Vi phân của một hàm

Vi phân lần đầu tiên được giới thiệu thông qua một định nghĩa trực quan hoặc heuristic bởi Isaac Newton và được phát triển thêm bởi Gottfried Leibniz , người đã coi vi phân dy là một thay đổi nhỏ vô hạn (hoặc thập phân  vô hạn ) trong giá trị  y của hàm, tương ứng với một thay đổi nhỏ vô hạn  dx trong đối số của hàm  x . Vì lý do đó, tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x , là giá trị của đạo hàm của hàm số, được biểu thị bằng phân số

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

trong cái được gọi là ký hiệu Leibniz cho các dẫn xuất. Thương số dy / dx không nhỏ vô hạn; đúng hơn nó là một con số thực .

Việc sử dụng các số liệu không nhỏ trong hình thức này đã bị chỉ trích rộng rãi, ví dụ như cuốn sách nhỏ nổi tiếng The Analyst của Bishop Berkeley. Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) đã định nghĩa sự khác biệt mà không hấp dẫn chủ nghĩa nguyên tử của các mục tiêu vô hạn của Leibniz. ^{[1] [2]} Thay vào đó, Cauchy, theo d’Alembert , đã đảo ngược trật tự logic của Leibniz và những người kế nhiệm của ông: đạo hàm tự nó trở thành đối tượng cơ bản, được định nghĩa là giới hạn của thương số chênh lệch, và vi phân sau đó được xác định theo nghĩa nó. Đó là, người ta có thể tự do xác định dy vi phân bằng một biểu thức

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx}$

trong đó dy và dx chỉ đơn giản là các biến mới nhận các giá trị thực hữu hạn, ^[3] không cố định các giá trị vô hạn như chúng đã từng đối với Leibniz. ^[4]

Theo Boyer (1959 , trang 12), cách tiếp cận của Cauchy là một cải tiến hợp lý đáng kể so với cách tiếp cận vô cực của Leibniz bởi vì, thay vì viện dẫn khái niệm siêu hình về các đại lượng vô cực, các đại lượng dy và dx giờ đây có thể được điều khiển theo cách chính xác như bất kỳ đại lượng thực nào khác một cách có ý nghĩa. Phương pháp tiếp cận khái niệm tổng thể của Cauchy về vi phân vẫn là phương pháp tiêu chuẩn trong các phương pháp phân tích hiện đại, ^[5] mặc dù từ cuối cùng về sự chặt chẽ, một khái niệm hoàn toàn hiện đại về giới hạn, cuối cùng là do Karl Weierstrass . ^[6]

Trong các phương pháp điều trị vật lý, chẳng hạn như các phương pháp áp dụng cho lý thuyết nhiệt động lực học , quan điểm vô cực vẫn chiếm ưu thế. Courant & John (1999 , trang 184) điều hòa việc sử dụng vật lý của các vi phân vô cực với sự bất khả thi trong toán học của chúng như sau. Các vi phân đại diện cho các giá trị hữu hạn khác 0 nhỏ hơn mức độ chính xác cần thiết cho mục đích cụ thể mà chúng được dự định. Vì vậy, "số lượng nhỏ vật lý" không cần thiết phải sử dụng một số thập phân vô cực toán học tương ứng để có một ý nghĩa chính xác.

Sau sự phát triển của thế kỷ 20 trong phân tích toán học và hình học vi phân , rõ ràng là khái niệm vi phân của một hàm số có thể được mở rộng theo nhiều cách khác nhau. Trong phân tích thực , việc xử lý trực tiếp vi phân là phần chính của số gia của một hàm số là điều nên làm hơn. Điều này dẫn trực tiếp đến khái niệm rằng vi phân của một hàm tại một điểm là một hàm tuyến tính của một gia số Δ x . Cách tiếp cận này cho phép phát triển vi phân (như một bản đồ tuyến tính) cho nhiều không gian phức tạp hơn, cuối cùng làm phát sinh các khái niệm như đạo hàm Fréchet hoặc Gateaux . Tương tự như vậy, trong hình học vi phân , vi phân của một hàm tại một điểm là một hàm tuyến tính của một vectơ tiếp tuyến (một "độ dời nhỏ vô hạn"), biểu thị nó dưới dạng một dạng: đạo hàm bên ngoài của hàm. Trong phép tính phi tiêu chuẩn , vi phân được coi là số cực nhỏ, bản thân chúng có thể được đặt trên một nền tảng nghiêm ngặt (xem vi phân (số thập phân) ).

