toán học

Nhà toán học Hy Lạp Euclid (cầm thước cặp ), thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, được Raphael tưởng tượng về chi tiết này từ Trường học Athens (1509–1511) ^[a]

toán học
0–9 A B C D E F G H Tôi J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Nhà toán học
A B C D E F G H Tôi J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
dẫn đường
Danh sách Đề cương Cổng thông tin Khu vực
v t e

Toán học (từ tiếng Hy Lạp : μάθημα , máthēma , 'kiến thức, nghiên cứu, học tập') bao gồm việc nghiên cứu các chủ đề như đại lượng ( lý thuyết số ), ^[1] cấu trúc ( đại số ), ^[2] không gian ( hình học ), ^[1] và thay đổi ( phân tích ). ^{[3] [4] [5]} Nó không có định nghĩa được chấp nhận chung . ^{[6] [7]}

Các nhà toán học tìm kiếm và sử dụng các mẫu ^{[8] [9]} để hình thành các phỏng đoán mới ; họ giải quyết sự thật hoặc sai của như vậy bằng chứng minh toán học . Khi cấu trúc toán học là mô hình tốt của các hiện tượng thực tế, suy luận toán học có thể được sử dụng để cung cấp cái nhìn sâu sắc hoặc dự đoán về tự nhiên. Thông qua việc sử dụng trừu tượng và logic , toán học được phát triển từ việc đếm , tính toán , đo lường và nghiên cứu có hệ thống về hình dạng và chuyển động của các đối tượng vật lý. Toán học thực tế đã là một hoạt động của con người từ xa xưa khi các bản ghi còn tồn tại. Các nghiên cứu cần thiết để giải quyết vấn đề toán học có thể mất nhiều năm hoặc nhiều thế kỷ, ngay cả của cuộc điều tra kéo dài.

Các lập luận chặt chẽ xuất hiện lần đầu tiên trong toán học Hy Lạp , đặc biệt nhất là trong Các phần tử của Euclid . ^[10] Kể từ công trình tiên phong của Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943), và những người khác về các hệ tiên đề vào cuối thế kỷ 19 , người ta thường coi nghiên cứu toán học là xác lập chân lý bằng cách suy luận chặt chẽ từ các tiên đề và định nghĩa được lựa chọn thích hợp . Toán học phát triển với tốc độ tương đối chậm cho đến thời kỳ Phục hưng , khi những phát kiến ​​toán học tương tác với những khám phá khoa học đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng tỷ lệ khám phá toán học kéo dài cho đến ngày nay. ^[11]

Toán học rất cần thiết trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học tự nhiên , kỹ thuật , y học , tài chính và khoa học xã hội . Toán học ứng dụng đã dẫn đến những ngành toán học hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi . Các nhà toán học tham gia vào toán học thuần túy (toán học vì lợi ích riêng của nó) mà không có bất kỳ ứng dụng nào, nhưng các ứng dụng thực tế cho những gì bắt đầu như toán học thuần túy thường được khám phá sau đó. ^{[12] [13]}

Lịch sử

Lịch sử của toán học có thể được coi là một chuỗi ngày càng tăng của các sự trừu tượng . Sự trừu tượng đầu tiên, được nhiều loài động vật chia sẻ, ^[14] có lẽ là những con số: nhận ra rằng một bộ sưu tập hai quả táo và một bộ sưu tập hai quả cam (chẳng hạn) có điểm chung, đó là số lượng các thành viên của chúng.

Bằng chứng là các dấu tích được tìm thấy trên xương, ngoài việc nhận biết cách đếm các vật thể vật chất, những người tiền sử cũng có thể nhận ra cách đếm số lượng trừu tượng, như thời gian - ngày, mùa hoặc năm. ^{[15] [16]}

Bằng chứng cho toán học phức tạp hơn chỉ xuất hiện cho đến khoảng năm 3000  trước Công nguyên , khi người Babylon và Ai Cập bắt đầu sử dụng số học , đại số và hình học để tính thuế và các phép tính tài chính khác, cho xây dựng và xây dựng, và cho thiên văn học . ^[17] Các văn bản toán học cổ nhất của Lưỡng Hà và Ai Cập là từ 2000 đến 1800 trước Công nguyên. ^[18] Nhiều văn bản đầu tiên đề cập đến bộ ba Pitago và do đó, bằng cách suy luận, định lý Pitagodường như là sự phát triển toán học cổ xưa và rộng rãi nhất sau số học và hình học cơ bản. ^[19] Chính trong toán học Babylon , số học sơ cấp ( cộng , trừ , nhân và chia ) lần đầu tiên xuất hiện trong hồ sơ khảo cổ học. Người Babylon cũng sở hữu hệ thống giá trị vị trí và sử dụng hệ thống số thập phân ^[19] vẫn được sử dụng cho đến ngày nay để đo góc và thời gian. ^[20]

