Phân tích chiều

Nhiều tham số và phép đo trong khoa học vật lý và kỹ thuật được biểu thị dưới dạng một số cụ thể — một đại lượng số và một đơn vị chiều tương ứng. Thường thì một đại lượng được biểu thị bằng một số đại lượng khác; ví dụ, tốc độ là sự kết hợp của độ dài và thời gian, ví dụ: 60 km một giờ hoặc 1,4 km một giây. Quan hệ ghép với "per" được biểu thị bằng phép chia , ví dụ: 60 km / 1 h. Các quan hệ khác có thể liên quan đến phép nhân (thường được hiển thị với một dấu chấm ở giữa hoặc vị trí liền kề ), lũy thừa (như m ² cho mét vuông) hoặc kết hợp của chúng.

Tập hợp các đơn vị cơ sở cho một hệ thống đo lường là một tập hợp các đơn vị được chọn theo quy ước, không đơn vị nào trong số đó có thể được biểu thị bằng sự kết hợp của các đơn vị khác và trong đó tất cả các đơn vị còn lại của hệ có thể được biểu diễn. ^[5] Ví dụ, các đơn vị đo độ dài và thời gian thường được chọn làm đơn vị cơ sở. Tuy nhiên, các đơn vị thể tích có thể được tính thành các đơn vị đo chiều dài cơ bản (m ³ ), do đó chúng được coi là các đơn vị dẫn xuất hoặc đơn vị ghép.

Đôi khi tên của các đơn vị che khuất thực tế rằng chúng là các đơn vị dẫn xuất. Ví dụ, một newton (N) là một đơn vị của lực , có đơn vị khối lượng (kg) nhân với đơn vị gia tốc (m⋅s ⁻² ). Niutơn được định nghĩa là 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Phần trăm, đạo hàm và tích phân

Phần trăm là đại lượng không có thứ nguyên, vì chúng là tỉ số của hai đại lượng có cùng thứ nguyên. Nói cách khác, dấu% có thể được đọc là "phần trăm", vì 1% = 1/100 .

Việc lấy đạo hàm đối với một đại lượng sẽ thêm thứ nguyên của biến số mà người ta phân biệt đối với, ở mẫu số. Như vậy:

• vị trí ( x ) có thứ nguyên là L (chiều dài);
• đạo hàm của vị trí theo thời gian ( dx / dt , vận tốc ) có thứ nguyên T ⁻¹ L - độ dài từ vị trí, thời gian do gradien;
• đạo hàm cấp hai ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , gia tốc ) có thứ nguyên T ⁻² L.

Tương tự như vậy, lấy một tích phân thêm thứ nguyên của biến một là tích phân đối với, nhưng trong tử số.

• lực có thứ nguyên T ⁻² L M (khối lượng nhân với gia tốc);
• tích phân của lực đối với ( các ) quãng đường mà vật đã đi được (${\ displaystyle \ textstyle \ int F \ ds}$, Công việc ) có kích thước T ^-2 L ² M .

Trong kinh tế học, người ta phân biệt giữa cổ phiếu và dòng chảy : cổ phiếu có đơn vị là "đơn vị" (giả sử, vật dụng hoặc đô la), trong khi dòng chảy là phái sinh của cổ phiếu và có đơn vị là "đơn vị / thời gian" (giả sử, đô la / năm).

Trong một số ngữ cảnh, đại lượng thứ nguyên được biểu thị dưới dạng đại lượng không thứ nguyên hoặc tỷ lệ phần trăm bằng cách bỏ qua một số thứ nguyên. Ví dụ, tỷ lệ nợ trên GDP thường được biểu thị bằng tỷ lệ phần trăm: tổng dư nợ (thứ nguyên tiền tệ) chia cho GDP hàng năm (thứ nguyên tiền tệ) —nhưng người ta có thể lập luận rằng, khi so sánh cổ phiếu với dòng chảy, GDP hàng năm phải có thứ nguyên tiền tệ / thời gian (ví dụ: đô la / năm) và do đó Nợ trên GDP phải có đơn vị năm, điều này cho thấy Nợ trên GDP là số năm cần thiết để GDP không đổi trả nợ, nếu tất cả GDP được chi cho khoản nợ và khoản nợ không đổi.

Trong phân tích thứ nguyên, một tỷ lệ chuyển đổi một đơn vị đo lường này thành một đơn vị đo khác mà không làm thay đổi đại lượng được gọi là hệ số chuyển đổi . Ví dụ, kPa và bar đều là đơn vị của áp suất, và 100 kPa = 1 bar . Các quy tắc của đại số cho phép chia cả hai vế của một phương trình cho cùng một biểu thức, vì vậy điều này tương đương với 100 kPa / 1 bar = 1 . Vì bất kỳ đại lượng nào cũng có thể nhân với 1 mà không cần thay đổi nó, nên biểu thức " 100 kPa / 1 bar " có thể được sử dụng để chuyển đổi từ thanh sang kPa bằng cách nhân nó với đại lượng cần chuyển đổi, bao gồm cả đơn vị. Ví dụ: 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa vì 5 × 100/1 = 500 và bar / bar hủy bỏ, do đó 5 bar = 500 kPa .

Quy tắc cơ bản nhất của phân tích chiều là tính đồng nhất của các chiều. ^[6]

Chỉ các đại lượng có thể so sánh được (các đại lượng vật lý có cùng thứ nguyên) mới có thể được so sánh , cân bằng , cộng hoặc trừ .

Tuy nhiên, các kích thước tạo thành một nhóm abel trong phép nhân, do đó:

Người ta có thể lấy tỷ lệ của các đại lượng không thể cho phép (các đại lượng có kích thước khác nhau) và nhân hoặc chia chúng.

Ví dụ: không hợp lý nếu bạn hỏi 1 giờ nhiều hơn, bằng nhau hay ít hơn 1 km, vì chúng có các kích thước khác nhau, cũng như cộng 1 giờ thành 1 km. Tuy nhiên, sẽ hoàn toàn hợp lý nếu bạn đặt câu hỏi 1 dặm là hơn, bằng nhau hay nhỏ hơn 1 km là cùng một thứ nguyên của đại lượng vật lý mặc dù các đơn vị là khác nhau. Mặt khác, nếu một vật đi được 100 km trong 2 giờ, người ta có thể chia chúng và kết luận rằng tốc độ trung bình của vật là 50 km / h.

Quy tắc ngụ ý rằng trong một biểu thức có ý nghĩa vật lý, chỉ các đại lượng có cùng thứ nguyên mới có thể được cộng, trừ hoặc so sánh. Ví dụ, nếu m _người , m _chuột và L _người lần lượt biểu thị khối lượng của một người nào đó, khối lượng của một con chuột và chiều dài của người đó, thì biểu thức đồng nhất về kích thước m _người + m _chuột là có ý nghĩa, nhưng biểu thức không đồng nhất m _man + L _man là vô nghĩa. Tuy nhiên, m _man / L ² _man vẫn ổn. Do đó, phân tích chiều có thể được sử dụng như một kiểm tra tỉnh táo của các phương trình vật lý: hai vế của bất kỳ phương trình nào phải tương đương hoặc có cùng kích thước.

Điều này có nghĩa là hầu hết các hàm toán học, đặc biệt là các hàm siêu việt , phải có một đại lượng không thứ nguyên, một số thuần túy, làm đối số và kết quả là phải trả về một số không thứ nguyên. Điều này rất rõ ràng vì nhiều hàm siêu việt có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi lũy thừa vô hạn với hệ số không thứ nguyên.

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots}$

Tất cả các lũy thừa của x phải có cùng thứ nguyên để các số hạng có thể so sánh được. Nhưng nếu x không phải là không có thứ nguyên, thì các lũy thừa khác nhau của x sẽ có các thứ nguyên khác nhau, không thể giới thiệu được. Tuy nhiên, các hàm lũy thừa bao gồm các hàm gốc có thể có đối số là chiều và sẽ trả về kết quả có thứ nguyên chính là sức mạnh được áp dụng cho thứ nguyên đối số. Điều này là do hàm lũy thừa và hàm gốc, một cách lỏng lẻo, chỉ là một biểu thức của phép nhân các đại lượng.

Ngay cả khi hai đại lượng vật lý có kích thước giống hệt nhau, thì việc so sánh hoặc cộng chúng lại với nhau có thể là vô nghĩa. Ví dụ, mặc dù mômen và năng lượng có chung thứ nguyên T ⁻² L ² M , nhưng về cơ bản chúng là các đại lượng vật lý khác nhau.

Để so sánh, cộng hoặc trừ các đại lượng có cùng kích thước nhưng được biểu thị bằng các đơn vị khác nhau, quy trình chuẩn trước tiên là chuyển tất cả chúng sang cùng một đơn vị. Ví dụ, để so sánh 32 mét với 35 yard, hãy sử dụng 1 yard = 0,9144 m để chuyển 35 yard thành 32,004m.

Một nguyên tắc liên quan là bất kỳ quy luật vật lý nào mô tả chính xác thế giới thực phải độc lập với các đơn vị được sử dụng để đo các biến vật lý. ^[7] For example, Newton's laws of motion must hold true whether distance is measured in miles or kilometres. Nguyên tắc này làm nảy sinh dạng mà các hệ số chuyển đổi phải có giữa các đơn vị đo lường cùng một thứ nguyên: phép nhân với một hằng số đơn giản. Nó cũng đảm bảo tính tương đương; ví dụ: nếu hai tòa nhà có cùng chiều cao tính bằng feet, thì chúng phải có cùng chiều cao tính bằng mét.