Vi phân của hàm ƒ ( x ) tại điểm  x ₀ .

Vi phân được định nghĩa trong các phương pháp điều trị vi phân hiện đại như sau. ^[7] Vi phân của hàm f ( x ) với một biến số thực x là hàm df của hai biến số thực độc lập x và Δ x cho bởi

${\ displaystyle df (x, \ Delta x) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f '(x) \, \ Delta x.}$

Một hoặc cả hai đối số có thể bị loại bỏ, tức là, người ta có thể thấy df ( x ) hoặc đơn giản là df . Nếu y  =  f ( x ), vi phân cũng có thể được viết dưới dạng dy . Vì dx ( x , Δ x ) = Δ x nên thông thường viết dx  = Δ x , do đó đẳng thức sau đây là:

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx}$

Khái niệm vi phân này được áp dụng rộng rãi khi tìm kiếm một xấp xỉ tuyến tính cho một hàm, trong đó giá trị của gia số Δ x đủ nhỏ. Chính xác hơn, nếu f là một hàm khả vi tại x , sau đó sự khác biệt trong y -values

${\ displaystyle \ Delta y {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} f (x + \ Delta x) -f (x)}$

thỏa mãn

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \, \ Delta x + \ varepsilon = df (x) + \ varepsilon \,}$

trong đó sai số ε trong phép gần đúng thỏa mãn ε / Δ x  → 0 là Δ x  → 0. Nói cách khác, một trong số đó có nhận dạng gần đúng

${\ displaystyle \ Delta y \ khoảng dy}$

trong đó sai số có thể nhỏ đến mức mong muốn so với Δ x bằng cách hạn chế Δ x đủ nhỏ; điều đó có nghĩa là,

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y-dy} {\ Delta x}} \ đến 0}$

như Δ x  → 0. Vì lý do này, vi phân của một hàm được gọi là phần chính (tuyến tính) trong số gia của một hàm: vi phân là một hàm tuyến tính của số gia Δ x , và mặc dù sai số ε có thể là phi tuyến tính, nó có xu hướng về 0 nhanh chóng khi Δ x có xu hướng về 0.

Toán tử \ Chức năng	${\ displaystyle f (x)}$	${\ displaystyle f (x, y, u (x, y), v (x, y))}$
Khác biệt	1: ${\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$	2: ${\ displaystyle d_ {x} f \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$ 3: d f = d e f f x ′ d x + f y ′ d y + f u ′ d u + f v ′ d v {\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} dx + f' _ {y} dy + f '_ {u} du + f '_ {v} dv}
Đạo hàm từng phần	${\ displaystyle f '_ {x} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(1)}} {}} {=}} \, {\ frac {df} {dx}}}$	${\ displaystyle f '_ {x} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(2)}} {}} {=}} \, {\ frac {d_ {x} f} {dx}} = {\ frac {\ một phần f} {\ một phần x}}}$
Tổng đạo hàm	${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(1)}} {}} {=}} \, f '_ {x}}$	${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(3)}} {}} {=}} \, f '_ {x} + f' _ { u} {\ frac {du} {dx}} + f '_ {v} {\ frac {dv} {dx}}; (f' _ {y} {\ frac {dy} {dx}} = 0) }$

Theo Goursat (1904 , I, §15), đối với các hàm của nhiều hơn một biến độc lập,

${\ displaystyle y = f (x_ {1}, \ dot, x_ {n}),}$

vi phân riêng của y đối với bất kỳ một trong các biến  x ₁ là phần chính của sự thay đổi trong y do thay đổi  dx ₁ trong một biến đó. Do đó, vi phân riêng là

${\ displaystyle {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {1}}} dx_ {1}}$

liên quan đến đạo hàm riêng của y đối với  x ₁ . Tổng của vi phân riêng đối với tất cả các biến độc lập là vi phân tổng

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {1}}} dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {n}}} dx_ {n },}$

là phần chính của sự thay đổi trong y do những thay đổi trong các biến độc lập  x _i .