Bắt đầu từ thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên với phái Pytago , với toán học Hy Lạp với người Hy Lạp cổ đại bắt đầu một nghiên cứu có hệ thống về toán học như một môn học theo đúng nghĩa của nó. ^[21] Khoảng năm 300 trước Công nguyên, Euclid đưa ra phương pháp tiên đề vẫn được sử dụng trong toán học ngày nay, bao gồm định nghĩa, tiên đề, định lý và chứng minh. Cuốn sách của ông, Elements , được coi là cuốn sách giáo khoa thành công và có ảnh hưởng nhất mọi thời đại. ^[22] Nhà toán học vĩ đại nhất thời cổ đại thường được coi là Archimedes (khoảng 287–212 TCN) của Syracuse . ^[23]Ông đã phát triển các công thức tính diện tích bề mặt và thể tích của chất rắn trong cuộc cách mạng và sử dụng phương pháp tính kiệt để tính diện tích dưới cung của một parabol với tổng của một chuỗi vô hạn , theo một cách không quá khác biệt so với phép tính hiện đại. ^[24] Những thành tựu đáng chú ý khác của toán học Hy Lạp là phần conic ( Apollonius của Perga , thế kỷ 3 trước Công nguyên), ^[25] lượng giác ( Hipparchus của Nicaea , thế kỷ 2 trước Công nguyên), ^[26] và sự khởi đầu của đại số ( Diophantus , thế kỷ 3 sau Công nguyên ). ^[27]

Các hệ thống Hindu-Ả Rập chữ số và các quy tắc cho việc sử dụng các hoạt động của mình, được sử dụng trên khắp thế giới hiện nay, phát triển qua quá trình AD thiên niên kỷ đầu tiên trong Ấn Độ và được truyền cho thế giới phương Tây thông qua toán học Hồi giáo . ^[28] Những phát triển đáng chú ý khác của toán học Ấn Độ bao gồm định nghĩa hiện đại và tính gần đúng của sin và cosine , ^[28] và một dạng ban đầu của chuỗi vô hạn .

Trong thời kỳ hoàng kim của Hồi giáo , đặc biệt là trong thế kỷ 9 và 10, toán học đã chứng kiến ​​nhiều phát kiến ​​quan trọng dựa trên nền toán học Hy Lạp. Thành tựu đáng chú ý nhất của toán học Hồi giáo là sự phát triển của đại số . Những thành tựu khác của thời kỳ Hồi giáo bao gồm những tiến bộ trong lượng giác cầu và việc bổ sung dấu thập phân vào hệ thống chữ số Ả Rập. ^{[29] [30]} Nhiều nhà toán học đáng chú ý từ thời kỳ này là người Ba Tư, chẳng hạn như Al-Khwarismi , Omar Khayyam và Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Trong thời kỳ đầu hiện đại , toán học bắt đầu phát triển với tốc độ nhanh chóng ở Tây Âu . Sự phát triển của phép tính toán của Newton và Leibniz trong thế kỷ 17 đã cách mạng hóa toán học. ^[31] Leonhard Euler là nhà toán học đáng chú ý nhất của thế kỷ 18, đóng góp nhiều định lý và khám phá. ^[32] Có lẽ nhà toán học đầu tiên của thế kỷ 19 là nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss , ^[33] người đã có nhiều đóng góp trong các lĩnh vực như đại số , giải tích , hình học vi phân , lý thuyết ma trận ,lý thuyết số và thống kê . Vào đầu thế kỷ 20, Kurt Gödel đã biến đổi toán học bằng cách xuất bản các định lý về tính không hoàn chỉnh của mình , phần nào cho thấy rằng bất kỳ hệ tiên đề nhất quán nào — nếu đủ mạnh để mô tả số học — sẽ chứa các mệnh đề đúng mà không thể chứng minh được. ^[34]

Toán học kể từ đó đã được mở rộng rất nhiều, và đã có một sự tương tác hiệu quả giữa toán học và khoa học , vì lợi ích của cả hai. Những khám phá toán học tiếp tục được thực hiện ngày nay. Theo Mikhail B. Sevryuk, trên tạp chí Bulletin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ số ra tháng Giêng năm 2006 , "Số lượng bài báo và sách có trong cơ sở dữ liệu Đánh giá Toán học từ năm 1940 (năm đầu tiên hoạt động của MR) đến nay là hơn 1,9 hàng triệu và hơn 75 nghìn mục được thêm vào cơ sở dữ liệu mỗi năm. Phần lớn các công trình trong đại dương này chứa đựng các định lý toán học mới và các chứng minh của chúng . " ^[35]

Từ nguyên

Từ toán học xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại máthēma ( μάθημα ), có nghĩa là "cái được học," ^[36] "những gì người ta được biết," vì thế cũng "nghiên cứu" và "khoa học". Từ "toán học" đã có nghĩa hẹp hơn và mang tính kỹ thuật hơn là "nghiên cứu toán học" ngay cả trong thời Cổ điển. ^[37] Tính từ của nó là mathēmatikós ( μαθηματικός ), có nghĩa là "liên quan đến học tập" hoặc "chăm học", tương tự như vậy còn có nghĩa là "toán học". Đặc biệt, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; tiếng Latinh :ars toán học) có nghĩa là "nghệ thuật toán học."