Phương pháp nhãn nhân tố là ứng dụng tuần tự của các hệ số chuyển đổi được biểu thị dưới dạng phân số và được sắp xếp sao cho bất kỳ đơn vị chiều nào xuất hiện ở cả tử số và mẫu số của bất kỳ phân số nào đều có thể bị hủy bỏ cho đến khi chỉ thu được tập đơn vị chiều mong muốn. For example, 10 miles per hour can be converted to meters per second by using a sequence of conversion factors as shown below:

${\ displaystyle {\ frac {10 \ {\ huỷ {\ text {mile}}}} {1 \ {\ huỷ {\ text {giờ}}}}} \ times {\ frac {1609.344 {\ text {mét} }} {1 \ {\ huỷ {\ text {mile}}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ huỷ {\ text {giờ}}}} {3600 {\ text {second}}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}}.}$

Mỗi hệ số chuyển đổi được chọn dựa trên mối quan hệ giữa một trong các đơn vị ban đầu và một trong các đơn vị mong muốn (hoặc một số đơn vị trung gian), trước khi được sắp xếp lại để tạo ra một yếu tố loại bỏ đơn vị ban đầu. Ví dụ: vì "dặm" là tử số trong phân số ban đầu và${\ displaystyle 1 \ {\ text {mile}} = 1609.344 \ {\ text {mét}}}$, "dặm" sẽ cần phải là mẫu số trong hệ số chuyển đổi. Chia cả hai vế của phương trình cho 1 dặm sẽ thu được${\ displaystyle {\ frac {1 \ {\ text {mile}}} {1 \ {\ text {mile}}}} = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {dặm}}}}}$, khi được đơn giản hóa dẫn đến không có thứ nguyên ${\ displaystyle 1 = {\ frac {1609.344 \ {\ text {mét}}} {1 \ {\ text {mile}}}}}$. Nhân bất kỳ đại lượng nào (đại lượng vật lý hoặc không) với không thứ nguyên 1 không làm thay đổi đại lượng đó. Once this and the conversion factor for seconds per hour have been multiplied by the original fraction to cancel out the units mile and hour , 10 miles per hour converts to 4.4704 meters per second.

Như một ví dụ phức tạp hơn, nồng độ của các oxit nitơ (tức là, KHÔNG x {\ displaystyle \ color {Blue} {\ ce {NO}} _ {x}} ) trong khí thải từ lò đốt công nghiệp có thể được chuyển đổi thành tốc độ dòng khối lượng biểu thị bằng gam trên giờ (tức là g / h) của${\ displaystyle {\ ce {NO}} _ {x}}$ bằng cách sử dụng thông tin sau như được hiển thị bên dưới:

NO _x nồng độ

= 10 phần triệu theo thể tích = 10 ppmv = 10 tập / 10 ⁶ tập

NO _x khối lượng mol

= 46 kg / kmol = 46 g / mol

Tốc độ dòng khí thải

= 20 mét khối trên phút = 20 m ³ / phút

Khí thải ra khỏi lò ở nhiệt độ 0 ° C và áp suất tuyệt đối 101,325 kPa.

Thể tích mol của một chất khí ở nhiệt độ 0 ° C và 101,325 kPa là 22,414 m ³ / kmol .

${\ displaystyle {\ frac {1000 \ {\ ce {g \ NO}} _ {x}} {1 {\ huỷ {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}}} \ times {\ frac {46 \ {\ huỷ {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} {1 \ {\ huỷ {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}}} \ lần {\ frac {1 \ {\ huỷ {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} {22.414 \ {\ huỷ {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {KHÔNG }} _ {x}}}}} \ times {\ frac {10 \ {\ huỷ {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO}} _ {x}}}} {10 ^ {6} \ {\ hủy bỏ {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}}} \ times {\ frac {20 \ {\ hủy bỏ {{\ ce {m} } ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} {1 \ {\ huỷ {\ ce {phút}}}}} \ times {\ frac {60 \ {\ huỷ {\ ce {phút}} }} {1 \ {\ ce {giờ}}}} = 24,63 \ {\ frac {{\ ce {g \ NO}} _ {x}} {\ ce {giờ}}}}$

Sau khi loại bỏ bất kỳ đơn vị chiều nào xuất hiện ở cả tử số và mẫu số của các phân số trong phương trình trên, nồng độ NO _x 10 ppm _v chuyển thành tốc độ dòng chảy 24,63 gam mỗi giờ.

Kiểm tra các phương trình liên quan đến thứ nguyên

Phương pháp nhãn nhân tố cũng có thể được sử dụng trên bất kỳ phương trình toán học nào để kiểm tra xem các đơn vị chiều ở bên trái của phương trình có giống với đơn vị chiều ở bên phải của phương trình hay không. Việc có các đơn vị giống nhau ở cả hai vế của một phương trình không đảm bảo rằng phương trình đó đúng, nhưng có các đơn vị khác nhau ở hai vế (khi được biểu thị dưới dạng các đơn vị cơ sở) của một phương trình có nghĩa là phương trình đó sai.

Ví dụ, kiểm tra phương trình Định luật khí phổ quát của PV = nRT , khi:

• áp suất P tính bằng pascal (Pa)
• thể tích V tính bằng mét khối (m ³ )
• số chất n tính bằng mol (mol)
• các khí phổ biến pháp luật liên tục R là 8,3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
• nhiệt độ T tính bằng kelvins (K)

${\ displaystyle {\ ce {Pa.m ^ 3}} = {\ frac {\ huỷ {{\ ce {mol}}}} {1}} \ times {\ frac {{\ ce {Pa.m ^ 3 }}} {{\ huỷ {{\ ce {mol}}}} \ {\ huỷ {{\ ce {K}}}}}} \ times {\ frac {\ huỷ {{\ ce {K}}} } {1}}}$

Như có thể thấy, khi đơn vị chiều xuất hiện ở tử số và mẫu số ở vế phải của phương trình bị loại bỏ, cả hai vế của phương trình đều có cùng đơn vị chiều. Phân tích chiều có thể được sử dụng như một công cụ để xây dựng các phương trình liên quan đến các đặc tính hóa lý không liên quan. Các phương trình có thể tiết lộ các thuộc tính chưa được biết đến hoặc bị bỏ qua cho đến nay của vật chất, dưới dạng các kích thước còn sót lại - bộ điều chỉnh chiều - sau đó có thể được gán ý nghĩa vật lý. Điều quan trọng là chỉ ra rằng 'thao tác toán học' như vậy không phải là không có tiền lệ trước đó, cũng không có ý nghĩa khoa học đáng kể. Thật vậy, hằng số Planck , một hằng số cơ bản của vũ trụ, được 'phát hiện' như một phép biểu diễn hoặc trừu tượng toán học thuần túy được xây dựng dựa trên Phương trình Rayleigh-Jeans để ngăn chặn thảm họa tia cực tím. Nó đã được chỉ định và tăng lên với ý nghĩa vật lý lượng tử của nó song song hoặc sau điều chỉnh chiều toán học - không sớm hơn.

Hạn chế

Phương pháp nhãn nhân tố chỉ có thể chuyển đổi các đại lượng đơn vị mà các đơn vị nằm trong mối quan hệ tuyến tính cắt nhau bằng 0. ( Thang tỷ lệ trong kiểu mẫu của Stevens) Hầu hết các đơn vị đều phù hợp với mô hình này. Một ví dụ mà nó không thể được sử dụng là chuyển đổi giữa độ C và kelvins (hoặc độ F ). Giữa độ C và kelvins, có một sự khác biệt không đổi chứ không phải là một tỷ lệ không đổi, trong khi giữa độ C và độ F không có sự khác biệt và tỷ lệ không đổi. Tuy nhiên, có một phép biến đổi affine (${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$, chứ không phải là một phép biến đổi tuyến tính ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$) giữa họ.

Ví dụ, điểm đóng băng của nước là 0 ° C và 32 ° F (0 ° C), và sự thay đổi 5 ° C cũng giống như sự thay đổi 9 ° F (−13 ° C). Do đó, để chuyển đổi từ đơn vị Fahrenheit sang đơn vị C, người ta lấy 32 ° F trừ đi (độ lệch so với điểm tham chiếu), chia cho 9 ° F (−13 ° C) và nhân với 5 ° C (chia theo tỷ lệ đơn vị), và thêm 0 ° C (độ lệch so với điểm tham chiếu). Đảo ngược điều này sẽ thu được công thức tính một lượng theo đơn vị C từ đơn vị Fahrenheit; người ta có thể bắt đầu với sự tương đương giữa 100 ° C và 212 ° F (100 ° C), mặc dù điều này sẽ mang lại cùng một công thức ở cuối.

