Kích thước

Trong toán học, chiều của một vật thể nói một cách đại khái là số bậc tự do của một điểm chuyển động trên vật thể này. Nói cách khác, thứ nguyên là số tham số hoặc tọa độ độc lập cần thiết để xác định vị trí của một điểm bị ràng buộc trên đối tượng. Ví dụ, thứ nguyên của một điểm bằng không; chiều của một đoạn thẳng là một, vì một điểm có thể di chuyển trên một đoạn thẳng chỉ theo một hướng (hoặc ngược lại); chiều của một mặt phẳng là hai, v.v.

Kích thước là một thuộc tính nội tại của một đối tượng, theo nghĩa là nó độc lập với kích thước của không gian mà đối tượng đó có hoặc có thể được nhúng vào. Ví dụ, một đường cong , chẳng hạn như đường tròn , có thứ nguyên là một, vì vị trí của một điểm trên đường cong được xác định bởi khoảng cách có dấu của nó dọc theo đường cong đến một điểm cố định trên đường cong. Điều này độc lập với thực tế là một đường cong không thể được nhúng trong không gian Euclide có kích thước nhỏ hơn hai, trừ khi nó là một đường thẳng.

Số chiều của Euclid n- không gian E ⁿ là n . Khi cố gắng tổng quát hóa cho các loại không gian khác, người ta phải đối mặt với câu hỏi "điều gì làm cho E ⁿ n -dimensional?" Một câu trả lời là để bao phủ một quả bóng cố định ở E ⁿ bởi những quả cầu nhỏ có bán kính ε , người ta cần theo thứ tự ε ^{- n} quả bóng nhỏ như vậy. Quan sát này dẫn đến định nghĩa về chiều Minkowski và biến thể phức tạp hơn của nó, chiều Hausdorff , nhưng cũng có những câu trả lời khác cho câu hỏi đó. Ví dụ, ranh giới của một quả bóng trong E ⁿ trông cục bộ giống như E ^{n -1} và điều này dẫn đến khái niệm về chiều quy nạp . Trong khi những quan niệm này đồng nhất với nhau về E ⁿ , chúng hóa ra lại khác khi người ta nhìn vào những không gian tổng quát hơn.

Một Tesseract là một ví dụ về một đối tượng bốn chiều. Trong khi bên ngoài toán học sử dụng thuật ngữ "thứ nguyên" như trong: "Một tinh hoàn có bốn chiều ", các nhà toán học thường diễn đạt điều này là: "Tinh hoàn có thứ nguyên 4 ", hoặc: "Kích thước của tinh hoàn là 4" hoặc: 4D.

Mặc dù khái niệm về kích thước cao hơn có từ thời René Descartes , nhưng sự phát triển đáng kể của hình học chiều cao hơn chỉ bắt đầu vào thế kỷ 19, thông qua công trình của Arthur Cayley , William Rowan Hamilton , Ludwig Schläfli và Bernhard Riemann . Riemann 1854 Habilitationsschrift , Schläfli của 1852 Theorie der vielfachen Kontinuität , và khám phá của Hamilton quaternion và John T. Graves khám phá 'của octonions năm 1843 đánh dấu sự khởi đầu của hình học chiều cao.

Phần còn lại của phần này xem xét một số định nghĩa toán học quan trọng hơn về thứ nguyên.

Không gian vectơ

Số chiều của không gian vectơ là số vectơ trong bất kỳ cơ sở nào của không gian, tức là số tọa độ cần thiết để xác định bất kỳ vectơ nào. Khái niệm về kích thước (các cardinality các cơ sở) thường được gọi là chiều Hamel hoặc chiều đại số để phân biệt nó với các khái niệm khác kích thước.

Đối với trường hợp không tự do , điều này tổng quát thành khái niệm về độ dài của một mô-đun .

Manifolds

Kích thước được xác định duy nhất của mọi đa tạp tôpô được kết nối có thể được tính toán. Đa tạp tôpô được kết nối là đồng dạng cục bộ với không gian Euclide n , trong đó số n là thứ nguyên của đa tạp.

Đối với đa tạp phân biệt được kết nối , thứ nguyên cũng là thứ nguyên của không gian vectơ tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ.

