ k là liên tục, thì hàm được cho là có cấp phân biệt C ^k . (Đây là điều kiện mạnh hơn so với việc có k đạo hàm, như thể hiện trong ví dụ thứ hai về${\displaystyle x}$ Tính trơn § Các ví dụ .) Một hàm có vô số đạo hàm được gọi là hàm phân biệt hay trơn vô hạn .

Trên dòng thực, mọi hàm đa thức đều phân biệt vô hạn. Theo quy tắc phân biệt chuẩn , nếu một đa thức bậc n được phân biệt n lần thì nó trở thành một hàm hằng . Tất cả các dẫn xuất tiếp theo của nó về bản chất là 0. Đặc biệt, chúng tồn tại, vì vậy đa thức là những hàm trơn tru.

Các đạo hàm của hàm f tại điểm x cung cấp các xấp xỉ đa thức cho hàm đó gần x . Ví dụ, nếu f có thể phân biệt hai lần, thì

${\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}}$

theo nghĩa đó

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}$

Nếu f khả vi vô hạn, thì đây là phần đầu của chuỗi Taylor đối với f được đánh giá tại x + h xung quanh x .

Điểm uốn [ sửa ]

Một điểm mà đạo hàm cấp hai của một hàm số thay đổi dấu được gọi là điểm uốn . ^[5] Tại một điểm uốn, đạo hàm cấp hai có thể bằng 0, như trong trường hợp điểm uốn x = 0 của hàm được cho bởi , hoặc nó có thể không tồn tại, như trong trường hợp điểm uốn x = 0 của hàm được cho bởi . Tại một điểm uốn, một hàm chuyển từ hàm lồi sang hàm lõm hoặc ngược lại.${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{3}}}$

Kí hiệu (chi tiết) [ sửa ]

Ký hiệu của Leibniz [ sửa ]

Các ký hiệu , và được giới thiệu bởi Gottfried Wilhelm Leibniz vào năm 1675. ^[6] Nó vẫn thường được sử dụng khi phương trình y = f ( x ) được xem như một mối quan hệ hàm giữa các biến phụ thuộc và độc lập . Khi đó đạo hàm đầu tiên được ký hiệu là${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f,}$

và đã từng được coi là một thương số vô cùng nhỏ . Các dẫn xuất cao hơn được thể hiện bằng cách sử dụng ký hiệu

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}$

cho đạo hàm thứ n của . Đây là những chữ viết tắt của nhiều ứng dụng của toán tử đạo hàm. Ví dụ,${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Với ký hiệu Leibniz, chúng ta có thể viết đạo hàm của điểm theo hai cách khác nhau:${\displaystyle y}$${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}$

Ký hiệu Leibniz cho phép người ta chỉ định biến để phân biệt (ở mẫu số), có liên quan đến phân biệt từng phần . Nó cũng có thể được sử dụng để viết quy tắc chuỗi như ^{[Chú thích 2]}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Ký hiệu Lagrange [ sửa ]

Đôi khi được gọi là ký hiệu nguyên tố , ^[7] một trong những ký hiệu hiện đại phổ biến nhất để phân biệt là do Joseph-Louis Lagrange và sử dụng dấu nguyên tố , do đó đạo hàm của một hàm được biểu thị . Tương tự, các đạo hàm thứ hai và thứ ba được ký hiệu là${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle (f')'=f''}$   và   ${\displaystyle (f'')'=f'''.}$

Để biểu thị số lượng các dẫn xuất vượt quá điểm này, một số tác giả sử dụng chữ số La Mã trong ký hiệu trên , trong khi những người khác đặt số trong dấu ngoặc đơn:

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$   hoặc là   ${\displaystyle f^{(4)}.}$

Ký hiệu thứ hai tổng quát để mang lại ký hiệu cho đạo hàm thứ n của - ký hiệu này hữu ích nhất khi chúng ta muốn nói về đạo hàm như là một hàm chính nó, như trong trường hợp này, ký hiệu Leibniz có thể trở nên cồng kềnh.${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle f}$

Ký hiệu Newton [ sửa ]

Ký hiệu Newton để phân biệt, còn được gọi là ký hiệu dấu chấm, đặt một dấu chấm lên trên tên hàm để biểu diễn đạo hàm theo thời gian. Nếu , thì${\displaystyle y=f(t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}}$   và   ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

biểu thị, tương ứng, các dẫn xuất thứ nhất và thứ hai của . Ký hiệu này được sử dụng riêng cho các dẫn xuất liên quan đến thời gian hoặc độ dài cung . Nó thường được sử dụng trong các phương trình vi phân trong vật lý và hình học vi phân . ^{[8] [9]} Tuy nhiên, ký hiệu dấu chấm trở nên không thể quản lý được đối với các đạo hàm bậc cao (bậc 4 trở lên) và không thể xử lý với nhiều biến độc lập.${\displaystyle y}$