Do đó, để chuyển đổi giá trị đại lượng số của nhiệt độ T [F] tính bằng độ F thành giá trị đại lượng số T [C] tính bằng độ C, công thức này có thể được sử dụng:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

Để chuyển đổi T [C] tính bằng độ C thành T [F] tính bằng độ F, công thức này có thể được sử dụng:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Phân tích chiều thường được sử dụng nhiều nhất trong vật lý và hóa học - và trong toán học - nhưng cũng tìm thấy một số ứng dụng bên ngoài các lĩnh vực đó.

toán học

Một ứng dụng đơn giản của phân tích chiều đến toán học là trong máy tính dưới dạng các khối lượng của một n -ball (bóng vững chắc trong n chiều), hoặc diện tích bề mặt của nó, là n -sphere : trở thành một n hình ba chiều, các quy mô âm lượng như${\ displaystyle x ^ {n},}$ trong khi diện tích bề mặt, được ${\ displaystyle (n-1)}$-dimensional, tỷ lệ như ${\ displaystyle x ^ {n-1}.}$Do đó, thể tích của quả cầu n tính theo bán kính là${\ displaystyle C_ {n} r ^ {n},}$ cho một số hằng số ${\ displaystyle C_ {n}.}$ Việc xác định hằng số đòi hỏi nhiều sự tham gia của toán học hơn, nhưng dạng này có thể được suy luận và kiểm tra chỉ bằng cách phân tích các chiều.

Tài chính, kinh tế và kế toán

Trong tài chính, kinh tế và kế toán, phân tích chiều thường được nhắc đến nhiều nhất về sự phân biệt giữa cổ phiếu và dòng chảy . Nói một cách tổng quát hơn, phân tích chiều được sử dụng để giải thích các tỷ số tài chính , tỷ lệ kinh tế và tỷ lệ kế toán khác nhau.

• Ví dụ, tỷ lệ P / E có thứ nguyên là thời gian (đơn vị năm), và có thể được hiểu là "số năm thu nhập để đạt được mức giá đã trả".
• Trong kinh tế học, tỷ lệ nợ trên GDP cũng có đơn vị là năm (nợ có đơn vị tiền tệ, GDP có đơn vị tiền tệ / năm).
• Trong phân tích tài chính, một số loại thời hạn trái phiếu cũng có thứ nguyên thời gian (đơn vị là năm) và có thể được hiểu là "năm để cân bằng giữa việc trả lãi và trả nợ danh nghĩa".
• Vận tốc của tiền có đơn vị là 1 / năm (GDP / cung tiền có đơn vị tiền tệ / năm so với tiền tệ): tần suất một đơn vị tiền tệ luân chuyển trong một năm.
• Lãi suất thường được biểu thị bằng phần trăm, nhưng đúng hơn là phần trăm hàng năm, có kích thước là 1 / năm.

Cơ học chất lỏng

Trong cơ học chất lỏng , phân tích chiều được thực hiện để thu được các số hạng hoặc nhóm pi không thứ nguyên . Theo các nguyên tắc của phân tích chiều, bất kỳ nguyên mẫu nào cũng có thể được mô tả bằng một loạt các thuật ngữ hoặc nhóm mô tả hành vi của hệ thống. Sử dụng các thuật ngữ hoặc nhóm pi phù hợp, có thể phát triển một tập hợp các số hạng pi tương tự cho một mô hình có các mối quan hệ cùng chiều. ^[8] Nói cách khác, thuật ngữ pi cung cấp một lối tắt để phát triển một mô hình đại diện cho một nguyên mẫu nhất định. Các nhóm không thứ nguyên phổ biến trong cơ học chất lỏng bao gồm:

• Số Reynolds (Re), thường quan trọng trong tất cả các loại vấn đề về chất lỏng:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho \, ud} {\ mu}}}$.

• Số mờ (Fr), dòng chảy mô hình hóa với bề mặt tự do:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g \, L}}}.}$

• Số Euler (Eu), được sử dụng trong các bài toán về áp suất được quan tâm:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {\ Delta p} {\ rho u ^ {2}}}.}$

• Số Mach (Ma), quan trọng trong dòng chảy tốc độ cao, nơi vận tốc tiếp cận hoặc vượt quá tốc độ âm thanh cục bộ:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {u} {c}},}$trong đó: c là tốc độ địa phương của âm thanh.

Nguồn gốc của phân tích chiều đã bị các nhà sử học tranh cãi. ^{[9] [10]}

Ứng dụng đầu tiên của phân tích chiều đã được ghi nhận là một bài báo của François Daviet tại Học viện Khoa học Turin . Daviet có thầy Lagrange là thầy. Các tác phẩm cơ bản của ông được chứa trong acta của Học viện ngày 1799. ^[10]

Điều này dẫn đến kết luận rằng các định luật có ý nghĩa phải là các phương trình thuần nhất theo các đơn vị đo lường khác nhau của chúng, một kết quả cuối cùng được chính thức hóa sau này trong định lý Buckingham π . Simeon Poisson cũng xử lý vấn đề tương tự về luật hình bình hành của Daviet, trong chuyên luận của ông năm 1811 và 1833 (tập I, trang 39). ^[11] Trong ấn bản thứ hai năm 1833, Poisson giới thiệu rõ ràng về thứ nguyên thay vì đồng nhất Daviet .

Năm 1822, nhà khoa học quan trọng của Napoléon Joseph Fourier đã có những đóng góp quan trọng đầu tiên được ghi nhận ^[12] dựa trên ý tưởng rằng các định luật vật lý như F = ma nên độc lập với các đơn vị được sử dụng để đo các biến vật lý.

James Clerk Maxwell đã đóng một vai trò quan trọng trong việc thiết lập cách sử dụng hiện đại của phép phân tích chiều bằng cách phân biệt khối lượng, độ dài và thời gian là các đơn vị cơ bản, đồng thời đề cập đến các đơn vị khác như được suy ra. ^[13] Mặc dù Maxwell định nghĩa độ dài, thời gian và khối lượng là "ba đơn vị cơ bản", ông cũng lưu ý rằng khối lượng hấp dẫn có thể được suy ra từ độ dài và thời gian bằng cách giả định một dạng định luật vạn vật hấp dẫn của Newton trong đó hằng số hấp dẫn G là được coi là thống nhất, từ đó xác định M = T ⁻² L ³ . ^[14] Bằng cách giả sử một dạng định luật Coulomb trong đó hằng số Coulomb k _e được coi là thống nhất, Maxwell sau đó xác định rằng kích thước của một đơn vị điện tích tĩnh điện là Q = T ⁻¹ L ^3/2 M ^1/2 , ^{[15 ]} mà sau khi thay thế phương trình M = T ⁻² L ³ của anh ta cho khối lượng, kết quả là điện tích có cùng kích thước với khối lượng, viz. Q = T ⁻² L ³ .

Phân tích chiều cũng được sử dụng để tìm ra mối quan hệ giữa các đại lượng vật lý có liên quan đến một hiện tượng cụ thể mà người ta muốn hiểu và đặc trưng. Nó được sử dụng lần đầu tiên ( Pesic 2005 ) theo cách này vào năm 1872 bởi Lord Rayleigh , người đang cố gắng hiểu tại sao bầu trời lại có màu xanh. Rayleigh lần đầu tiên xuất bản kỹ thuật này trong cuốn sách The Theory of Sound năm 1877 của ông . ^[16]

Ý nghĩa ban đầu của từ thứ nguyên , trong Theorie de la Chaleur của Fourier , là giá trị số của số mũ của các đơn vị cơ sở. Ví dụ, gia tốc được coi là có thứ nguyên 1 đối với đơn vị chiều dài và thứ nguyên −2 đối với đơn vị thời gian. ^[17] Điều này đã được thay đổi một chút bởi Maxwell, người cho biết kích thước của gia tốc là T ⁻² L, thay vì chỉ là số mũ. ^[18]

Các Buckingham pi lý mô tả cách mỗi phương trình vật lý có ý nghĩa liên quan đến n biến có thể được viết lại như tương đương một phương trình của n - m thông số không thứ nguyên, nơi m là thứ hạng của ma trận chiều. Hơn nữa, và quan trọng nhất, nó cung cấp một phương pháp để tính toán các tham số không thứ nguyên này từ các biến đã cho.

Một phương trình chiều có thể làm giảm hoặc loại bỏ các kích thước thông qua quá trình không đo lường , bắt đầu bằng phân tích chiều và liên quan đến việc chia tỷ lệ các đại lượng bằng các đơn vị đặc trưng của một hệ thống hoặc các đơn vị tự nhiên của tự nhiên. Điều này cung cấp cái nhìn sâu sắc về các thuộc tính cơ bản của hệ thống, như được minh họa trong các ví dụ dưới đây.

Định nghĩa

Thứ nguyên của một đại lượng vật lý có thể được biểu thị dưới dạng tích số của các kích thước vật lý cơ bản như chiều dài , khối lượng và thời gian, mỗi thứ nguyên được nâng lên thành lũy thừa hợp lý . Thứ nguyên của một đại lượng vật lý là cơ bản hơn một đơn vị tỷ lệ nào đó dùng để biểu thị số lượng của đại lượng vật lý đó. Ví dụ, khối lượng là một thứ nguyên, trong khi kilôgam là một đơn vị tỷ lệ cụ thể được chọn để biểu thị một lượng khối lượng. Ngoại trừ các đơn vị tự nhiên , việc lựa chọn tỷ lệ là văn hóa và tùy tiện.