Chính xác hơn, trong ngữ cảnh của phép tính đa biến, theo Courant (1937b) , nếu f là một hàm phân biệt, thì theo định nghĩa của tính phân biệt , số gia

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta y & {} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f (x_ {1} + \ Delta x_ {1}, \ dot, x_ {n} + \ Delta x_ {n}) - f (x_ {1}, \ dot, x_ {n}) \\ & {} = {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {1}}} \ Delta x_ { 1} + \ cdots + {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {n}}} \ Delta x_ {n} + \ varepsilon _ {1} \ Delta x_ {1} + \ cdots + \ varepsilon _ { n} \ Delta x_ {n} \ end {căn chỉnh}}}$

trong đó các điều khoản lỗi ε _i có xu hướng bằng không khi các gia số Δ x _i cùng có xu hướng bằng không. Tổng chênh lệch sau đó được xác định một cách chặt chẽ là 

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {1}}} \ Delta x_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {n}}} \ Delta x_ {n}.}$

Vì, với định nghĩa này,

${\ displaystyle dx_ {i} (\ Delta x_ {1}, \ dot, \ Delta x_ {n}) = \ Delta x_ {i},}$

một có

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {1}}} \, dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {n}}} \ , dx_ {n}.}$

Như trong trường hợp của một biến, danh tính gần đúng giữ

${\ displaystyle dy \ khoảng \ Delta y}$

trong đó tổng sai số có thể được thực hiện nhỏ như mong muốn so với ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta x_ {1} ^ {2} + \ cdots + \ Delta x_ {n} ^ {2}}}}$ bằng cách giới hạn sự chú ý đến các gia số vừa đủ nhỏ.

Ứng dụng của tổng sai phân để ước lượng sai số

Trong phép đo, tổng vi phân được sử dụng để ước lượng sai số Δ f của hàm f dựa trên sai số Δ x , Δ y , ... của các tham số x , y ,…. Giả sử rằng khoảng thời gian đủ ngắn để thay đổi gần như tuyến tính:

Δ f ( x ) = f ' ( x ) × Δ x

và tất cả các biến là độc lập, sau đó đối với tất cả các biến

${\ displaystyle \ Delta f = f_ {x} \ Delta x + f_ {y} \ Delta y + \ cdots}$

Điều này là do đạo hàm f _x đối với tham số cụ thể x cho độ nhạy của hàm f đối với sự thay đổi trong x , cụ thể là sai số Δ x . Vì chúng được giả định là độc lập, phân tích mô tả tình huống xấu nhất. Các giá trị tuyệt đối của sai số thành phần được sử dụng, vì sau khi tính toán đơn giản, đạo hàm có thể có dấu âm. Từ nguyên tắc này, các quy tắc sai số của tổng, nhân, v.v. được suy ra, ví dụ:

Cho f ( a , b ) = a × b ;

Δ f = f _a Δ a + f _b Δ b ; đánh giá các dẫn xuất

Δ f = b Δ a + a Δ b ; chia cho f , được a × b

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b

Có nghĩa là, trong phép nhân, tổng sai số tương đối là tổng các sai số tương đối của các tham số.

Để minh họa điều này phụ thuộc vào hàm được xét như thế nào, hãy xem xét trường hợp hàm f ( a , b ) = a ln b thay vào đó. Sau đó, có thể tính toán rằng ước tính lỗi là

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / ( b ln b )

với một thừa số ' ln b ' không được tìm thấy trong trường hợp của một sản phẩm đơn giản. Yếu tố bổ sung này có xu hướng làm cho sai số nhỏ hơn, vì ln b không lớn bằng b trần  .