Ký hiệu của Euler [ sửa ]

Kí hiệu Euler sử dụng một toán tử vi phân , được áp dụng cho một hàm để đưa ra đạo hàm đầu tiên . Đạo hàm thứ n được kí hiệu .${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle D^{n}f}$

Nếu y = f ( x ) là một biến phụ thuộc, thì thường chỉ số phụ x được gắn với D để làm rõ biến độc lập x . Ký hiệu Euler sau đó được viết

${\displaystyle D_{x}y}$   hoặc   ,${\displaystyle D_{x}f(x)}$

mặc dù chỉ số con này thường bị bỏ qua khi biến x được hiểu, chẳng hạn khi đây là biến độc lập duy nhất có trong biểu thức.

Kí hiệu Euler rất hữu ích để phát biểu và giải các phương trình vi phân tuyến tính .

Quy tắc tính toán [ sửa ]

Về nguyên tắc, đạo hàm của một hàm có thể được tính từ định nghĩa bằng cách xem xét thương số của hiệu số và tính giới hạn của nó. Trong thực tế, khi đã biết đạo hàm của một vài hàm đơn giản, thì việc tính đạo hàm của các hàm khác dễ dàng hơn bằng cách sử dụng các quy tắc để lấy đạo hàm của các hàm phức tạp hơn từ các hàm đơn giản hơn.

Quy tắc cho các chức năng cơ bản [ sửa ]

Dưới đây là các quy tắc cho các đạo hàm của các hàm cơ bản phổ biến nhất, trong đó a là một số thực.

• Các phái sinh của quyền hạn :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.}$

• Hàm số mũ và hàm số lôgarit :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0}$

• Các hàm lượng giác :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

• Hàm lượng giác nghịch đảo :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Quy tắc cho các chức năng kết hợp [ sửa ]

Dưới đây là một số quy tắc cơ bản nhất để suy ra đạo hàm của một hàm hợp từ các đạo hàm của các hàm cơ bản.

• Quy tắc không đổi : nếu f ( x ) là hằng số, thì

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Quy tắc tổng :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$cho tất cả các hàm f và g và tất cả các số thực và .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

• Quy tắc sản phẩm :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$cho tất cả các hàm f và g . Là một trường hợp đặc biệt, quy tắc này bao gồm thực tế là bất cứ khi nào là một hằng số, bởi vì quy tắc không đổi.${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$

• Quy tắc thương số :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ cho tất cả các hàm f và g tại tất cả các đầu vào trong đó g ≠ 0 .

• Quy tắc chuỗi cho các hàm tổng hợp: Nếu, thì${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

Ví dụ về tính toán [ sửa ]

Đạo hàm của hàm được cho bởi

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$

Là

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

Ở đây, thuật ngữ thứ hai được tính bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi và thuật ngữ thứ ba sử dụng quy tắc sản phẩm . Các đạo hàm đã biết của các hàm cơ bản x ² , x ⁴ , sin ( x ), ln ( x ) và exp ( x ) = e ^x , cũng như hằng số 7, cũng được sử dụng.

Trong các kích thước cao hơn [ sửa ]

Các hàm có giá trị vectơ [ sửa ]

Một hàm có giá trị vectơ y của một biến thực gửi các số thực đến vectơ trong không gian vectơ R ^{n nào đó} . Một hàm có giá trị vectơ có thể được chia thành các hàm tọa độ y ₁ ( t ), y ₂ ( t ), ..., y _n ( t ) , nghĩa là y ( t ) = ( y ₁ ( t ) ,. .., y _n ( t )) . Điều này bao gồm, ví dụ, các đường cong tham số trong R ²hoặc R ³ . Các hàm tọa độ là các hàm có giá trị thực, vì vậy định nghĩa trên về đạo hàm áp dụng cho chúng. Đạo hàm của y ( t ) được định nghĩa là vectơ , được gọi là vectơ tiếp tuyến , có tọa độ là đạo hàm của các hàm tọa độ. Đó là,

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).}$

Tương đương,

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$

nếu giới hạn tồn tại. Phép trừ trong tử số là phép trừ vectơ, không phải là vô hướng. Nếu đạo hàm của y tồn tại với mọi giá trị của t , thì y ′ là một hàm có giá trị vectơ khác.

Nếu e ₁ , ..., e _n là cơ sở chuẩn của R ⁿ , thì y ( t ) cũng có thể được viết dưới dạng y ₁ ( t ) e ₁ + ⋯ + y _n ( t ) e _n . Nếu chúng ta giả sử rằng đạo hàm của một hàm có giá trị vectơ vẫn giữ tính chất tuyến tính , thì đạo hàm của y ( t ) phải là

${\displaystyle y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$

bởi vì mỗi vectơ cơ sở là một hằng số.