Có thể có nhiều lựa chọn về kích thước vật lý cơ bản. Các tiêu chuẩn SI khuyến cáo việc sử dụng các ký hiệu sau kích thước và tương ứng: thời gian (T), chiều dài (L), khối lượng (M), dòng điện (I), nhiệt độ tuyệt đối (Θ), lượng chất (N) và cường độ sáng (J). Theo quy ước, các ký hiệu thường được viết bằng kiểu chữ la mã sans serif . ^[19] Về mặt toán học, thứ nguyên của đại lượng Q được cho bởi

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {Q} = {\ mathsf {T}} ^ {a} {\ mathsf {L}} ^ {b} {\ mathsf {M}} ^ {c} {\ mathsf {I}} ^ {d} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {e} {\ mathsf {N}} ^ {f} {\ mathsf {J}} ^ {g}}$

trong đó a , b , c , d , e , f , g là số mũ thứ nguyên. Các đại lượng vật lý khác có thể được định nghĩa là đại lượng cơ bản, miễn là chúng tạo thành cơ sở độc lập tuyến tính . Ví dụ, người ta có thể thay thế chiều (I) của dòng điện cơ sở SI bằng chiều (Q) của điện tích , vì Q = TI.

Ví dụ, thứ nguyên của tốc độ đại lượng vật lý v là

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} = {\ mathsf {T}} ^ {- 1} {\ mathsf {L}}}$

và kích thước của các đại lượng vật lý lực F là

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ F = {\ text {mass}} \ times {\ text {speed}} = {\ text {mass}} \ times {\ frac {\ text {length}} { {\ text {time}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ mathsf {L}} {\ mathsf {M}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} = {\ mathsf {T}} ^ {- 2} {\ mathsf {L}} {\ mathsf {M}}}$

Đơn vị được chọn để biểu thị một đại lượng vật lý và thứ nguyên của nó có quan hệ với nhau nhưng không phải là các khái niệm giống hệt nhau. Các đơn vị của một đại lượng vật lý được xác định theo quy ước và liên quan đến một số tiêu chuẩn; eg, length may have units of metres, feet, inches, miles or micrometres; nhưng độ dài bất kỳ luôn có số thứ nguyên là L, bất kể đơn vị độ dài nào được chọn để biểu thị nó. Hai đơn vị khác nhau của cùng một đại lượng vật lý có các hệ số chuyển đổi liên hệ giữa chúng. Ví dụ, 1 in = 2,54 cm; trong trường hợp này (2,54 cm / in) là hệ số chuyển đổi, bản thân nó không có thứ nguyên. Do đó, nhân với hệ số chuyển đổi đó không làm thay đổi kích thước của một đại lượng vật lý.

Cũng có những nhà vật lý nghi ngờ về sự tồn tại của các chiều cơ bản không tương thích của đại lượng vật lý, ^[20] mặc dù điều này không làm mất đi tính hữu dụng của phép phân tích chiều.

Tính chất toán học

Các kích thước có thể được hình thành từ một tập hợp các kích thước vật lý cơ bản nhất định, chẳng hạn như T, L và M, tạo thành một nhóm abel : Danh tính được viết là 1; ^{[ cần dẫn nguồn ]} L ⁰ = 1 và nghịch đảo của L là 1 / L hoặc L ⁻¹ . L được nâng lên bất kỳ lũy thừa hợp lý nào p là một thành viên của nhóm, có nghịch đảo của L ^{- p} hoặc 1 / L ^p . Hoạt động của nhóm là phép nhân, có các quy tắc thông thường để xử lý số mũ ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

Nhóm này có thể được mô tả như một không gian vectơ trên các số hữu tỉ, với ví dụ ký hiệu chiều T ⁱ L ^j M ^k tương ứng với vectơ ( i , j , k ) . Khi các đại lượng đo vật lý (có thể có cùng kích thước hoặc không có kích thước) được nhân hoặc chia cho nhau, thì các đơn vị chiều của chúng cũng được nhân hoặc chia tương tự; điều này tương ứng với phép cộng hoặc phép trừ trong không gian vectơ. Khi các đại lượng đo được được nâng lên thành lũy thừa hợp lý, điều tương tự cũng được thực hiện đối với các ký hiệu chiều gắn liền với các đại lượng đó; điều này tương ứng với phép nhân vô hướng trong không gian vectơ.

Cơ sở cho một không gian vectơ của các ký hiệu chiều như vậy được gọi là tập hợp các đại lượng cơ sở , và tất cả các vectơ khác được gọi là đơn vị dẫn xuất. Như trong bất kỳ không gian vectơ nào, người ta có thể chọn các cơ sở khác nhau , tạo ra các hệ đơn vị khác nhau (ví dụ: chọn đơn vị điện tích có nguồn gốc từ đơn vị cho dòng điện hay ngược lại).

Nhận dạng nhóm, thứ nguyên của các đại lượng không thứ nguyên, tương ứng với điểm gốc trong không gian vectơ này.

Tập hợp các đơn vị của các đại lượng vật lý liên quan đến một bài toán tương ứng với một tập các vectơ (hoặc một ma trận). Giá trị rỗng mô tả một số (ví dụ: m ) các cách mà các vectơ này có thể được kết hợp để tạo ra một vectơ không. Chúng tương ứng với việc tạo ra (từ các phép đo) một số đại lượng không thứ nguyên, {π ₁ , ..., π _m }. (Trên thực tế, những cách này hoàn toàn mở rộng không gian con rỗng của một không gian khác khác, của lũy thừa của các phép đo.) Mọi cách có thể nhân (và lũy thừa ) các đại lượng đo được với nhau để tạo ra một thứ có cùng đơn vị với một số đại lượng dẫn xuất X có thể được biểu diễn ở dạng chung

${\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ pi _ {i}) ^ {k_ {i}} \,}$

Do đó, mọi phương trình tương xứng có thể có cho vật lý của hệ thống đều có thể được viết lại dưới dạng

${\ displaystyle f (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ..., \ pi _ {m}) = 0 \,}$

Biết được hạn chế này có thể là một công cụ mạnh mẽ để có được cái nhìn sâu sắc mới về hệ thống.

Cơ học

Thứ nguyên của các đại lượng vật lý quan tâm trong cơ học có thể được biểu thị dưới dạng các kích thước cơ bản T, L và M - những kích thước này tạo thành một không gian vectơ 3 chiều. Đây không phải là sự lựa chọn hợp lệ duy nhất về kích thước cơ sở, nhưng nó là sự lựa chọn phổ biến nhất. Ví dụ, người ta có thể chọn lực, chiều dài và khối lượng làm kích thước cơ bản (như một số đã làm), với các kích thước liên quan F, L, M; điều này tương ứng với một cơ sở khác và người ta có thể chuyển đổi giữa các biểu diễn này bằng cách thay đổi cơ sở . Do đó, việc lựa chọn tập hợp kích thước cơ sở là một quy ước, với lợi ích là tăng tính tiện ích và quen thuộc. Việc lựa chọn các kích thước cơ sở không hoàn toàn tùy ý, bởi vì chúng phải tạo thành cơ sở : chúng phải trải dài trong không gian và độc lập tuyến tính .

Ví dụ, F, L, M tạo thành một tập hợp các kích thước cơ bản vì chúng tạo thành một cơ sở tương đương với T, L, M: kích thước trước đây có thể được biểu thị bằng [F = LM / T ² ], L, M, trong khi sau này có thể được biểu thị bằng [T = (LM / F) ^1/2 ], L, M.

Mặt khác, chiều dài, vận tốc và thời gian (T, L, V) không tạo thành một tập hợp các kích thước cơ bản cho cơ học, vì hai lý do:

• Không có cách nào để có được khối lượng - hoặc bất cứ thứ gì có được từ nó, chẳng hạn như lực - mà không đưa vào một chiều cơ sở khác (do đó, chúng không kéo dài trong không gian ).
• Vận tốc, có thể thể hiện được về độ dài và thời gian (V = L / T), là dư thừa (tập hợp không độc lập tuyến tính ).

Các lĩnh vực vật lý và hóa học khác

Tùy thuộc vào lĩnh vực vật lý, có thể có lợi khi chọn một hoặc một bộ ký hiệu chiều mở rộng khác. Ví dụ, trong điện từ học, có thể hữu ích khi sử dụng các kích thước của T, L, M và Q, trong đó Q đại diện cho chiều của điện tích . Trong nhiệt động lực học , tập hợp các kích thước cơ bản thường được mở rộng để bao gồm một thứ nguyên cho nhiệt độ, Θ. Trong hóa học, lượng chất (số lượng phân tử chia cho hằng số Avogadro , ≈6,02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) cũng được xác định là một thứ nguyên cơ sở, N. Trong tương tác của plasma tương đối tính với các xung laser mạnh, một tham số tương tự tương đối tính không thứ nguyên , được kết nối với các thuộc tính đối xứng của phương trình Vlasov không va chạm , được xây dựng từ mật độ plasma-, electron- và tới hạn cùng với thế vectơ điện từ. Việc lựa chọn kích thước hoặc thậm chí số lượng kích thước được sử dụng trong các lĩnh vực vật lý khác nhau ở một mức độ nào đó là tùy ý, nhưng tính nhất quán trong sử dụng và dễ liên lạc là những đặc điểm chung và cần thiết.

Đa thức và hàm siêu việt

Đối số vô hướng cho các hàm siêu việt như hàm số mũ , lượng giác và logarit hoặc đối với đa thức không thuần nhất , phải là đại lượng không có thứ nguyên . (Lưu ý: yêu cầu này hơi được nới lỏng trong phân tích định hướng của Siano được mô tả dưới đây, trong đó bình phương của các đại lượng có kích thước nhất định là không có thứ nguyên.)