Tương tự, một trong hai trường phái tư tưởng chính trong thuyết Pitago được biết đến với tên gọi toán học (μαθηματικοί) —mà lúc đó có nghĩa là "người học" chứ không phải "nhà toán học" theo nghĩa hiện đại. ^[38]

Trong tiếng Latinh, và trong tiếng Anh cho đến khoảng năm 1700, thuật ngữ toán học thường có nghĩa là " chiêm tinh học " (hoặc đôi khi " thiên văn học ") hơn là "toán học"; nghĩa dần dần thay đổi thành ý nghĩa hiện tại từ khoảng năm 1500 đến năm 1800. Điều này đã dẫn đến một số bản dịch sai. Ví dụ, lời cảnh báo của Thánh Augustinô rằng các Cơ đốc nhân nên cẩn thận với toán học , nghĩa là các nhà chiêm tinh, đôi khi bị dịch sai như một sự lên án các nhà toán học. ^[39]

Dạng số nhiều rõ ràng trong tiếng Anh, như dạng số nhiều trong tiếng Pháp les mathématiques (và đạo hàm số ít được sử dụng phổ biến hơn la mathématique ), quay trở lại với toán học số nhiều neuter trong tiếng Latinh ( Cicero ), dựa trên số nhiều của Hy Lạp ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), được sử dụng bởi Aristotle (384–322 TCN), và có nghĩa đại khái là "vạn vật toán học", mặc dù rất hợp lý khi tiếng Anh chỉ mượn tính từ toán học (al) và hình thành danh từ toán học một lần nữa, sau mô hình vật lý và siêu hình, vốn được kế thừa từ tiếng Hy Lạp. ^[40] Trong tiếng Anh, danh từ toán học sử dụng một động từ số ít. Nó thường được rút ngắn thành toán học hoặc, ở Bắc Mỹ, toán học . ^[41]

Định nghĩa của toán học

Toán học không có định nghĩa được chấp nhận chung. ^{[6] [7]} Aristotle định nghĩa toán học là "khoa học về lượng" và định nghĩa này phổ biến cho đến thế kỷ 18. Tuy nhiên, Aristotle cũng lưu ý rằng chỉ tập trung vào số lượng có thể không phân biệt toán học với các khoa học như vật lý; theo quan điểm của ông, trừu tượng hóa và nghiên cứu số lượng như một thuộc tính "tách biệt trong suy nghĩ" khỏi các trường hợp thực tế khiến toán học trở nên khác biệt. ^[42]

Vào thế kỷ 19, khi việc nghiên cứu toán học ngày càng nghiêm ngặt và bắt đầu đề cập đến các chủ đề trừu tượng như lý thuyết nhóm và hình học xạ ảnh , không có mối quan hệ rõ ràng với đại lượng và phép đo, các nhà toán học và triết học bắt đầu đề xuất nhiều định nghĩa mới. . ^[43]

Rất nhiều nhà toán học chuyên nghiệp không quan tâm đến định nghĩa của toán học, hoặc coi nó là không thể xác định được. ^[6] Thậm chí không có sự đồng thuận về việc liệu toán học là nghệ thuật hay khoa học. ^[7] Một số người chỉ nói, "Toán học là những gì các nhà toán học làm." ^[6]

Ba loại hàng đầu

Ba loại định nghĩa hàng đầu của toán học ngày nay được gọi là nhà logic , nhà trực giác và nhà hình thức , mỗi loại phản ánh một trường phái tư tưởng triết học khác nhau. ^[44] Tất cả đều có sai sót nghiêm trọng, không có sai sót nào được chấp nhận rộng rãi, và dường như không thể hòa giải. ^[44]

Các định nghĩa của nhà logic học

Một định nghĩa ban đầu của toán học về mặt logic là của Benjamin Peirce (1870): "khoa học rút ra các kết luận cần thiết." ^[45] Trong Principia Mathematica , Bertrand Russell và Alfred North Whitehead đã nâng cao chương trình triết học được gọi là thuyết logic , và cố gắng chứng minh rằng tất cả các khái niệm, phát biểu và nguyên tắc toán học đều có thể được định nghĩa và chứng minh hoàn toàn về mặt logic biểu tượng . Một định nghĩa của nhà logic học về toán học là của Russell (1903) "Tất cả Toán học là Logic tượng trưng." ^[46]

Định nghĩa trực quan

Các định nghĩa theo chủ nghĩa trực giác , phát triển từ triết lý của nhà toán học LEJ Brouwer , xác định toán học với các hiện tượng tinh thần nhất định. Một ví dụ về định nghĩa theo chủ nghĩa trực giác là "Toán học là hoạt động trí óc bao gồm việc thực hiện các cấu trúc lần lượt." ^[44] Điểm đặc biệt của thuyết trực giác là nó bác bỏ một số ý tưởng toán học được coi là hợp lệ theo các định nghĩa khác. Đặc biệt, trong khi các triết lý toán học khác cho phép các đối tượng có thể được chứng minh là tồn tại mặc dù chúng không thể được xây dựng, thì thuyết trực giác chỉ cho phép các đối tượng toán học mà người ta thực sự có thể tạo ra. Những người theo chủ nghĩa trực giác cũng bác bỏ quy luật trung gian bị loại trừ (tức là,${\displaystyle P\vee \neg P}$). Mặc dù lập trường này buộc họ phải bác bỏ một phiên bản chứng minh thông thường bằng cách mâu thuẫn với tư cách là một phương pháp chứng minh khả thi, cụ thể là suy luận từ , họ vẫn có thể suy ra từ . Đối với họ, là một tuyên bố nghiêm ngặt yếu hơn . ^[47]${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P\to \bot }$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P\to \bot }$${\displaystyle \neg (\neg P)}$${\displaystyle P}$