Trong cấu trúc liên kết hình học , lý thuyết đa tạp được đặc trưng bởi cách kích thước 1 và 2 tương đối cơ bản, các trường hợp chiều cao n > 4 được đơn giản hóa bằng cách có thêm không gian để "làm việc"; và trường hợp n = 3 và 4 theo một số nghĩa là khó nhất. Tình trạng này được đánh dấu rất cao trong các trường hợp khác nhau của phỏng đoán Poincaré , nơi bốn phương pháp chứng minh khác nhau được áp dụng.

Kích thước phức tạp

Thứ nguyên của một đa tạp phụ thuộc vào trường cơ sở liên quan đến không gian Euclide được xác định. Mặc dù phân tích thường giả định một đa tạp lớn hơn số thực , nhưng đôi khi nó rất hữu ích trong việc nghiên cứu các đa tạp phức tạp và các giống đại số để thay thế các số phức . Số phức ( x + iy ) có phần thực x và phần ảo y , trong đó x và y đều là số thực; do đó, chiều phức tạp bằng một nửa chiều thực.

Ngược lại, trong bối cảnh không bị giới hạn về mặt đại số, một hệ tọa độ phức hợp duy nhất có thể được áp dụng cho một đối tượng có hai chiều thực. Ví dụ, một mặt cầu hai chiều thông thường , khi cho một số liệu phức, sẽ trở thành một mặt cầu Riemann có một chiều phức. ^[3]

Đẳng cấp

Kích thước của một giống đại số có thể được xác định theo nhiều cách tương đương khác nhau. Cách trực quan nhất có lẽ là số chiều của không gian tiếp tuyến tại bất kỳ điểm Chính quy nào của một đa dạng đại số . Một cách trực quan khác là xác định thứ nguyên là số lượng siêu mặt phẳng cần thiết để có một giao điểm với sự đa dạng được giảm xuống một số điểm hữu hạn (thứ nguyên không). Định nghĩa này dựa trên thực tế là sự giao nhau của nhiều loại với siêu phẳng làm giảm kích thước của một loại trừ khi siêu phẳng chứa nhiều loại.

Một tập đại số là một tập hợp hữu hạn của các giống đại số, kích thước của nó là kích thước tối đa của các kích thước của các thành phần của nó. Nó bằng chiều dài tối đa của chuỗi${\ displaystyle V_ {0} \ subsetneq V_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq V_ {d}}$ của các giống con của tập đại số đã cho (độ dài của một chuỗi như vậy là số "${\ displaystyle \ subsetneq}$").

Mỗi giống có thể được coi là một ngăn xếp đại số , và kích thước của nó khi giống đồng nhất với thứ nguyên của nó là ngăn xếp. Tuy nhiên, có nhiều ngăn xếp không tương ứng với các giống và một số ngăn xếp có chiều âm. Cụ thể, nếu V là một nhóm đại số có thứ nguyên m và G là một nhóm đại số của thứ nguyên n tác động lên V , thì chồng thương [ V / G ] có thứ nguyên m  -  n . ^[4]

Kích thước Krull

Thứ nguyên Krull của một vành giao hoán là chiều dài lớn nhất của chuỗi các iđêan nguyên tố trong đó, chuỗi có chiều dài n là một chuỗi${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {0} \ subsetneq {\ mathcal {P}} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathcal {P}} _ {n}}$của các lý tưởng nguyên tố liên quan bởi sự bao hàm. Nó có liên quan chặt chẽ đến chiều của một giống đại số, vì sự tương ứng tự nhiên giữa các giống con và các iđêan nguyên tố của vành các đa thức trên giống.

Đối với một đại số trên một trường , thứ nguyên như không gian vectơ là hữu hạn nếu và chỉ khi thứ nguyên Krull của nó là 0.

Không gian tôpô

Đối với bất kỳ không gian tôpô thông thường nào X , thứ nguyên bao phủ Lebesgue của X được định nghĩa là số nguyên n nhỏ nhất mà giá trị sau đây chứa: bất kỳ trang bìa mở nào đều có một sàng lọc mở (bìa mở thứ hai trong đó mỗi phần tử là một tập con của một phần tử trong bìa đầu tiên) sao cho không có điểm nào được đưa vào nhiều hơn n + 1 phần tử. Trong trường hợp này dim X = n . Đối với X là một đa tạp, điều này trùng với thứ nguyên được đề cập ở trên. Nếu không tồn tại số nguyên n như vậy , thì số chiều của X được cho là vô hạn, và người ta viết dim X = ∞ . Hơn nữa, X có thứ nguyên −1, tức là dim X = −1 nếu và chỉ khi X rỗng. Định nghĩa về kích thước bao trùm này có thể được mở rộng từ loại không gian bình thường sang tất cả các không gian Tychonoff chỉ đơn thuần bằng cách thay thế thuật ngữ "mở" trong định nghĩa bằng thuật ngữ " mở về mặt chức năng ".