Trong khi hầu hết các nhận dạng toán học về các số không có thứ nguyên chuyển dịch một cách dễ dàng sang các đại lượng có chiều, thì phải cẩn thận với logarit của tỷ lệ: log nhận dạng (a / b) = log a - log b, trong đó logarit được lấy trong bất kỳ cơ số nào, được giữ đối với các số không có thứ nguyên a và b, nhưng nó không giữ nếu a và b có chiều, vì trong trường hợp này, phía bên tay trái được xác định rõ nhưng phía bên tay phải thì không.

Tương tự, trong khi người ta có thể đánh giá đơn thức ( x ⁿ ) của đại lượng có chiều, người ta không thể đánh giá đa thức bậc hỗn hợp với hệ số không thứ nguyên trên đại lượng chiều: đối với x ² , biểu thức (3 m) ²  = 9 m ² có ý nghĩa (như một diện tích ), trong khi với x ²  +  x , biểu thức (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m không có nghĩa.

Tuy nhiên, đa thức bậc hỗn hợp có thể có ý nghĩa nếu các hệ số là các đại lượng vật lý được chọn phù hợp không phải là không có thứ nguyên. Ví dụ,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9,8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2}}} \ right) \ cdot t ^ {2} + \ left (500 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}} \ right) \ cdot t.}$

Đây là độ cao mà một vật tăng lên trong thời gian  t nếu gia tốc trọng trường là 9,8 mét một giây và tốc độ đi lên ban đầu là 500 mét một giây. Nó không phải là cần thiết cho t được trong giây . Ví dụ, giả sử t  = 0,01 phút. Sau đó, thuật ngữ đầu tiên sẽ là

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9,8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2} }} \ right) \ cdot (0,01 {\ text {phút}}) ^ {2} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9,8 \ cdot \ left (0,01 ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ text {minutes}} {\ text {second}}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ text {meter}} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9,8 \ cdot \ left (0,01 ^ {2} \ right) \ cdot 60 ^ {2} \ cdot {\ text {meter}}. \ end { thẳng hàng}}}$

Hợp nhất các đơn vị

Giá trị của đại lượng vật lý có chiều Z được viết dưới dạng tích của một đơn vị [ Z ] trong thứ nguyên và một hệ số không thứ nguyên, n . ^[21]

${\ displaystyle Z = n \ times [Z] = n [Z]}$

Khi các đại lượng có kích thước tương tự được thêm vào hoặc trừ đi hoặc so sánh, thuận tiện để biểu thị chúng bằng các đơn vị nhất quán để các giá trị số của các đại lượng này có thể được cộng hoặc trừ trực tiếp. Tuy nhiên, về mặt khái niệm, không có vấn đề gì khi thêm các đại lượng có cùng thứ nguyên được biểu thị bằng các đơn vị khác nhau. Ví dụ: 1 mét được thêm vào 1 foot là chiều dài, nhưng người ta không thể tính chiều dài đó bằng cách chỉ cần thêm 1 và 1. Hệ số chuyển đổi , là tỷ lệ của các đại lượng có kích thước tương tự và bằng với sự thống nhất không thứ nguyên, là cần thiết:

${\ displaystyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0,3048 \ {\ text {m}} \}$ giống hệt với ${\ displaystyle 1 = {\ frac {0.3048 \ {\ text {m}}} {1 \ {\ text {ft}}}}. \}$

Nhân tố ${\ displaystyle 0.3048 \ {\ frac {\ text {m}} {\ mbox {ft}}}}$giống hệt với không thứ nguyên 1, vì vậy việc nhân với hệ số chuyển đổi này không thay đổi gì. Sau đó, khi cộng hai đại lượng có thứ nguyên giống nhau, nhưng được biểu thị bằng các đơn vị khác nhau, hệ số chuyển đổi thích hợp, về cơ bản là không thứ nguyên 1, được sử dụng để chuyển đổi các đại lượng thành các đơn vị giống hệt nhau để các giá trị số của chúng có thể được cộng hoặc trừ.

Chỉ bằng cách này, nó mới có ý nghĩa khi nói về việc thêm các số lượng có cùng kích thước của các đơn vị khác nhau.

Vị trí so với dịch chuyển

Một số thảo luận về phân tích chiều mô tả ngầm tất cả các đại lượng dưới dạng vectơ toán học. (Trong toán học, vô hướng được coi là một trường hợp đặc biệt của vectơ; ^{[ cần dẫn nguồn ]} vectơ có thể được thêm vào hoặc trừ đi từ các vectơ khác và, ngoài ra, nhân hoặc chia cho các đại lượng vô hướng. Nếu một vectơ được sử dụng để xác định một vị trí, điều này giả định một điểm tham chiếu ngầm: một nguồn gốc . Mặc dù điều này hữu ích và thường hoàn toàn phù hợp, cho phép mắc phải nhiều lỗi quan trọng, nhưng nó có thể không mô hình hóa các khía cạnh vật lý nhất định. Một cách tiếp cận nghiêm ngặt hơn yêu cầu phân biệt giữa vị trí và độ dịch chuyển (hoặc thời điểm trong thời gian so với khoảng thời gian, hoặc nhiệt độ tuyệt đối với sự thay đổi nhiệt độ).

Xem xét các điểm trên một đường thẳng, mỗi điểm có một vị trí đối với một điểm gốc nhất định và khoảng cách giữa chúng. Vị trí và độ dời đều có đơn vị đo độ dài, nhưng ý nghĩa của chúng không thể hoán đổi cho nhau:

• thêm hai chuyển vị sẽ tạo ra một chuyển vị mới (đi bộ mười bước sau đó hai mươi bước giúp bạn tiến về phía trước ba mươi bước),
• thêm một dịch chuyển vào một vị trí sẽ mang lại một vị trí mới (đi bộ một dãy phố từ ngã tư sẽ đưa bạn đến giao lộ tiếp theo),
• trừ đi hai vị trí sẽ tạo ra một dịch chuyển,
• nhưng một người không thể thêm hai vị trí.

Điều này minh họa sự khác biệt tinh tế giữa đại lượng affine (những đại lượng được mô hình hóa bởi không gian affine , chẳng hạn như vị trí) và đại lượng vectơ (những đại lượng được mô hình hóa bởi không gian vectơ , chẳng hạn như độ dời).

• Các đại lượng vectơ có thể được thêm vào nhau, tạo ra một đại lượng vectơ mới và một đại lượng vectơ có thể được thêm vào một đại lượng affine thích hợp (không gian vectơ hoạt động trên không gian affine), tạo ra một đại lượng afin mới.
• Các đại lượng affine không thể được thêm vào, nhưng có thể bị trừ đi, tạo ra các đại lượng tương đối là vectơ, và những khác biệt tương đối này sau đó có thể được cộng với nhau hoặc thành đại lượng affine.

Khi đó, các vị trí có thứ nguyên là độ dài afin , trong khi các phép dời hình có thứ nguyên là độ dài vectơ . Để gán một số cho một đơn vị affine , người ta không chỉ phải chọn một đơn vị đo mà còn phải chọn một điểm tham chiếu , trong khi để gán một số cho một đơn vị vectơ chỉ cần một đơn vị đo.

Do đó, một số đại lượng vật lý được mô hình hóa tốt hơn bằng đại lượng véc tơ trong khi những đại lượng khác có xu hướng yêu cầu biểu diễn affine và sự khác biệt được phản ánh trong phân tích chiều của chúng.

Sự phân biệt này đặc biệt quan trọng trong trường hợp nhiệt độ, mà giá trị số của độ không tuyệt đối không phải là gốc 0 trong một số thang đo. Đối với độ không tuyệt đối,

−273,15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459,67 ° F,

trong đó ký hiệu ≘ có nghĩa tương ứng với , vì mặc dù các giá trị này trên thang nhiệt độ tương ứng tương ứng, chúng biểu thị các đại lượng riêng biệt theo cùng một cách mà khoảng cách từ các điểm bắt đầu khác nhau đến cùng một điểm cuối là các đại lượng riêng biệt và nói chung không thể được cân bằng.

Đối với sự khác biệt về nhiệt độ,

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F (−17 ° C) = 1 ° R.

(Ở đây ° R đề cập đến thang đo Rankine , không phải thang đo Réaumur ). Chuyển đổi đơn vị cho chênh lệch nhiệt độ chỉ đơn giản là một vấn đề nhân với, ví dụ, 1 ° F / 1 K (mặc dù tỷ lệ không phải là một giá trị cố định). Nhưng vì một số thang đo này có nguồn gốc không tương ứng với độ không tuyệt đối, việc chuyển đổi từ thang nhiệt độ này sang thang nhiệt độ khác đòi hỏi phải tính đến điều đó. Kết quả là, phân tích kích thước đơn giản có thể dẫn đến sai số nếu mơ hồ rằng 1 K có nghĩa là nhiệt độ tuyệt đối bằng −272,15 ° C, hay chênh lệch nhiệt độ bằng 1 ° C.

Định hướng và hệ quy chiếu

Tương tự như vấn đề của một điểm quy chiếu là vấn đề định hướng: một phép dời hình trong 2 hoặc 3 chiều không chỉ là độ dài, mà là độ dài cùng với một hướng . (Vấn đề này không nảy sinh trong 1 chiều, hay nói đúng hơn là tương đương với sự phân biệt giữa dương và âm.) Vì vậy, để so sánh hoặc kết hợp các đại lượng hai chiều trong một không gian đa chiều, người ta cũng cần một định hướng: chúng cần được so sánh đến một hệ quy chiếu .

Điều này dẫn đến các phần mở rộng được thảo luận bên dưới, cụ thể là các kích thước được định hướng của Huntley và phân tích định hướng của Siano.