Các định nghĩa của chủ nghĩa hình thức

Các định nghĩa hình thức xác định toán học với các ký hiệu của nó và các quy tắc vận hành chúng. Haskell Curry định nghĩa toán học đơn giản là "khoa học của các hệ thống hình thức". ^[48] Một hệ thống chính thức là một tập hợp các biểu tượng, hoặc thẻ , và một số quy tắc về cách các thẻ sẽ được kết hợp thành công thức . Trong các hệ thống hình thức, từ tiên đề có một ý nghĩa đặc biệt khác với ý nghĩa thông thường của "một sự thật hiển nhiên" và được sử dụng để chỉ một tổ hợp các mã thông báo được bao gồm trong một hệ thống chính thức nhất định mà không cần phải suy ra bằng cách sử dụng các quy tắc của hệ thống.

Toán học là khoa học

Nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss gọi toán học là "Nữ hoàng của các khoa học". ^[49] Gần đây, Marcus du Sautoy đã gọi toán học là "Nữ hoàng Khoa học ... là động lực chính thúc đẩy khám phá khoa học". ^[50] Nhà triết học Karl Popper nhận xét rằng “hầu hết các lý thuyết toán học, giống như lý thuyết vật lý và sinh học , là giả thuyết - suy luận : toán học thuần túy do đó hóa ra gần với khoa học tự nhiên hơn nhiều so với các giả thuyết gần đây. " ^[51]Popper cũng lưu ý rằng "Tôi chắc chắn sẽ thừa nhận một hệ thống là thực nghiệm hoặc khoa học chỉ khi nó có khả năng được kiểm tra bằng kinh nghiệm." ^[52]

Một số tác giả cho rằng toán học không phải là một khoa học vì nó không dựa trên bằng chứng thực nghiệm . ^{[53] [54] [55] [56]}

Toán học có nhiều điểm chung với nhiều lĩnh vực trong khoa học vật lý, đặc biệt là việc khám phá các hệ quả logic của các giả định. Trực giác và thử nghiệm cũng đóng một vai trò trong việc hình thành các phỏng đoán trong cả toán học và các ngành khoa học (khác). Toán học thực nghiệm tiếp tục phát triển tầm quan trọng trong toán học, và tính toán và mô phỏng đang đóng một vai trò ngày càng tăng trong cả khoa học và toán học.

Ý kiến ​​của các nhà toán học về vấn đề này rất đa dạng. Nhiều nhà toán học ^[57] cảm thấy rằng gọi lĩnh vực của họ là khoa học là hạ thấp tầm quan trọng của khía cạnh thẩm mỹ, và lịch sử của nó trong bảy môn nghệ thuật tự do truyền thống ; những người khác cảm thấy rằng bỏ qua mối liên hệ của nó với các ngành khoa học là nhắm mắt làm ngơ trước thực tế là giao diện giữa toán học và các ứng dụng của nó trong khoa học và kỹ thuật đã thúc đẩy nhiều sự phát triển trong toán học. ^[58] Một cách mà sự khác biệt về quan điểm này diễn ra trong cuộc tranh luận triết học về việc liệu toán học được tạo ra (như trong nghệ thuật) hay được khám phá(như trong khoa học). Trong thực tế, các nhà toán học thường được xếp chung nhóm với các nhà khoa học ở cấp tổng nhưng được phân tách ở cấp tốt hơn. Đây là một trong nhiều vấn đề được xem xét trong triết học toán học . ^[59]

Cảm hứng, toán học thuần túy và ứng dụng, và thẩm mỹ

Toán học nảy sinh từ nhiều dạng vấn đề khác nhau. Lúc đầu, chúng được tìm thấy trong thương mại, đo đạc đất đai , kiến ​​trúc và sau đó là thiên văn học ; ngày nay, tất cả các ngành khoa học đều đề xuất các vấn đề do các nhà toán học nghiên cứu, và nhiều vấn đề nảy sinh trong chính toán học. Ví dụ, nhà vật lý Richard Feynman đã phát minh ra công thức tích phân đường dẫn của cơ học lượng tử bằng cách sử dụng kết hợp lý luận toán học và hiểu biết vật lý, và lý thuyết dây ngày nay , một lý thuyết khoa học vẫn đang phát triển cố gắng thống nhất bốn lực cơ bản của tự nhiên , tiếp tục truyền cảm hứng toán học mới. ^[60]

Một số toán học chỉ có liên quan trong lĩnh vực đã truyền cảm hứng cho nó và được áp dụng để giải quyết các vấn đề sâu hơn trong lĩnh vực đó. Nhưng thường thì toán học lấy cảm hứng từ một lĩnh vực tỏ ra hữu ích trong nhiều lĩnh vực, và tham gia vào kho khái niệm toán học chung. Một sự khác biệt thường được thực hiện giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng . Tuy nhiên, các chủ đề toán học thuần túy thường có ứng dụng, ví dụ như lý thuyết số trong mật mã .