Một thứ nguyên quy nạp có thể được định nghĩa một cách quy nạp như sau. Coi một tập hợp điểm rời rạc (chẳng hạn như một tập hợp hữu hạn các điểm) là 0 chiều. Bằng cách kéo một đối tượng 0 chiều theo một số hướng, người ta sẽ thu được một đối tượng 1 chiều. Bằng cách kéo một đối tượng 1 chiều theo một hướng mới , người ta sẽ thu được một đối tượng 2 chiều. Nói chung, người ta có được một đối tượng ( n + 1 ) chiều bằng cách kéo một đối tượng n theo một hướng mới . Kích thước quy nạp của không gian tôpô có thể đề cập đến kích thước quy nạp nhỏ hoặc kích thước quy nạp lớn , và dựa trên phép loại suy rằng, trong trường hợp không gian hệ mét, ( n + 1 ) quả cầu chiều có ranh giới n chiều , cho phép một định nghĩa quy nạp dựa trên kích thước của ranh giới của các tập hợp mở. Hơn nữa, ranh giới của một tập hợp điểm rời rạc là tập hợp rỗng, và do đó tập hợp rỗng có thể được coi là có thứ nguyên -1. ^[5]

Tương tự như vậy, đối với lớp phức hợp CW , thứ nguyên của một đối tượng là n lớn nhất mà bộ xương n là không tầm thường. Một cách trực quan, điều này có thể được mô tả như sau: nếu không gian ban đầu có thể bị biến dạng liên tục thành một tập hợp các tam giác có chiều cao hơn được ghép vào các mặt của chúng với một bề mặt phức tạp, thì kích thước của vật thể là kích thước của các tam giác đó. ^{[ cần dẫn nguồn ]}

Kích thước Hausdorff

Các chiều Hausdorff là hữu ích để nghiên cứu bộ cấu trúc phức tạp, đặc biệt là Fractals . Thứ nguyên Hausdorff được xác định cho tất cả các không gian số liệu và, không giống như các thứ nguyên được xem xét ở trên, cũng có thể có các giá trị thực không nguyên. ^[6] Các khía cạnh hộp hoặc chiều Minkowski là một biến thể của ý tưởng tương tự. Nói chung, tồn tại nhiều định nghĩa hơn về kích thước fractal phù hợp với các tập không đều cao và đạt được các giá trị thực dương không nguyên. Fractal đã được tìm thấy hữu ích để mô tả nhiều đối tượng và hiện tượng tự nhiên. ^{[7] [ cần trang ] [8] [ cần trang ]}

Hilbert không gian

Mọi không gian Hilbert đều thừa nhận một cơ sở trực chuẩn , và bất kỳ hai cơ sở nào như vậy cho một không gian cụ thể đều có cùng một bản số . Hệ số này được gọi là số chiều của không gian Hilbert. Chiều này là hữu hạn nếu và chỉ khi chiều Hamel của không gian là hữu hạn và trong trường hợp này là hai chiều trùng nhau.

Kích thước không gian

Các lý thuyết vật lý cổ điển mô tả ba chiều vật lý : từ một điểm cụ thể trong không gian , các hướng cơ bản mà chúng ta có thể di chuyển là lên / xuống, trái / phải và tiến / lùi. Chuyển động theo bất kỳ hướng nào khác có thể được thể hiện chỉ trong ba điều này. Di chuyển xuống cũng giống như di chuyển lên một khoảng âm. Di chuyển theo đường chéo lên và về phía trước đúng như tên gọi của hướng; tức là , chuyển động kết hợp tuyến tính lên và về phía trước. Ở dạng đơn giản nhất: đường thẳng mô tả một chiều, mặt phẳng mô tả hai chiều và hình lập phương mô tả ba chiều. (Xem Không gian và hệ tọa độ Descartes .)