Vi phân bậc cao của hàm y  =  f ( x ) của một biến duy nhất x có thể được xác định thông qua: ^[8]

${\ displaystyle d ^ {2} y = d (dy) = d (f '(x) dx) = (df' (x)) dx = f '' (x) \, (dx) ^ {2}, }$

và nói chung,

${\ displaystyle d ^ {n} y = f ^ {(n)} (x) \, (dx) ^ {n}.}$

Về mặt không chính thức, điều này thúc đẩy ký hiệu Leibniz cho các dẫn xuất bậc cao

${\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = {\ frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}}.}$

Khi bản thân biến độc lập x được phép phụ thuộc vào các biến khác, thì biểu thức trở nên phức tạp hơn, vì nó phải bao gồm cả các vi phân bậc cao trong chính x . Vì vậy, chẳng hạn,

${\ displaystyle {\ begin {align} d ^ {2} y & = f '' (x) \, (dx) ^ {2} + f '(x) d ^ {2} x \\ d ^ {3} y & = f '' '(x) \, (dx) ^ {3} + 3f' '(x) dx \, d ^ {2} x + f' (x) d ^ {3} x \ end {căn chỉnh }}}$

và kể từ đó trở đi.

Các cân nhắc tương tự áp dụng cho việc xác định vi phân bậc cao của các hàm của một số biến. Ví dụ, nếu f là một hàm của hai biến x và y , thì

${\ displaystyle d ^ {n} f = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {\ part ^ {n} f} {\ một phần x ^ { k} \ một phần y ^ {nk}}} (dx) ^ {k} (dy) ^ {nk},}$

Ở đâu ${\ textstyle {\ binom {n} {k}}}$là một hệ số nhị thức . Trong nhiều biến hơn, một biểu thức tương tự được giữ, nhưng với một khai triển đa thức thích hợp hơn là khai triển nhị thức. ^[9]

Vi phân bậc cao trong một số biến cũng trở nên phức tạp hơn khi bản thân các biến độc lập được phép phụ thuộc vào các biến khác. Ví dụ, đối với một hàm f của x và y được phép phụ thuộc vào các biến phụ, một hàm có

${\ displaystyle d ^ {2} f = \ left ({\ frac {\ part ^ {2} f} {\ một phần x ^ {2}}} (dx) ^ {2} +2 {\ frac {\ một phần ^ {2} f} {\ một phần x \ một phần y}} dx \, dy + {\ frac {\ một phần ^ {2} f} {\ một phần y ^ {2}}} (dy) ^ {2} \ right ) + {\ frac {\ một phần f} {\ một phần x}} d ^ {2} x + {\ frac {\ một phần f} {\ một phần y}} d ^ {2} y.}$

Bởi vì sự sai lầm mang tính ký hiệu này, việc sử dụng các sai phân bậc cao đã bị Hadamard 1935 chỉ trích hoàn toàn , người đã kết luận:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\ displaystyle d ^ {2} z = r \, dx ^ {2} + 2s \, dx \, dy + t \, dy ^ {2} \ ,?}$

A mon avis, rien du tout.

Đó là: Cuối cùng, bình đẳng [...] có nghĩa là gì, hay được đại diện cho điều gì? Theo tôi, không có gì cả. Bất chấp sự hoài nghi này, sự khác biệt bậc cao đã nổi lên như một công cụ quan trọng trong phân tích. ^[10]

Trong các ngữ cảnh này, vi phân bậc n của hàm f áp dụng cho một gia số Δ x được xác định bởi

${\ displaystyle d ^ {n} f (x, \ Delta x) = \ left. {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} f (x + t \ Delta x) \ right | _ {t = 0}}$

hoặc một biểu thức tương đương, chẳng hạn như

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ Delta _ {t \ Delta x} ^ {n} f} {t ^ {n}}}}$

Ở đâu ${\ displaystyle \ Delta _ {t \ Delta x} ^ {n} f}$là một sự khác biệt về phía trước thứ n với gia số t Δ x .