Thực tế đáng chú ý này, rằng ngay cả toán học "thuần túy nhất" thường hóa ra lại có các ứng dụng thực tế, đó là điều mà nhà vật lý Eugene Wigner đã đặt tên là " tính hiệu quả phi lý của toán học ". ^[13] Nhà triết học toán học Mark Steiner đã viết nhiều về vấn đề này và thừa nhận rằng khả năng ứng dụng của toán học tạo nên "một thách thức đối với chủ nghĩa tự nhiên." ^[61] Đối với triết gia toán học Mary Leng , thực tế là thế giới vật chất hoạt động phù hợp với mệnh lệnh của các thực thể toán học phi nhân quả tồn tại bên ngoài vũ trụ là "một sự trùng hợp đáng mừng". ^[62] Mặt khác, cho một số người chống hiện thực, các kết nối có được giữa các sự vật toán học, chỉ phản ánh các kết nối có được giữa các vật thể trong vũ trụ, để không có "sự trùng hợp ngẫu nhiên". ^[62]

Như trong hầu hết các lĩnh vực nghiên cứu, sự bùng nổ của tri thức trong thời đại khoa học đã dẫn đến sự chuyên biệt hóa: hiện nay có hàng trăm lĩnh vực chuyên biệt trong toán học và Bảng phân loại môn Toán mới nhất dài tới 46 trang. ^[63] Một số lĩnh vực toán học ứng dụng đã hợp nhất với các truyền thống liên quan ngoài toán học và trở thành các ngành theo đúng nghĩa của chúng, bao gồm thống kê, nghiên cứu hoạt động và khoa học máy tính .

Đối với những người thiên về toán học, phần lớn toán học thường có một khía cạnh thẩm mỹ nhất định. Nhiều nhà toán học nói về sự sang trọng của toán học, tính thẩm mỹ nội tại và vẻ đẹp bên trong của nó. Tính đơn giản và tính tổng quát được coi trọng. Có vẻ đẹp trong một chứng minh đơn giản và tao nhã , chẳng hạn như chứng minh của Euclid rằng có vô số số nguyên tố , và trong một phương pháp số thanh lịch giúp tăng tốc độ tính toán, chẳng hạn như phép biến đổi Fourier nhanh . GH Hardy trong lời xin lỗi của nhà toán họcbày tỏ niềm tin rằng những cân nhắc thẩm mỹ này, tự bản thân nó, đủ để biện minh cho việc nghiên cứu toán học thuần túy. Ông xác định các tiêu chí như ý nghĩa, tính bất ngờ, tính tất yếu và tính kinh tế là những yếu tố góp phần tạo nên thẩm mỹ toán học. ^[64] Nghiên cứu toán học thường tìm kiếm các đặc điểm quan trọng của một đối tượng toán học. Một định lý được biểu thị như một đặc điểm của đối tượng bằng các đặc điểm này là giải thưởng. Các ví dụ về các lập luận toán học đặc biệt ngắn gọn và sáng tạo đã được xuất bản trong Proofs from THE BOOK .

Sự phổ biến của toán học giải trí là một dấu hiệu khác của niềm vui mà nhiều người tìm thấy trong việc giải quyết các câu hỏi toán học. Và ở một thái cực xã hội khác, các triết gia tiếp tục tìm ra những vấn đề trong triết học của toán học , chẳng hạn như bản chất của chứng minh toán học . ^[65]

Ký hiệu, ngôn ngữ và tính chặt chẽ

Hầu hết các ký hiệu toán học được sử dụng ngày nay đã không được phát minh cho đến thế kỷ 16. ^[66] Trước đó, toán học được viết ra bằng chữ, hạn chế việc khám phá toán học. ^[67] Euler (1707–1783) chịu trách nhiệm về nhiều ký hiệu được sử dụng ngày nay. Ký hiệu hiện đại làm cho toán học dễ dàng hơn nhiều đối với những người chuyên nghiệp, nhưng những người mới bắt đầu thường cảm thấy khó khăn. Theo Barbara Oakley , điều này có thể là do các ý tưởng toán học vừa trừu tượng hơn vừa được mã hóa nhiều hơn so với các ý tưởng của ngôn ngữ tự nhiên. ^[68] Không giống như ngôn ngữ tự nhiên, nơi mọi người thường có thể đánh đồng một từ (chẳng hạn như bò) với đối tượng vật lý mà nó tương ứng, các ký hiệu toán học là trừu tượng, thiếu bất kỳ tương tự vật lý nào. ^[69] Các ký hiệu toán học cũng được mã hóa cao hơn các từ thông thường, có nghĩa là một ký hiệu đơn lẻ có thể mã hóa một số phép toán hoặc ý tưởng khác nhau. ^[70]

Ngôn ngữ toán học có thể khó hiểu đối với người mới bắt đầu bởi vì ngay cả các thuật ngữ phổ biến, chẳng hạn như hoặc và chỉ , có nghĩa chính xác hơn chúng có trong lời nói hàng ngày và các thuật ngữ khác như mở và trường đề cập đến các ý tưởng toán học cụ thể, không được đề cập trong ý nghĩa của cư sĩ. Ngôn ngữ toán học cũng bao gồm nhiều thuật ngữ kỹ thuật như tính đồng cấu hình và tích phân không có nghĩa bên ngoài toán học. Ngoài ra, các cụm từ viết tắt như iff cho " nếu và chỉ khi " thuộc về biệt ngữ toán học. Có một lý do cho các ký hiệu đặc biệt và từ vựng kỹ thuật: toán học đòi hỏi độ chính xác cao hơn so với lời nói hàng ngày. Các nhà toán học gọi sự chính xác này của ngôn ngữ và logic là "sự chặt chẽ".