Số thứ nguyên	Ví dụ về hệ thống tọa độ
1	Dòng số Góc
2	Descartes  (hai chiều) Cực Vĩ độ và kinh độ
3	Descartes  (ba chiều) Hình trụ Hình cầu

Thời gian

Một chiều thời gian hay còn gọi là chiều thời gian , là một chiều của thời gian. Thời gian thường được gọi là " chiều thứ tư " vì lý do này, nhưng điều đó không có nghĩa là nó là một chiều không gian. Kích thước thời gian là một cách để đo lường sự thay đổi vật lý. Nó được nhìn nhận khác với ba chiều không gian ở chỗ chỉ có một trong số đó và chúng ta không thể di chuyển tự do theo thời gian mà chỉ di chuyển theo một hướng chủ quan .

Các phương trình được sử dụng trong vật lý để mô hình hóa thực tế không xử lý thời gian theo cách mà con người thường nhận thức về nó. Các phương trình của cơ học cổ điển là đối xứng theo thời gian , và các phương trình của cơ học lượng tử thường là đối xứng nếu cả thời gian và các đại lượng khác (chẳng hạn như điện tích và tính chẵn lẻ ) đều bị đảo ngược. Trong các mô hình này, nhận thức về thời gian chảy theo một hướng là một tạo tác của các định luật nhiệt động lực học (chúng ta nhận thức thời gian chảy theo hướng tăng entropi ).

Cách coi thời gian như một thứ nguyên được biết đến nhiều nhất là thuyết tương đối hẹp của Poincaré và Einstein (và được mở rộng sang thuyết tương đối rộng ), coi không gian và thời gian được nhận thức như các thành phần của đa tạp bốn chiều , được gọi là không thời gian , và trong điều kiện đặc biệt, trường hợp phẳng như không gian Minkowski . Thời gian khác với các chiều không gian khác vì thời gian vận hành trong tất cả các chiều không gian. Thời gian hoạt động trong các chiều thứ nhất, thứ hai và thứ ba cũng như các chiều không gian lý thuyết như chiều không gian thứ tư . Tuy nhiên, thời gian không hiện diện ở một điểm duy nhất của điểm kỳ dị vô hạn tuyệt đối được định nghĩa là một điểm hình học , vì một điểm nhỏ vô hạn có thể không thay đổi và do đó không có thời gian. Giống như khi ném một vật chuyển động qua các vị trí trong không gian thì vật đó cũng chuyển động theo các vị trí của thời gian, theo nghĩa này thì lực làm cho vật thay đổi bất kỳ là thời gian . ^{[9] [10] [11] [12]}

Kích thước bổ sung

Trong vật lý, ba chiều không gian và một chiều thời gian là chuẩn mực được chấp nhận. Tuy nhiên, có những lý thuyết cố gắng thống nhất bốn lực cơ bản bằng cách đưa vào các chiều không gian phụ / siêu không gian . Đáng chú ý nhất, lý thuyết siêu dây yêu cầu 10 chiều không thời gian và bắt nguồn từ lý thuyết 11 chiều cơ bản hơn được gọi là lý thuyết M, lý thuyết này thay thế cho năm lý thuyết siêu dây khác biệt trước đây. Lý thuyết siêu trọng lực cũng thúc đẩy không thời gian 11D = siêu không gian 7D + 4 chiều không gian chung. Cho đến nay, không có bằng chứng thực nghiệm hoặc quan sát trực tiếp nào có sẵn để hỗ trợ sự tồn tại của các chiều phụ này. Nếu tồn tại siêu không gian, nó phải được ẩn khỏi chúng ta bằng một số cơ chế vật lý. Một khả năng đã được nghiên cứu kỹ là các kích thước phụ có thể bị "cuộn lại" ở các quy mô nhỏ như vậy để trở nên vô hình đối với các thí nghiệm hiện tại. Các giới hạn về kích thước và các đặc tính khác của các kích thước phụ được thiết lập bởi các thí nghiệm về hạt ^{[ cần làm rõ ]} chẳng hạn như ở Máy va chạm Hadron Lớn . ^[13]