Định nghĩa này cũng có ý nghĩa nếu f là một hàm của một số biến (để đơn giản được lấy ở đây như một đối số vectơ). Khi đó vi phân thứ n được xác định theo cách này là một hàm thuần nhất bậc n theo gia số vectơ Δ x . Hơn nữa, chuỗi Taylor của f tại điểm x được cho bởi

${\ displaystyle f (x + \ Delta x) \ sim f (x) + df (x, \ Delta x) + {\ frac {1} {2}} d ^ {2} f (x, \ Delta x) + \ cdots + {\ frac {1} {n!}} d ^ {n} f (x, \ Delta x) + \ cdots}$

Đạo hàm Gateaux bậc cao tổng quát những cân nhắc này thành không gian chiều vô hạn.

Một số tính chất của vi phân tuân theo một cách đơn giản từ các tính chất tương ứng của đạo hàm, đạo hàm riêng và đạo hàm toàn phần. Chúng bao gồm: ^[11]

• Tính tuyến tính : Đối với các hằng số a và b và các hàm phân biệt f và g ,

${\ displaystyle d (af + bg) = a \, df + b \, dg.}$

• Quy tắc sản phẩm : Đối với hai hàm có thể phân biệt f và g ,

${\ displaystyle d (fg) = f \, dg + g \, df.}$

Một phép toán d với hai thuộc tính này được biết đến trong đại số trừu tượng như một phép tính đạo hàm . Chúng ngụ ý quy tắc Quyền lực

${\ displaystyle d (f ^ {n}) = nf ^ {n-1} df}$

Ngoài ra, các hình thức khác nhau của quy tắc chuỗi được giữ nguyên , ở mức độ tổng quát ngày càng tăng: ^[12]

• Nếu y  =  f ( u ) là hàm phân biệt của biến u và u  =  g ( x ) là hàm phân biệt của x thì

${\ displaystyle dy = f '(u) \, du = f' (g (x)) g '(x) \, dx.}$

• Nếu y = f ( x ₁ , ..., x _n ) và tất cả các biến  x ₁ , ...,  x _n phụ thuộc vào một biến khác  t , thì theo quy tắc chuỗi đối với đạo hàm riêng , người ta có

${\ displaystyle {\ begin {align} dy & = {\ frac {dy} {dt}} dt \\ & = {\ frac {\ part y} {\ part x_ {1}}} dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {n}}} dx_ {n} \\ & = {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {1}}} {\ frac {dx_ {1 }} {dt}} \, dt + \ cdots + {\ frac {\ một phần y} {\ một phần x_ {n}}} {\ frac {dx_ {n}} {dt}} \, dt. \ end {căn chỉnh }}}$

Về mặt kinh nghiệm, bản thân quy tắc chuỗi cho một số biến có thể được hiểu bằng cách chia cả hai vế của phương trình này cho đại lượng nhỏ vô hạn dt .

• Có nhiều biểu thức tương tự tổng quát hơn, trong đó các biến trung gian x _i phụ thuộc vào nhiều hơn một biến.

Một khái niệm nhất quán về vi phân có thể được phát triển cho một hàm f  : R ⁿ → R ^m giữa hai không gian Euclide . Gọi x , Δ x  ∈  R ⁿ là một cặp vectơ Ơclit . Số gia trong hàm f là

${\ displaystyle \ Delta f = f (\ mathbf {x} + \ Delta \ mathbf {x}) -f (\ mathbf {x}).}$

Nếu tồn tại m  ×  n ma trận A sao cho

${\ displaystyle \ Delta f = A \ Delta \ mathbf {x} + \ | \ Delta \ mathbf {x} \ | {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$

trong đó vectơ ε  → 0 là Δ x  → 0, thì f theo định nghĩa là phân biệt tại điểm x . Ma trận A đôi khi được gọi là ma trận Jacobian , và phép biến đổi tuyến tính kết hợp với số gia Δ x  ∈  R ⁿ vectơ A Δ x  ∈  R ^m , trong cài đặt chung này, được gọi là vi phân df ( x ) của f tại điểm x . Đây chính xác là đạo hàm Fréchet , và cấu trúc tương tự có thể được thực hiện để hoạt động cho một hàm giữa bất kỳ không gian Banach nào .