Chứng minh toán học về cơ bản là một vấn đề nghiêm ngặt . Các nhà toán học muốn các định lý của họ tuân theo các tiên đề bằng cách lập luận có hệ thống. Điều này nhằm tránh những " định lý " bị nhầm lẫn , dựa trên những trực giác sai lầm, trong đó có nhiều trường hợp đã xảy ra trong lịch sử của môn học. ^[b] Mức độ nghiêm ngặt được mong đợi trong toán học đã thay đổi theo thời gian: người Hy Lạp mong đợi những lập luận chi tiết, nhưng vào thời của Isaac Newtoncác phương pháp được sử dụng ít nghiêm ngặt hơn. Các vấn đề vốn có trong các định nghĩa được Newton sử dụng sẽ dẫn đến sự hồi sinh của phân tích cẩn thận và chứng minh chính thức vào thế kỷ 19. Hiểu sai về tính chặt chẽ là nguyên nhân dẫn đến một số quan niệm sai lầm phổ biến về toán học. Ngày nay, các nhà toán học vẫn tiếp tục tranh luận với nhau về các chứng minh có sự hỗ trợ của máy tính . Vì các phép tính lớn rất khó xác minh, các bằng chứng đó có thể bị sai sót nếu chương trình máy tính được sử dụng có lỗi. ^{[c] [71]} Mặt khác, trợ lý chứng minh cho phép xác minh tất cả các chi tiết không thể đưa ra trong một chứng minh viết tay và cung cấp sự chắc chắn về tính đúng đắn của các chứng minh dài như định lý Feit – Thompson . ^[d]

Tiên đề trong tư tưởng truyền thống là "chân lý hiển nhiên", nhưng quan niệm đó có vấn đề. ^[72] Ở cấp độ hình thức, tiên đề chỉ là một chuỗi ký hiệu, chỉ có ý nghĩa nội tại trong ngữ cảnh của tất cả các công thức dẫn xuất của một hệ tiên đề . Mục tiêu của chương trình của Hilbert là đặt tất cả toán học trên cơ sở tiên đề vững chắc, nhưng theo định lý tính không đầy đủ của Gödel thì mọi hệ tiên đề (đủ mạnh) đều có công thức không thể xác định được ; và vì vậy một tiên đề cuối cùng của toán học là không thể. Tuy nhiên, toán học thường được tưởng tượng là (theo nội dung chính thức của nó) không gì khác ngoài lý thuyết tập hợptrong một số tiên đề hóa, theo nghĩa là mọi phát biểu hoặc chứng minh toán học có thể được chuyển thành công thức trong lý thuyết tập hợp. ^[73]

Các lĩnh vực toán học

Nói chung, toán học có thể được chia nhỏ thành nghiên cứu về số lượng, cấu trúc, không gian và sự thay đổi (tức là số học , đại số , hình học và phân tích ). Ngoài những mối quan tâm chính này, cũng có những phân khu dành riêng cho việc khám phá các liên kết từ trung tâm của toán học đến các lĩnh vực khác: lôgic học , lý thuyết thiết lập ( cơ sở ), toán học thực nghiệm của các ngành khoa học khác nhau ( toán học ứng dụng ), và gần đây là nghiên cứu nghiêm ngặt về sự không chắc chắn . Mặc dù một số lĩnh vực có vẻ không liên quan, nhưng chương trình Langlandsđã tìm thấy mối liên hệ giữa các khu vực trước đây được cho là không liên kết, chẳng hạn như nhóm Galois , bề mặt Riemann và lý thuyết số .

Toán học rời rạc theo quy ước nhóm các lĩnh vực toán học nghiên cứu các cấu trúc toán học về cơ bản là rời rạc thay vì liên tục.

Cơ sở và triết lý

Để làm rõ cơ sở của toán học , các lĩnh vực logic toán học và lý thuyết tập hợp đã được phát triển. Lôgic toán học bao gồm nghiên cứu lôgic toán học và các ứng dụng của lôgic hình thức đối với các lĩnh vực toán học khác; lý thuyết tập hợp là một nhánh của toán học nghiên cứu các tập hợp hoặc tập hợp các đối tượng. Cụm từ "khủng hoảng về nền tảng" mô tả việc tìm kiếm một nền tảng nghiêm ngặt cho toán học diễn ra từ khoảng năm 1900 đến năm 1930. ^[74] Một số bất đồng về nền tảng của toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay. Cuộc khủng hoảng về nền tảng được kích thích bởi một số tranh cãi vào thời điểm đó, bao gồmtranh cãi về lý thuyết tập hợp của Cantor và tranh cãi Brouwer – Hilbert .