Năm 1921, lý thuyết Kaluza – Klein trình bày 5D bao gồm một chiều phụ của không gian. Ở cấp độ lý thuyết trường lượng tử , lý thuyết Kaluza – Klein thống nhất lực hấp dẫn với các tương tác đo , dựa trên nhận thức rằng lực hấp dẫn lan truyền theo các kích thước phụ nhỏ, gọn tương đương với các tương tác đo ở khoảng cách xa. Đặc biệt khi hình dạng của các kích thước phụ là nhỏ, nó tái tạo điện từ . Tuy nhiên ở năng lượng đủ cao hoặc khoảng cách ngắn, thiết lập này vẫn mắc phải các bệnh lý tương tự cản trở nỗ lực trực tiếp mô tả lực hấp dẫn lượng tử . Do đó, các mô hình này vẫn yêu cầu hoàn thành UV , loại mà lý thuyết dây nhằm cung cấp. Đặc biệt, lý thuyết siêu dây yêu cầu sáu kích thước nhỏ gọn (siêu không gian 6D) tạo thành đa tạp Calabi – Yau . Do đó, lý thuyết Kaluza-Klein có thể được coi là một bản mô tả không đầy đủ của chính nó, hoặc là một tập hợp con của việc xây dựng mô hình lý thuyết dây.

Ngoài các kích thước phụ nhỏ và cuộn tròn, có thể có các kích thước bổ sung không rõ ràng vì vật chất liên quan đến vũ trụ khả kiến ​​của chúng ta được bản địa hóa trên không gian con (3 + 1) chiều . Vì vậy, kích thước phụ không cần phải nhỏ và nhỏ gọn mà có thể là kích thước phụ lớn . D-branes là các vật thể mở rộng động học có nhiều chiều khác nhau được dự đoán bởi lý thuyết dây có thể đóng vai trò này. Chúng có đặc tính là các kích thích chuỗi mở, được liên kết với các tương tác đo, được giới hạn trong não bởi các điểm cuối của chúng, trong khi các chuỗi đóng làm trung gian cho tương tác hấp dẫn được tự do truyền vào toàn bộ không thời gian, hoặc "khối lượng lớn". Điều này có thể liên quan đến lý do tại sao lực hấp dẫn lại yếu hơn theo cấp số nhân so với các lực khác, vì nó tự pha loãng một cách hiệu quả khi truyền vào một khối lượng có chiều cao hơn.

Một số khía cạnh của vật lý brane đã được áp dụng cho vũ trụ học . Ví dụ, vũ trụ học khí brane ^{[14] [15]} cố gắng giải thích tại sao có ba chiều không gian bằng cách sử dụng các xem xét về tôpô và nhiệt động lực học. Theo ý tưởng này, đó là vì ba là số chiều không gian lớn nhất mà các chuỗi có thể giao nhau một cách chung chung. Nếu ban đầu có nhiều cuộn dây xung quanh kích thước nhỏ gọn, không gian chỉ có thể mở rộng đến kích thước vĩ mô một khi các cuộn dây này bị loại bỏ, điều này đòi hỏi các dây quấn ngược nhau phải tìm thấy nhau và hủy. Nhưng các chuỗi chỉ có thể tìm thấy nhau để hủy ở một tốc độ có ý nghĩa trong ba chiều, do đó, chỉ có ba chiều không gian mới được phép phát triển lớn với loại cấu hình ban đầu này.

Các kích thước phụ được cho là phổ biến nếu tất cả các trường đều được truyền tự do như nhau trong chúng.

Một số loại hệ thống kỹ thuật số dựa trên việc lưu trữ, phân tích và trực quan hóa các hình dạng hình học, bao gồm phần mềm minh họa , thiết kế có sự hỗ trợ của máy tính và hệ thống thông tin địa lý . Các hệ thống vectơ khác nhau sử dụng nhiều cấu trúc dữ liệu khác nhau để biểu diễn các hình dạng, nhưng hầu như tất cả đều dựa trên cơ sở một tập hợp các nguyên thủy hình học tương ứng với các kích thước không gian: ^[16]

• Điểm (0 chiều), một tọa độ duy nhất trong hệ tọa độ Descartes .
• Đường hoặc Polyline (1 chiều), thường được biểu diễn dưới dạng danh sách có thứ tự các điểm được lấy mẫu từ một đường liên tục, trong đó phần mềm dự kiến ​​sẽ nội suy hình dạng xen kẽ của đường dưới dạng các đoạn đường thẳng hoặc đường cong.
• Đa giác (2 chiều), thường được biểu diễn dưới dạng một đường đóng tại các điểm cuối của nó, biểu thị ranh giới của vùng hai chiều. Phần mềm dự kiến ​​sẽ sử dụng ranh giới này để phân vùng không gian 2 chiều thành nội thất và ngoại thất.
• Bề mặt (3 chiều), được biểu diễn bằng nhiều chiến lược khác nhau, chẳng hạn như một hình đa diện bao gồm các mặt đa giác được kết nối. Phần mềm dự kiến ​​sẽ sử dụng bề mặt này để phân vùng không gian 3 chiều thành nội thất và ngoại thất.