Một quan điểm hiệu quả khác là định nghĩa vi phân trực tiếp như một loại đạo hàm có hướng :

${\ displaystyle df (\ mathbf {x}, \ mathbf {h}) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {h}) -f (\ mathbf {x})} {t}} = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {h}) \ right | _ {t = 0},}$

là cách tiếp cận đã được thực hiện để xác định vi phân bậc cao (và gần như là định nghĩa do Cauchy đưa ra). Nếu t đại diện cho thời gian và vị trí x , thì h đại diện cho một vận tốc thay vì một chuyển vị như chúng ta đã xét ở đây. Điều này mang lại một sự cải tiến khác về khái niệm vi phân: rằng nó phải là một hàm tuyến tính của vận tốc động học. Tập hợp tất cả các vận tốc qua một điểm đã cho trong không gian được gọi là không gian tiếp tuyến , và do đó df cho một hàm tuyến tính trên không gian tiếp tuyến: một dạng vi phân . Với cách giải thích này, vi phân của f được gọi là đạo hàm bên ngoài , và có ứng dụng rộng rãi trong hình học vi phân vì khái niệm vận tốc và không gian tiếp tuyến có ý nghĩa trên bất kỳ đa tạp phân biệt nào . Ngoài ra, nếu giá trị đầu ra của f cũng đại diện cho một vị trí (trong không gian Euclide), thì phân tích chiều xác nhận rằng giá trị đầu ra của df phải là vận tốc. Nếu một xử lý sự khác biệt trong cách này, sau đó nó được gọi là pushforward vì nó "đẩy" vận tốc từ một không gian nguồn vào vận tốc trong một không gian mục tiêu.

Mặc dù khái niệm về số gia số vô cùng nhỏ dx không được xác định rõ ràng trong phân tích toán học hiện đại , nhưng có nhiều kỹ thuật để xác định vi phân vô cực để vi phân của một hàm có thể được xử lý theo cách không mâu thuẫn với ký hiệu Leibniz . Bao gồm các:

• Định nghĩa vi phân như một dạng vi phân , cụ thể là đạo hàm bên ngoài của một hàm. Các gia số thập phân sau đó được xác định bằng các vectơ trong không gian tiếp tuyến tại một điểm. Cách tiếp cận này phổ biến trong hình học vi phân và các lĩnh vực liên quan, bởi vì nó dễ dàng tổng quát hóa thành ánh xạ giữa các đa tạp có thể phân biệt .
• Vi phân như phần tử lũy thừa của các vành giao hoán . Cách tiếp cận này phổ biến trong hình học đại số . ^[13]
• Sự khác biệt trong mô hình trơn tru của lý thuyết tập hợp. Cách tiếp cận này được gọi là hình học vi phân tổng hợp hoặc phân tích thập phân mịn và có liên quan chặt chẽ với phương pháp tiếp cận hình học đại số, ngoại trừ việc các ý tưởng từ lý thuyết topos được sử dụng để che giấu các cơ chế mà các số vô cực nilpotent được đưa vào. ^[14]
• Các vi phân như là các số vô cực trong hệ thống số siêu thực , là phần mở rộng của các số thực có chứa các số vô cực có thể đảo ngược và các số lớn vô hạn. Đây là cách tiếp cận của phân tích không chuẩn do Abraham Robinson tiên phong . ^[15]