Lôgic toán học liên quan đến việc thiết lập toán học trong một khuôn khổ tiên đề chặt chẽ , và nghiên cứu các hàm ý của khuôn khổ đó. Do đó, nó là nơi có các định lý về tính không đầy đủ của Gödel , (một cách không chính thức) ngụ ý rằng bất kỳ hệ thống hình thức hiệu quả nào có chứa số học cơ bản, nếu âm thanh (có nghĩa là tất cả các định lý có thể được chứng minh là đúng), nhất thiết là không đầy đủ (nghĩa là có các định lý đúng mà không thể được chứng minh trong hệ thống đó). Dù bộ sưu tập hữu hạn các tiên đề lý thuyết số được lấy làm nền tảng, Gödel đã chỉ ra cách xây dựng một phát biểu chính thức là một thực tế lý thuyết số đúng, nhưng không tuân theo các tiên đề đó. Do đó, không có hệ thống hình thức nào là một tiên đề hoàn chỉnh của lý thuyết số đầy đủ. Logic học hiện đại được chia thành lý thuyết đệ quy , lý thuyết mô hình và lý thuyết chứng minh , và được liên kết chặt chẽ với khoa học máy tính lý thuyết , ^[75] cũng như lý thuyết phạm trù . Trong bối cảnh của lý thuyết đệ quy, tính bất khả thi của một tiên đề đầy đủ của lý thuyết số cũng có thể được chứng minh một cách chính thức như là một hệ quả của định lý MRDP .

Khoa học máy tính lý thuyết bao gồm lý thuyết computability , lý thuyết độ phức tạp tính toán và lý thuyết thông tin . Lý thuyết tính toán xem xét các hạn chế của các mô hình lý thuyết khác nhau của máy tính, bao gồm cả mô hình nổi tiếng nhất - máy Turing . Lý thuyết độ phức tạp là nghiên cứu về khả năng định vị bằng máy tính; một số vấn đề, mặc dù về mặt lý thuyết có thể giải quyết được bằng máy tính, tốn kém về thời gian hoặc không gian đến mức việc giải quyết chúng dường như là không khả thi trên thực tế, ngay cả với sự tiến bộ nhanh chóng của phần cứng máy tính. Một bài toán nổi tiếng là bài toán " P = NP ? ", Một trong những bài toán Giải Thiên niên kỷ .^[76] Cuối cùng, lý thuyết thông tin liên quan đến lượng dữ liệu có thể được lưu trữ trên một phương tiện nhất định, và do đó đề cập đến các khái niệm như nén và entropy .

${\displaystyle p\Rightarrow q}$
Lôgic toán học	Lý thuyết tập hợp	Lý thuyết phạm trù	Lý thuyết tính toán

Toán học thuần túy

Hệ thống số và lý thuyết số

Nghiên cứu về số lượng bắt đầu với các con số, đầu tiên là các số tự nhiên và số nguyên quen thuộc ("số nguyên") và các phép toán số học trên chúng, được đặc trưng trong số học . Các tính chất sâu hơn của số nguyên được nghiên cứu trong lý thuyết số , từ đó đưa ra các kết quả phổ biến như Định lý cuối cùng của Fermat . Các số nguyên tố sinh đôi giả thuyết và phỏng đoán Goldbach của hai vấn đề chưa được giải quyết về mặt lý thuyết số.${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Khi hệ thống số được phát triển hơn nữa, các số nguyên được công nhận là một tập hợp con của các số hữu tỉ (" phân số "). Đến lượt nó, chúng được chứa trong các số thực , được sử dụng để biểu thị giới hạn của dãy số hữu tỉ và đại lượng liên tục . Số thực được tổng quát thành số phức . Theo định lý cơ bản của đại số , tất cả các phương trình đa thức trong một ẩn số với hệ số phức đều có nghiệm trong số phức, bất kể bậc của đa thức. và là các bước đầu tiên của hệ thống phân cấp số tiếp tục bao gồm${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {N} ,\ \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ,\ \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$quaternion và octonion . Việc xem xét các số tự nhiên cũng dẫn đến các số vô hạn , điều này chính thức hóa khái niệm " vô cùng ". Một lĩnh vực nghiên cứu khác là kích thước của các tập hợp, được mô tả bằng các con số chính . Chúng bao gồm các số aleph , cho phép so sánh có ý nghĩa kích thước của các tập hợp lớn vô hạn.

${\displaystyle (0),1,2,3,\ldots }$	${\displaystyle \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots }$	${\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21}$	${\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi }$	${\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}}$	${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }$
Số tự nhiên	Số nguyên	Số hữu tỉ	Số thực	Số phức	Hồng y vô hạn

Kết cấu

Nhiều đối tượng toán học, chẳng hạn như tập hợp số và hàm , thể hiện cấu trúc bên trong như là hệ quả của các phép toán hoặc quan hệ được xác định trên tập hợp. Sau đó, toán học nghiên cứu các thuộc tính của những tập hợp đó có thể được biểu diễn dưới dạng cấu trúc đó; Ví dụ, lý thuyết số nghiên cứu các thuộc tính của tập hợp các số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng các phép toán số học . Hơn nữa, nó thường xuyên xảy ra rằng các tập hợp có cấu trúc (hoặc cấu trúc ) khác nhau thể hiện các thuộc tính tương tự, điều này làm cho nó có thể, bằng một bước trừu tượng hơn , để phát biểu các tiên đềcho một lớp cấu trúc, và sau đó nghiên cứu cùng một lúc toàn bộ lớp cấu trúc thỏa mãn các tiên đề này. Do đó người ta có thể nghiên cứu các nhóm , vòng , trường và các hệ thống trừu tượng khác; cùng những nghiên cứu như vậy (đối với các cấu trúc được xác định bởi các phép toán đại số) tạo thành lĩnh vực đại số trừu tượng .