Thông thường, trong các hệ thống này, đặc biệt là GIS và Bản đồ học , biểu diễn của một hiện tượng trong thế giới thực có thể có chiều khác (thường thấp hơn) so với hiện tượng đang được biểu diễn. Ví dụ: một thành phố (một vùng hai chiều) có thể được biểu thị dưới dạng một điểm hoặc một con đường (một khối vật liệu ba chiều) có thể được biểu thị dưới dạng một đường. Sự khái quát theo chiều này tương quan với các khuynh hướng trong nhận thức về không gian. Ví dụ: việc hỏi khoảng cách giữa hai thành phố giả định một mô hình khái niệm của các thành phố dưới dạng điểm, trong khi đưa ra chỉ đường liên quan đến việc đi lại "lên", "xuống" hoặc "dọc theo" một con đường ngụ ý một mô hình khái niệm một chiều. Điều này thường được thực hiện cho các mục đích về hiệu quả dữ liệu, đơn giản về hình ảnh hoặc hiệu quả nhận thức và có thể chấp nhận được nếu hiểu được sự phân biệt giữa hình biểu diễn và hình ảnh được trình bày, nhưng có thể gây nhầm lẫn nếu người dùng thông tin cho rằng hình dạng kỹ thuật số là một hình thức biểu diễn hoàn hảo của thực tế (tức là, tin rằng đường thực sự là đường).

Một số mạng phức tạp được đặc trưng bởi kích thước fractal . ^[17] Khái niệm về thứ nguyên có thể được khái quát để bao gồm các mạng được nhúng trong không gian. ^[18] Kích thước đặc trưng cho các hạn chế về không gian của chúng.

Các văn bản khoa học viễn tưởng thường đề cập đến khái niệm "chiều không gian" khi đề cập đến các vũ trụ song song hoặc thay thế hoặc các mặt phẳng tồn tại được tưởng tượng khác . Cách sử dụng này xuất phát từ ý tưởng rằng để du hành đến các vũ trụ / mặt phẳng tồn tại song song / thay thế, người ta phải đi theo một hướng / chiều bên cạnh những chiều tiêu chuẩn. Trên thực tế, các vũ trụ / mặt phẳng khác chỉ cách chúng ta một khoảng cách nhỏ, nhưng khoảng cách là ở chiều không gian (hoặc phi không gian) thứ tư (hoặc cao hơn), không phải là chiều tiêu chuẩn.

Một trong những câu chuyện khoa học viễn tưởng được báo trước nhiều nhất về chiều hình học thực sự, và thường được đề xuất như một điểm khởi đầu cho những người mới bắt đầu điều tra những vấn đề như vậy, là cuốn tiểu thuyết Flatland năm 1884 của Edwin A. Abbott. Isaac Asimov, trong lời nói đầu của mình cho ấn bản Signet Classics 1984, đã mô tả Flatland là "Lời giới thiệu tốt nhất mà người ta có thể tìm thấy về cách nhận thức các kích thước."

Ý tưởng về không gian khác đã được tích hợp vào nhiều câu chuyện khoa học viễn tưởng sớm, xuất hiện nổi bật, ví dụ, trong Miles J. Breuer 's các Phụ lục và Kính (1928) và Murray Leinster ' s The Fifth-Dimension Catapult (1931); và xuất hiện bất thường trong khoa học viễn tưởng vào những năm 1940. Những câu chuyện cổ điển liên quan đến các chiều không gian khác bao gồm Robert A. Heinlein 's —A And He Built a Crooked House (1941), trong đó một kiến ​​trúc sư ở California thiết kế một ngôi nhà dựa trên hình chiếu ba chiều của một tesseract; Alan E. Nourse 's Tiger by the Tail và The Universe between (cả hai năm 1951); và The Ifth of Oofth (1957) của Walter Tevis . Một tài liệu tham khảo khác là cuốn tiểu thuyết A Wrinkle In Time (1962) của Madeleine L'Engle , sử dụng chiều thứ năm như một cách để "thu nhỏ vũ trụ" hoặc "gấp" không gian để di chuyển qua nó một cách nhanh chóng. Chiều không gian thứ tư và thứ năm cũng là một thành phần quan trọng của cuốn sách Cậu bé đảo ngược chính mình của William Sleator .