Một ví dụ đơn giản: chu kỳ của một vật dao động điều hòa

Chu kỳ dao động T của một vật khối lượng m gắn vào một lò xo lý tưởng thẳng có hằng số k được treo trong trọng trường có cường độ g là bao nhiêu? Khoảng thời gian đó là nghiệm T của một phương trình không thứ nguyên nào đó trong các biến T , m , k và g . Bốn đại lượng có thứ nguyên sau: T [T]; m [M]; k [M / T ² ]; và g [L / T ² ]. Từ những điều này, chúng ta chỉ có thể hình thành một sản phẩm không thứ nguyên của lũy thừa các biến đã chọn${\ displaystyle G_ {1}}$ = ${\ displaystyle T ^ {2} k / m}$ [T ² · M / T ² / M = 1] , và đặt${\ displaystyle G_ {1} = C}$đối với một số hằng số không thứ nguyên C đưa ra phương trình không thứ nguyên cần tìm. Tích không thứ nguyên của lũy thừa của các biến số đôi khi được gọi là một nhóm các biến số không có thứ nguyên; ở đây thuật ngữ "nhóm" có nghĩa là "tập hợp" hơn là nhóm toán học . Chúng cũng thường được gọi là số không thứ nguyên .

Lưu ý rằng biến g không xảy ra trong nhóm. Dễ dàng thấy rằng không thể tạo thành tích không thứ nguyên của lũy thừa kết hợp g với k , m và T , bởi vì g là đại lượng duy nhất liên quan đến thứ nguyên L. Điều này ngụ ý rằng trong bài toán này, g là không liên quan. Phân tích chiều đôi khi có thể mang lại những tuyên bố mạnh mẽ về sự không liên quan của một số đại lượng trong một vấn đề hoặc sự cần thiết của các tham số bổ sung. Nếu chúng ta đã chọn đủ các biến để mô tả đúng vấn đề, thì từ lập luận này, chúng ta có thể kết luận rằng chu kỳ của khối lượng trên lò xo không phụ thuộc vào g : nó là như nhau trên trái đất hay mặt trăng. Phương trình chứng minh sự tồn tại của một tích lũy thừa cho bài toán của chúng ta có thể được viết theo một cách hoàn toàn tương đương:${\ displaystyle T = \ kappa {\ sqrt {\ tfrac {m} {k}}}}$, đối với một hằng số không thứ nguyên κ (bằng${\ displaystyle {\ sqrt {C}}}$ từ phương trình không thứ nguyên ban đầu).

Khi đối mặt với trường hợp phân tích chiều từ chối một biến ( g , ở đây) mà người ta mong đợi một cách trực giác thuộc về một mô tả vật lý của tình huống, một khả năng khác là biến bị từ chối trên thực tế có liên quan, nhưng một số biến có liên quan khác đã được bị bỏ qua, có thể kết hợp với biến bị từ chối để tạo thành đại lượng không thứ nguyên. Đó là, tuy nhiên, không phải trường hợp ở đây.

Khi phân tích chiều chỉ mang lại một nhóm không thứ nguyên, như ở đây, không có hàm nào chưa biết và lời giải được cho là "hoàn chỉnh" - mặc dù nó vẫn có thể liên quan đến các hằng số không thứ nguyên chưa biết, chẳng hạn như κ .

Một ví dụ phức tạp hơn: năng lượng của một sợi dây rung động

Xét trường hợp một sợi dây có chiều dài ℓ (L) dao động với biên độ A (L). Dây có mật độ tuyến tính ρ (M / L) và chịu lực căng s (LM / T ² ), và chúng ta muốn biết năng lượng E (L ² M / T ² ) trong dây. Gọi π ₁ và π ₂ là hai tích không thứ nguyên của lũy thừa của các biến được chọn, cho bởi

${\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1} & = {\ frac {E} {As}} \\\ pi _ {2} & = {\ frac {\ ell} {A}}. \ end {align}}}$

Mật độ tuyến tính của dây không tham gia. Hai nhóm tìm được có thể được kết hợp thành một dạng tương đương như một phương trình

${\ displaystyle F \ left ({\ frac {E} {As}}, {\ frac {\ ell} {A}} \ right) = 0,}$

trong đó F là một số hàm chưa biết, hoặc tương đương với

${\ displaystyle E = Asf \ left ({\ frac {\ ell} {A}} \ right),}$

trong đó f là một số hàm chưa biết khác. Ở đây, hàm chưa biết ngụ ý rằng giải pháp của chúng ta hiện chưa hoàn thiện, nhưng phân tích chiều đã cho chúng ta một điều có thể không rõ ràng: năng lượng tỷ lệ với công suất đầu tiên của lực căng. Trừ những phân tích phân tích sâu hơn, chúng ta có thể tiến hành các thí nghiệm để tìm ra dạng cho hàm f chưa biết . Nhưng các thí nghiệm của chúng tôi đơn giản hơn so với trường hợp không có phân tích chiều. Chúng tôi sẽ không thực hiện để xác minh rằng năng lượng tỷ lệ với lực căng. Hoặc có lẽ chúng ta có thể đoán rằng năng lượng tỷ lệ với ℓ , và do đó suy ra rằng E = ℓs . Sức mạnh của phân tích chiều như một trợ giúp để thử nghiệm và hình thành giả thuyết trở nên rõ ràng.

Sức mạnh của phân tích chiều thực sự trở nên rõ ràng khi nó được áp dụng cho các tình huống, không giống như những tình huống đã nêu ở trên, phức tạp hơn, tập hợp các biến liên quan không rõ ràng và các phương trình cơ bản phức tạp một cách vô vọng. Ví dụ, hãy xem xét một viên sỏi nhỏ nằm trên lòng sông. Nếu dòng sông chảy đủ nhanh, nó sẽ thực sự nâng viên sỏi lên và khiến nó chảy theo dòng nước. Điều này sẽ xảy ra với vận tốc tới hạn nào? Việc sắp xếp các biến đã đoán không còn dễ dàng như trước nữa. Nhưng phân tích chiều có thể là một trợ giúp đắc lực để hiểu các vấn đề như thế này, và thường là công cụ đầu tiên được áp dụng cho các bài toán phức tạp mà các phương trình và ràng buộc cơ bản chưa được hiểu rõ. Trong những trường hợp như vậy, câu trả lời có thể phụ thuộc vào một số không có thứ nguyên, chẳng hạn như số Reynolds , có thể được giải thích bằng phân tích thứ nguyên.

Ví dụ thứ ba: nhu cầu so với dung lượng đĩa quay

Phân tích kích thước và thí nghiệm số cho một đĩa quay

Xét trường hợp một đĩa mỏng, đặc, quay song song có chiều dày hướng trục t (L) và bán kính R (L). Đĩa có khối lượng riêng ρ (M / L ³ ), quay với vận tốc góc ω (T ⁻¹ ) và điều này dẫn đến ứng suất S (T ⁻² L ⁻¹ M) trong vật liệu. Có một giải pháp đàn hồi tuyến tính lý thuyết, được đưa ra bởi Lame, cho vấn đề này khi đĩa mỏng so với bán kính của nó, các mặt của đĩa chuyển động tự do theo trục và các quan hệ cấu thành ứng suất phẳng có thể được giả định là hợp lệ. Khi đĩa trở nên dày hơn so với bán kính thì dung dịch ứng suất phẳng bị phá vỡ. Nếu đĩa được đặt theo phương dọc trục trên các mặt tự do của nó thì trạng thái biến dạng phẳng sẽ xảy ra. Tuy nhiên, nếu đây không phải là trường hợp thì trạng thái ứng suất chỉ có thể được xác định thông qua việc xem xét tính đàn hồi ba chiều và không có giải pháp lý thuyết nào cho trường hợp này. Do đó, một kỹ sư có thể quan tâm đến việc thiết lập mối quan hệ giữa năm biến số. Phân tích thứ nguyên cho trường hợp này dẫn đến (5 - 3 = 2) nhóm không thứ nguyên sau:

nhu cầu / công suất = ρR ² ω ² / S

độ dày / bán kính hoặc tỷ lệ co = t / R

Thông qua việc sử dụng các thí nghiệm số, ví dụ, phương pháp phần tử hữu hạn , bản chất của mối quan hệ giữa hai nhóm không thứ nguyên có thể nhận được như trong hình. Vì vấn đề này chỉ liên quan đến hai nhóm không chiều, bức tranh hoàn chỉnh được cung cấp trong một ô duy nhất và đây có thể được sử dụng làm biểu đồ thiết kế / đánh giá cho đĩa quay ^[22]

Phần mở rộng của Huntley: các kích thước được định hướng và số lượng vật chất

Huntley ( Huntley 1967 ) đã chỉ ra rằng phân tích chiều có thể trở nên mạnh mẽ hơn bằng cách khám phá ra các chiều độc lập mới trong các đại lượng đang được xem xét, do đó làm tăng thứ hạng${\ displaystyle m}$của ma trận chiều. Ông đã giới thiệu hai cách tiếp cận để làm như vậy:

• Độ lớn của các thành phần của vectơ được coi là độc lập về thứ nguyên. Ví dụ, thay vì kích thước chiều dài không phân biệt L, chúng ta có thể có kích thước đại diện L _x theo hướng x, v.v. Yêu cầu này cuối cùng bắt nguồn từ yêu cầu rằng mỗi thành phần của một phương trình có ý nghĩa vật lý (vô hướng, vectơ hoặc tensor) phải nhất quán về kích thước.
• Khối lượng như là một đại lượng của vật chất được coi là thứ nguyên độc lập với khối lượng như là một đơn vị đo quán tính.