Sự tổng quát hóa này rất hữu ích, chẳng hạn, nếu y ( t ) là vectơ vị trí của một hạt tại thời điểm t ; thì đạo hàm y ′ ( t ) là vectơ vận tốc của hạt tại thời điểm t .

Các dẫn xuất một phần [ sửa ]

Giả sử rằng f là một hàm phụ thuộc vào nhiều hơn một biến — ví dụ:

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

f có thể được diễn giải lại như một họ các hàm của một biến được lập chỉ mục bởi các biến khác:

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Nói cách khác, mọi giá trị của x chọn một hàm, ký hiệu là f _x , là một hàm của một số thực. ^{[Lưu ý 3]} Đó là,

${\displaystyle x\mapsto f_{x},}$

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Khi một giá trị của x được chọn, giả sử a , sau đó f ( x , y ) xác định một hàm f _a đưa y đến a ² + ay + y ² :

${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.}$

Trong biểu thức này, a là một hằng số , không phải là một biến , do đó f _a là một hàm chỉ của một biến thực. Do đó, định nghĩa của đạo hàm cho một hàm một biến được áp dụng:

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}$

Quy trình trên có thể được thực hiện cho bất kỳ sự lựa chọn nào của a . Lắp ráp các dẫn xuất lại với nhau thành một chức năng cung cấp cho một chức năng mô tả các biến thể của f trong y hướng:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}$

Đây là đạo hàm riêng của f đối với y . Ở đây ∂ là một d làm tròn được gọi là ký hiệu đạo hàm riêng . Để phân biệt với chữ d , ∂ đôi khi được phát âm là "der", "del", hoặc "part" thay vì "dee".

Nói chung, đạo hàm riêng của hàm số f ( x ₁ ,…, x _n ) theo hướng x _i tại điểm ( a ₁ , ..., a _n ) được xác định là:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$

Trong thương số chênh lệch trên, tất cả các biến ngoại trừ x _i được giữ cố định. Sự lựa chọn các giá trị cố định đó xác định một hàm của một biến

${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

và, theo định nghĩa,

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

Nói cách khác, các lựa chọn khác nhau của một chỉ số một họ các hàm một biến giống như trong ví dụ trên. Biểu thức này cũng cho thấy rằng việc tính các đạo hàm riêng giảm xuống việc tính các đạo hàm một biến.

Điều này là cơ bản cho việc nghiên cứu các hàm của một số biến số thực . Cho f ( x ₁ , ..., x _n ) là một hàm có giá trị thực như vậy . Nếu tất cả các đạo hàm riêng ∂ f / ∂ x _j của f được xác định tại điểm a = ( a ₁ , ..., a _n ) thì các đạo hàm riêng này xác định vectơ

${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$

được gọi là gradient của f tại a . Nếu f khả vi tại mọi điểm trong miền nào đó, thì gradient là một hàm có giá trị vectơ ∇ f ánh xạ điểm ( a ₁ , ..., a _n ) với vectơ ∇ f ( a ₁ , ..., a _n ) . Do đó, gradient xác định một trường vectơ .

Các dẫn xuất có hướng [ sửa ]

Nếu f là một hàm có giá trị thực trên R ⁿ , thì các đạo hàm riêng của f đo sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ. Ví dụ, nếu f là một hàm của x và y , sau đó hàm riêng của nó đo lường sự thay đổi trong f trong x hướng và y hướng. Tuy nhiên, chúng không trực tiếp đo sự biến thiên của f theo bất kỳ hướng nào khác, chẳng hạn như dọc theo đường chéo y = x . Chúng được đo bằng cách sử dụng các dẫn xuất có hướng. Chọn một vectơ

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

Đạo hàm có hướng của f theo hướng của v tại điểm x là giới hạn

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

Trong một số trường hợp, có thể dễ dàng hơn để tính toán hoặc ước lượng đạo hàm có hướng sau khi thay đổi độ dài của vectơ. Thường thì điều này được thực hiện để biến bài toán thành phép tính đạo hàm có hướng theo hướng của một vectơ đơn vị. Để xem điều này hoạt động như thế nào, giả sử rằng v = λ u . Thay h = k / λ vào thương số của hiệu số. Thương số của sự khác biệt trở thành:

${\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}$

Đây là λ lần thương số chênh lệch của đạo hàm có hướng của f đối với u . Hơn nữa, lấy giới hạn là h có xu hướng bằng không cũng giống như lấy giới hạn là k có xu hướng bằng không vì h và k là bội số của nhau. Do đó, D _v ( f ) = λ D _u ( f ) . Do tính chất thay đổi tỷ lệ này, các đạo hàm có hướng thường chỉ được xem xét đối với các vectơ đơn vị.

Nếu tất cả các đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì chúng xác định đạo hàm có hướng của f theo hướng v bằng công thức:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$