Sự khác biệt có thể được sử dụng một cách hiệu quả trong phân tích số để nghiên cứu sự lan truyền của sai số thực nghiệm trong một phép tính và do đó tính ổn định số tổng thể của một bài toán ( Courant 1937a ). Giả sử rằng biến x đại diện cho kết quả của một thử nghiệm và y là kết quả của một phép tính số áp dụng cho x . Câu hỏi đặt ra là sai số trong phép đo x ảnh hưởng đến kết quả của phép tính y ở mức độ nào . Nếu biết x nằm trong khoảng Δ x với giá trị thực của nó, thì định lý Taylor đưa ra ước lượng sau về sai số Δ y trong phép tính y :

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \ Delta x + {\ frac {(\ Delta x) ^ {2}} {2}} f' '(\ xi)}$

trong đó ξ = x + θ Δ x với 0 < θ <1 nào đó . Nếu Δ x nhỏ, thì số hạng thứ hai là không đáng kể, do đó Δ y , theo mục đích thực tế, được xấp xỉ đúng bởi dy = f ' ( x ) Δ x .

Vi phân thường hữu ích để viết lại một phương trình vi phân

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x)}$

trong các hình thức

${\ displaystyle dy = g (x) \, dx,}$

đặc biệt là khi người ta muốn tách các biến .

• Boyer, Carl B. (1959), Lịch sử của phép tính và sự phát triển khái niệm của nó , New York: Dover Publications , MR  0124178.
• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les Applications du Calcul infinitésimal , được lưu trữ từ bản gốc ngày 2009-05-04 , truy xuất 2009-08-19.
• Courant, Richard (1937a), Phép tính vi phân và tích phân. Tập I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (xuất bản năm 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR  1009558.
• Courant, Richard (1937b), Phép tính vi phân và tích phân. Tập II , Thư viện Wiley Classics, New York: John Wiley & Sons (xuất bản năm 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR  1009559.
• Courant, Richard ; John, Fritz (1999), Giới thiệu về Giải tích và Phân tích Tập 1 , Kinh điển về Toán học, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-X, MR  1746554
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), Hình học của các lược đồ , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293–323, ISSN  0012-9593 , MR  1509268.
• Goursat, Édouard (1904), Một khóa học về phân tích toán học: Tập 1: Đạo hàm và vi phân, tích phân xác định, khai triển trong chuỗi, ứng dụng vào hình học , ER Hedrick, New York: Dover Publications (xuất bản 1959), MR  0106155.
• Hadamard, Jacques (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Công báo Toán học , XIX (236): 341–342, JSTOR  3606323.
• Hardy, Godfrey Harold (1908), Một khóa học về Toán học thuần túy , Nhà xuất bản Đại học Cambridge , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Phân tích hàm và bán nhóm , Chứng minh , RI: Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ , MR  0423094.
• Itô, Kiyosi (1993), Từ điển Bách khoa toàn thư về Toán học (xuất bản lần thứ 2), Nhà xuất bản MIT , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Kline, Morris (1977), "Chương 13: Vi phân và quy luật trung bình", Giải tích: Một cách tiếp cận trực quan và vật lý , John Wiley và Sons.
• Kline, Morris (1972), Tư tưởng toán học từ thời cổ đại đến hiện đại (xuất bản lần thứ 3), Nhà xuất bản Đại học Oxford (xuất bản 1990), ISBN 978-0-19-506136-9
• Keisler, H. Jerome (1986), Giải tích sơ cấp: Phương pháp tiếp cận vô số (xuất bản lần thứ 2).
• Kock, Anders (2006), Hình học vi phân tổng hợp (PDF) (xuất bản lần thứ 2), Nhà xuất bản Đại học Cambridge.
• Moerdijk, tôi ; Reyes, GE (1991), Mô hình phân tích vô phân tử mượt mà , Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Phân tích phi tiêu chuẩn , Nhà xuất bản Đại học Princeton , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Tolstov, GP (2001) [1994], " Vi phân" , Bách khoa toàn thư về Toán học , Nhà xuất bản EMS.

• Sự khác biệt của một hàm tại dự án trình diễn Wolfram