Immanuel Kant , vào năm 1783, đã viết: "Rằng mọi nơi không gian (bản thân nó không phải là ranh giới của không gian khác) đều có ba chiều và không gian nói chung không thể có nhiều chiều hơn dựa trên mệnh đề rằng không quá ba đường có thể cắt nhau ở bên phải. các góc ở một điểm. Mệnh đề này hoàn toàn không thể được chỉ ra từ các khái niệm, mà dựa ngay vào trực giác và thực sự dựa trên trực giác thuần túy tiên nghiệm bởi vì nó là chắc chắn (có thể chứng minh) về mặt ngôn ngữ. " ^[19]

"Không gian có bốn chiều" là một truyện ngắn xuất bản năm 1846 của nhà triết học và tâm lý học thực nghiệm người Đức Gustav Fechner với bút danh "Tiến sĩ Mises". Nhân vật chính trong câu chuyện là một bóng đen nhận thức được và có thể giao tiếp với những bóng đen khác, nhưng lại bị mắc kẹt trên một bề mặt hai chiều. Theo Fechner, "người bóng tối" này sẽ quan niệm chiều không gian thứ ba là một trong những thời gian. ^[20] Câu chuyện mang một nét tương đồng mạnh mẽ với " Truyện ngụ ngôn về hang động " được trình bày trong cuốn Cộng hòa của Plato ( khoảng năm 380 trước Công nguyên).

Simon Newcomb đã viết một bài báo cho Bulletin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ vào năm 1898 với tựa đề "Triết học về khoảng trống". ^[21] Linda Dalrymple Henderson đã đặt ra thuật ngữ "triết học siêu không gian", được sử dụng để mô tả văn bản sử dụng các chiều cao hơn để khám phá các chủ đề siêu hình , trong luận án năm 1983 của cô về chiều thứ tư trong nghệ thuật đầu thế kỷ XX. ^[22] Ví dụ về "các triết gia siêu không gian" bao gồm Charles Howard Hinton , nhà văn đầu tiên, vào năm 1888, sử dụng từ "tesseract"; ^[23] và nhà bí truyền người Nga P. D. Ouspensky .

Chủ đề theo thứ nguyên

• Murty, Katta G. (2014). "1. Hệ phương trình tuyến tính đồng thời" (PDF) . Tính toán và thuật toán Đại số tuyến tính và Hình học n-Chiều . Nhà xuất bản Khoa học Thế giới. doi : 10.1142 / 8261 . ISBN 978-981-4366-62-5.
• Abbott, Edwin A. (1884). Flatland: Một Mối Tình Nhiều Chiều . Luân Đôn: Seely & Co.
  • -. Flatland: ... Dự án Gutenberg .
  • -; Stewart, Ian (2008). The Annotated Flatland: A Romance of Many Dimensions . Sách Cơ bản. ISBN 978-0-7867-2183-2.
• Banchoff, Thomas F. (1996). Ngoài thứ nguyên thứ ba: Hình học, Đồ họa máy tính và Kích thước cao hơn . Thư viện Khoa học Hoa Kỳ. ISBN 978-0-7167-6015-3.
• Pickover, Clifford A. (2001). Lướt qua Hyperspace: Tìm hiểu các trường đại học sau sáu bài học dễ dàng . Nhà xuất bản Đại học Oxford . ISBN 978-0-19-992381-6.
• Rucker, Rudy (2014) [1984]. Kích thước thứ tư: Hướng tới hình học của thực tế cao hơn . Tổng công ty chuyển phát nhanh. ISBN 978-0-486-77978-2. Bản xem trước của Google
• Kaku, Michio (1994). Hyperspace, một cuộc phiêu lưu khoa học xuyên không gian thứ 10 . Nhà xuất bản Đại học Oxford. ISBN 978-0-19-286189-4.
• Krauss, Lawrence M. (2005). Ẩn trong Gương . Báo chí Viking. ISBN 978-0-670-03395-9.

• Copeland, Ed (2009). "Kích thước bổ sung" . Sáu mươi biểu tượng . Brady Haran cho Đại học Nottingham .