Như một ví dụ về tính hữu ích của cách tiếp cận đầu tiên, giả sử chúng ta muốn tính khoảng cách mà một viên đạn thần công đi được khi bắn với thành phần vận tốc thẳng đứng${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$ và một thành phần vận tốc ngang ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$, giả sử nó được bắn trên một bề mặt phẳng. Giả sử không sử dụng độ dài có hướng, số lượng quan tâm khi đó${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$, ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$, đều có thứ nguyên là T ⁻¹ L, R , quãng đường đi được, có thứ nguyên L và g là gia tốc hướng xuống của trọng trường, với thứ nguyên T ⁻² L.

Với bốn đại lượng này, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình của dãy R có thể được viết:

${\ displaystyle R \ propto V _ {\ text {x}} ^ {a} \, V _ {\ text {y}} ^ {b} \, g ^ {c}. \,}$

Hoặc kích thước

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} = \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a + b} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c} \,}$

từ đó chúng ta có thể suy ra rằng ${\ displaystyle a + b + c = 1}$ và ${\ displaystyle a + b + 2c = 0}$, để lại một số mũ không xác định. Điều này được mong đợi vì chúng ta có hai kích thước cơ bản T và L, và bốn tham số, với một phương trình.

Tuy nhiên, nếu chúng tôi sử dụng kích thước chiều dài có hướng, thì ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$sẽ có kích thước là T ⁻¹ L _x ,${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$dưới dạng T ⁻¹ L _y , R là L _x và g là T ⁻² L _y . Phương trình chiều trở thành:

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}} = \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c}}$

và chúng tôi có thể giải quyết hoàn toàn như ${\ displaystyle a = 1}$, ${\ displaystyle b = 1}$ và ${\ displaystyle c = -1}$. Rõ ràng là có thể thấy rõ sự gia tăng công suất suy diễn khi sử dụng các kích thước chiều dài có hướng.

Trong cách tiếp cận thứ hai của mình, Huntley cho rằng đôi khi hữu ích (ví dụ, trong cơ học chất lỏng và nhiệt động lực học) để phân biệt giữa khối lượng như một thước đo quán tính (khối lượng quán tính) và khối lượng như một đại lượng vật chất. Lượng vật chất được Huntley định nghĩa là đại lượng (a) tỷ lệ với khối lượng quán tính, nhưng (b) không liên quan đến tính chất quán tính. Không có hạn chế nào khác được thêm vào định nghĩa của nó.

Ví dụ, hãy xem xét dẫn xuất của Định luật Poiseuille . Chúng ta muốn tìm tốc độ dòng chảy của chất lỏng nhớt qua một đường ống tròn. Không có sự phân biệt giữa khối lượng quán tính và khối lượng đáng kể, chúng ta có thể chọn làm các biến có liên quan

• ${\ displaystyle {\ dot {m}}}$tốc độ dòng chảy khối có thứ nguyên T ⁻¹ M
• ${\ displaystyle p _ {\ text {x}}}$gradient áp suất dọc theo đường ống có thứ nguyên T ⁻² L ⁻² M
• ρ mật độ với thứ nguyên L ⁻³ M
• η độ nhớt động lực học có thứ nguyên T ⁻¹ L ⁻¹ M
• r bán kính của ống có kích thước L

Có ba biến cơ bản nên năm phương trình trên sẽ mang lại hai biến không thứ nguyên mà chúng ta có thể coi là ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r}$ và ${\ displaystyle \ pi _ {2} = p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}}$ và chúng tôi có thể biểu thị phương trình chiều dưới dạng

${\ displaystyle C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {\ dot {m}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ right) ^ {a}}$

trong đó C và a là các hằng số không xác định. Nếu chúng ta rút ra sự phân biệt giữa khối lượng quán tính với thứ nguyên${\ displaystyle M _ {\ text {i}}}$ và số lượng vật chất có thứ nguyên ${\ displaystyle M _ {\ text {m}}}$, khi đó tỷ trọng và tốc độ dòng khối sẽ sử dụng lượng vật chất làm tham số khối lượng, trong khi gradient áp suất và hệ số độ nhớt sẽ sử dụng khối lượng quán tính. Bây giờ chúng ta có bốn tham số cơ bản và một hằng số không thứ nguyên, để phương trình chiều có thể được viết:

${\ displaystyle C = {\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}}$

trong đó bây giờ chỉ có C là hằng số không xác định (được tìm thấy bằng${\ displaystyle \ pi / 8}$bằng các phương pháp ngoài phân tích chiều). Phương trình này có thể được giải cho tốc độ dòng chảy khối lượng để đưa ra định luật Poiseuille .

Việc Huntley thừa nhận lượng vật chất như một thứ nguyên đại lượng độc lập rõ ràng là đã thành công trong các vấn đề mà nó có thể áp dụng được, nhưng định nghĩa của ông về lượng vật chất còn mở để giải thích, vì nó thiếu tính cụ thể ngoài hai yêu cầu (a) và (b) he công nhận cho nó. Đối với một chất nào đó, kích thước SI lượng chất , với đơn vị mol , thực hiện hai yêu cầu thỏa mãn Huntley như một thước đo số lượng của vật chất, và có thể được sử dụng như một lượng vật chất trong bất kỳ vấn đề phân tích chiều nơi khái niệm Huntley là áp dụng.

Tuy nhiên, khái niệm về kích thước chiều dài có hướng của Huntley có một số hạn chế nghiêm trọng:

• Nó không giải quyết tốt các phương trình vectơ liên quan đến tích chéo ,
• nó cũng không xử lý tốt việc sử dụng các góc như các biến vật lý.

Việc gán các ký hiệu L, L _x , L _y , L _z , cho các biến vật lý liên quan đến vấn đề quan tâm cũng thường khá khó khăn . Ông đưa ra một quy trình liên quan đến tính "đối xứng" của bài toán vật lý. Điều này thường rất khó áp dụng một cách đáng tin cậy: Không rõ là phần nào của vấn đề mà khái niệm "đối xứng" đang được viện dẫn. Đó có phải là sự đối xứng của cơ thể vật chất mà các lực tác dụng lên, hay với các điểm, đường thẳng hoặc khu vực mà các lực đang tác dụng? Điều gì sẽ xảy ra nếu có nhiều hơn một cơ thể tham gia với các đối xứng khác nhau?

Coi bong bóng hình cầu gắn với một ống hình trụ, trong đó người ta muốn tốc độ dòng khí là hàm của hiệu số áp suất trong hai phần. Các kích thước mở rộng Huntley của độ nhớt của không khí chứa trong các bộ phận được kết nối là gì? Kích thước mở rộng của áp suất của hai phần là gì? Chúng giống nhau hay khác nhau? Những khó khăn này là nguyên nhân dẫn đến việc áp dụng hạn chế các kích thước chiều dài theo hướng của Huntley vào các bài toán thực tế.

Phần mở rộng của Siano: phân tích định hướng

Theo quy ước, góc được coi là đại lượng không thứ nguyên. Ví dụ, hãy xem xét lại bài toán về đường đạn trong đó một điểm khối lượng được phóng từ điểm gốc ( x , y ) = (0, 0) với tốc độ v và góc θ trên trục x , với lực hấp dẫn hướng theo trục y âm . Người ta muốn tìm phạm vi R , tại thời điểm đó khối lượng trở về trục x . Phân tích thông thường sẽ mang lại biến không thứ nguyên π = R g / v ² , nhưng không cung cấp cái nhìn sâu sắc về mối quan hệ giữa R và θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) đã đề xuất rằng các kích thước có hướng của Huntley được thay thế bằng cách sử dụng các ký hiệu định hướng 1 _x  1 _y  1 _z để biểu thị hướng vectơ và ký hiệu không định hướng 1 ₀ . Do đó, L _x của Huntley trở thành L1 _x với L xác định kích thước chiều dài và 1 _x chỉ định hướng. Siano cho thấy thêm rằng các biểu tượng định hướng có một đại số của riêng chúng. Cùng với yêu cầu 1 _i ⁻¹ = 1 _i , bảng nhân sau cho các ký hiệu định hướng cho kết quả:

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccc} & \ mathbf {1_ {0}} & \ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {y}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {z}}} \\\ hline \ mathbf {1_ {0}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z }} \\\ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} \\\ mathbf {1_ {\ text {y}}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} \\\ mathbf {1 _ {\ text {z}}} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} \ end {array}}}$

Lưu ý rằng các biểu tượng định hướng tạo thành một nhóm (nhóm bốn Klein hoặc "Viergruppe"). Trong hệ thống này, các đại lượng vô hướng luôn có cùng định hướng với phần tử đồng nhất, không phụ thuộc vào “tính đối xứng của bài toán”. Các đại lượng vật lý là vectơ có hướng dự kiến: một lực hoặc một vận tốc theo phương z có hướng là 1 _z . Đối với góc, xét một góc θ nằm trong mặt phẳng z. Tạo thành một tam giác vuông trong mặt phẳng z với θ là một trong các góc nhọn. Cạnh bên của tam giác vuông kề với góc khi đó có định hướng 1 _x và cạnh đối diện có định hướng 1 _y . Vì (sử dụng ~ để biểu thị sự tương đương về phương hướng) tan ( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y / 1 _{x nên} chúng ta kết luận rằng một góc trong mặt phẳng xy phải có hướng 1 _y / 1 _x = 1 _z , đó là không phải là không hợp lý. Lập luận tương tự đưa ra kết luận rằng sin ( θ ) có định hướng 1 _z trong khi cos ( θ ) có định hướng 1 ₀ . Những điều này là khác nhau, vì vậy người ta kết luận (đúng), chẳng hạn, rằng không có nghiệm của phương trình vật lý có dạng a cos ( θ ) + b sin ( θ ) , trong đó a và b là thực vô hướng. Lưu ý rằng một biểu thức chẳng hạn như${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ pi / 2) = \ cos (\ theta)}$ không nhất quán về kích thước vì nó là một trường hợp đặc biệt của công thức tổng các góc và phải được viết đúng cách:

${\ displaystyle \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z}} + b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) = \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z} }) \ cos (b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) + \ sin \ left (b \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ text {z} }\đúng),}$

cái nào cho ${\ displaystyle a = \ theta}$ và ${\ displaystyle b = \ pi / 2}$ hoa lợi ${\ displaystyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}} + [\ pi / 2] \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z}} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$. Siano phân biệt giữa các góc hình học có định hướng trong không gian 3 chiều và các góc pha liên quan đến dao động theo thời gian, không có định hướng trong không gian, tức là định hướng của một góc pha là${\ displaystyle 1_ {0}}$.

Việc gán các ký hiệu định hướng cho các đại lượng vật lý và yêu cầu các phương trình vật lý phải đồng nhất về mặt định hướng thực sự có thể được sử dụng theo cách tương tự như phân tích chiều để thu được thêm một chút thông tin về các giải pháp chấp nhận được của các bài toán vật lý. Trong cách tiếp cận này, người ta thiết lập phương trình chiều và giải nó trong chừng mực có thể. Nếu lũy thừa thấp nhất của một biến vật lý là phân số, thì cả hai vế của lời giải được nâng lên thành lũy thừa sao cho tất cả các lũy thừa đều là tích phân. Điều này đặt nó vào "dạng bình thường". Sau đó, phương trình định hướng được giải để đưa ra một điều kiện hạn chế hơn về lũy thừa chưa biết của các ký hiệu định hướng, đi đến một giải pháp hoàn thiện hơn so với giải pháp mà chỉ phân tích chiều đưa ra. Thông thường, thông tin được thêm vào là một trong những lũy ​​thừa của một biến nào đó là chẵn hoặc lẻ.

Ví dụ, đối với bài toán đường đạn, sử dụng ký hiệu định hướng, θ , nằm trong mặt phẳng xy sẽ có thứ nguyên 1 _z và phạm vi của đường đạn R sẽ có dạng:

${\ displaystyle R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c} {\ text {có nghĩa là}} {\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ mathrm {x}} \ sim \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ text {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \, 1 _ {\ mathsf {z}} ^ {c}. \,}$

Tính đồng nhất về chiều bây giờ sẽ mang lại một cách chính xác a = −1 và b = 2 , và tính đồng nhất về hướng yêu cầu điều đó${\ displaystyle 1_ {x} / (1_ {y} ^ {a} 1_ {z} ^ {c}) = 1_ {z} ^ {c + 1} = 1}$. Nói cách khác, c đó phải là một số nguyên lẻ. Trong thực tế, hàm yêu cầu của theta sẽ là sin ( θ ) cos ( θ ) là một chuỗi bao gồm các lũy thừa lẻ của θ .

Người ta thấy rằng chuỗi Taylor của sin ( θ ) và cos ( θ ) là đồng nhất về mặt định hướng bằng cách sử dụng bảng nhân ở trên, trong khi các biểu thức như cos ( θ ) + sin ( θ ) và exp ( θ ) thì không, và là (chính xác ) được coi là không hợp pháp.

Phân tích định hướng của Siano tương thích với quan niệm thông thường về các đại lượng góc là không có thứ nguyên, và trong phân tích định hướng, radian vẫn có thể được coi là một đơn vị không thứ nguyên. Phân tích định hướng của một phương trình đại lượng được thực hiện tách biệt với phân tích chiều thông thường, mang lại thông tin bổ sung cho phân tích chiều.

Hằng số

Các hằng số không thứ nguyên phát sinh trong các kết quả thu được, chẳng hạn như C trong bài toán Định luật Poiseuille và ${\ displaystyle \ kappa}$trong các bài toán mùa xuân được thảo luận ở trên, xuất phát từ sự phân tích chi tiết hơn của vật lý cơ bản và thường nảy sinh từ việc tích phân một số phương trình vi phân. Bản thân phân tích chiều không nói lên nhiều điều về các hằng số này, nhưng rất hữu ích khi biết rằng chúng rất thường có mức độ thống nhất về thứ tự. Quan sát này đôi khi có thể cho phép một người thực hiện các phép tính " mặt sau " về hiện tượng quan tâm và do đó có thể thiết kế hiệu quả hơn các thí nghiệm để đo lường nó hoặc để đánh giá liệu nó có quan trọng hay không, v.v.

Formalisms

Nghịch lý thay, phân tích chiều có thể là một công cụ hữu ích ngay cả khi tất cả các tham số trong lý thuyết cơ bản là không có thứ nguyên, ví dụ, các mô hình mạng như mô hình Ising có thể được sử dụng để nghiên cứu chuyển pha và các hiện tượng tới hạn. Các mô hình như vậy có thể được xây dựng theo một cách hoàn toàn không có thứ nguyên. Khi chúng ta tiếp cận điểm tới hạn ngày càng gần hơn, khoảng cách mà các biến trong mô hình mạng có tương quan với nhau (cái gọi là độ dài tương quan,${\ displaystyle \ xi}$) ngày càng lớn hơn. Bây giờ, độ dài tương quan là thang độ dài tương ứng liên quan đến các hiện tượng quan trọng, vì vậy, người ta có thể, ví dụ, phỏng đoán trên "cơ sở chiều" rằng phần không phân tích của năng lượng tự do trên mỗi vị trí mạng phải là${\ displaystyle \ sim 1 / \ xi ^ {d}}$ Ở đâu ${\ displaystyle d}$ là thứ nguyên của mạng tinh thể.

Nó đã được lập luận của một số nhà vật lý, ví dụ như, MJ Duff , ^{[20] [23]} rằng các định luật vật lý là vốn không thứ nguyên. Theo quan điểm này, việc chúng ta gán các kích thước không tương thích cho Chiều dài, Thời gian và Khối lượng, chỉ là vấn đề quy ước, xuất phát từ thực tế là trước khi vật lý hiện đại ra đời, không có cách nào để liên hệ khối lượng, độ dài và thời gian đối với nhau. Ba hằng số thứ nguyên độc lập: c , ħ , và G , trong các phương trình cơ bản của vật lý khi đó phải được coi là các hệ số chuyển đổi đơn thuần để chuyển đổi Khối lượng, Thời gian và Độ dài thành nhau.

Cũng như trong trường hợp các thuộc tính quan trọng của mô hình mạng tinh thể, người ta có thể khôi phục kết quả phân tích các chiều trong giới hạn tỷ lệ thích hợp; ví dụ, phân tích chiều trong cơ học có thể được rút ra bằng cách chèn lại các hằng số ħ , c và G (nhưng bây giờ chúng ta có thể coi chúng là không thứ nguyên) và yêu cầu rằng mối quan hệ không thông thường giữa các đại lượng tồn tại trong giới hạn${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$, ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ và ${\ displaystyle G \ rightarrow 0}$. Trong các bài toán liên quan đến trường hấp dẫn, giới hạn sau nên được lấy sao cho trường này là hữu hạn.

Sau đây là bảng các biểu thức thường xảy ra trong vật lý, liên quan đến các thứ nguyên của năng lượng, động lượng và lực. ^{[24] [25] [26]}

Đơn vị SI

Năng lượng, E T −2 L 2 M	Biểu hiện	Danh pháp
Cơ khí	${\ displaystyle Fd}$	F = lực , d = khoảng cách
	${\ displaystyle S / t \ ​​equiv Pt}$	S = hành động , t = thời gian, P = công suất
	${\ displaystyle mv ^ {2} \ equiv pv \ equiv p ^ {2} / m}$	m = khối lượng , v = vận tốc , p = động lượng
	${\ displaystyle I \ omega ^ {2} \ equiv L \ omega \ equiv L ^ {2} / I}$	L = momen động lượng , I = momen quán tính , ω = vận tốc góc
Khí lý tưởng	${\ displaystyle pV \ equiv NT}$	p = áp suất, khối lượng , T = nhiệt độ N = số lượng chất
Sóng	${\ displaystyle IAt \ Equiv SAt}$	I = cường độ sóng , S = véc tơ Poynting
Điện từ	${\ displaystyle q \ phi}$	q = điện tích , ϕ = tiềm năng điện (đối với những thay đổi đây là điện áp )
	${\ displaystyle \ varepsilon E ^ {2} V \ equiv B ^ {2} V / \ mu}$	E = điện trường , B = từ trường , ε = độ cho phép , μ = độ từ thẩm , V = 3d thể tích
	${\ displaystyle pE \ equiv mB \ equiv IAB}$	p = mômen lưỡng cực điện , m = mômen từ, A = diện tích (được giới hạn bởi một vòng dòng), I = dòng điện trong vòng