Bằng tính tổng quát tuyệt vời của nó, đại số trừu tượng thường có thể được áp dụng cho các vấn đề dường như không liên quan; Ví dụ, một số vấn đề cổ xưa liên quan đến cấu tạo la bàn và thước thẳng cuối cùng đã được giải quyết bằng cách sử dụng lý thuyết Galois , liên quan đến lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Một ví dụ khác của lý thuyết đại số là đại số tuyến tính , là nghiên cứu tổng quát về không gian vectơ , mà các phần tử được gọi là vectơ có cả số lượng và hướng, và có thể được sử dụng để mô hình hóa (quan hệ giữa) các điểm trong không gian. Đây là một ví dụ về hiện tượng mà các lĩnh vực ban đầu không liên quan của hình học và đại số lại có tương tác rất mạnh trong toán học hiện đại.Tổ hợp nghiên cứu các cách liệt kê số lượng đối tượng phù hợp với một cấu trúc nhất định.

${\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}$
Tổ hợp	Lý thuyết số	Lý thuyết nhóm	Lý thuyết đồ thị	Lý thuyết trật tự	Đại số học

Không gian

Nghiên cứu về không gian bắt nguồn từ hình học — cụ thể là hình học Euclid , kết hợp giữa không gian và số, và bao gồm định lý Pitago nổi tiếng . Lượng giác là một nhánh của toán học liên quan đến các mối quan hệ giữa các cạnh và các góc của tam giác và với các hàm lượng giác. Nghiên cứu hiện đại về không gian khái quát những ý tưởng này để bao gồm hình học chiều cao hơn, hình học phi Euclid (đóng vai trò trung tâm trong thuyết tương đối rộng ) và tôpô . Cả số lượng và không gian đều đóng một vai trò trong hình học giải tích , hình học vi phân vàhình học đại số . Hình học lồi và hình học rời rạc được phát triển để giải quyết các vấn đề trong lý thuyết số và phân tích hàm số nhưng hiện nay đang được theo đuổi với mục đích hướng đến các ứng dụng trong tối ưu hóa và khoa học máy tính . Trong hình học vi phân là các khái niệm về bó sợi và phép tính trên đa tạp , cụ thể là phép tính vectơ và tensor . Trong hình học đại số là việc mô tả các đối tượng hình học dưới dạng tập nghiệm của các phương trình đa thức , kết hợp các khái niệm về đại lượng và không gian, đồng thời cũng là nghiên cứu vềnhóm tôpô , kết hợp cấu trúc và không gian. Nhóm nói dối được sử dụng để nghiên cứu không gian, cấu trúc và sự thay đổi. Tôpô trong tất cả các phân nhánh của nó có thể là lĩnh vực phát triển lớn nhất trong toán học thế kỷ 20; nó bao gồm point-set topo , bộ lý thuyết topo , topo đại số và topo khác biệt . Đặc biệt, các trường hợp của cấu trúc liên kết ngày nay là lý thuyết biến thiên , lý thuyết tập tiên đề , lý thuyết tương đồng và lý thuyết Morse . Tôpô cũng bao gồm phỏng đoán Poincaré hiện đã được giải quyết, và các khu vực vẫn chưa được giải quyết của phỏng đoán Hodge . Các kết quả khác về hình học và cấu trúc liên kết, bao gồm định lý bốn màu và phỏng đoán Kepler , đã được chứng minh chỉ với sự trợ giúp của máy tính.

Hình học	Lượng giác	Hình học vi phân	Tôpô	Hình học Fractal	Lý thuyết đo lường

Thay đổi

Hiểu và mô tả sự thay đổi là một chủ đề phổ biến trong khoa học tự nhiên và giải tích được phát triển như một công cụ để điều tra nó. Chức năng phát sinh ở đây như một khái niệm trung tâm mô tả một đại lượng thay đổi. Việc nghiên cứu nghiêm ngặt các số thực và hàm của một biến số thực được gọi là phép phân tích thực , với phép phân tích phức là trường tương đương cho các số phức . Phân tích chức năng tập trung chú ý vào (thường là vô hạn chiều) không gian chức năng. Một trong nhiều ứng dụng của phân tích chức năng là cơ học lượng tử. Nhiều bài toán tự nhiên dẫn đến các mối quan hệ giữa một đại lượng và tốc độ thay đổi của nó, và chúng được nghiên cứu dưới dạng phương trình vi phân . Nhiều hiện tượng trong tự nhiên có thể được mô tả bằng hệ thống động lực học ; lý thuyết hỗn loạn làm cho chính xác các cách mà nhiều hệ thống này thể hiện hành vi không thể đoán trước nhưng vẫn xác định .

Ứng dụng toán học

Toán học ứng dụng liên quan đến các phương pháp toán học thường được sử dụng trong khoa học, kỹ thuật , kinh doanh và công nghiệp . Như vậy, “toán học ứng dụng” là một môn khoa học toán học với các kiến thức chuyên ngành . Thuật ngữ toán học ứng dụng cũng mô tả chuyên môn nghiệp vụ trong đó các nhà toán học làm việc trên các vấn đề thực tế; là một nghề tập trung vào các vấn đề thực tế, toán học ứng dụng tập trung vào việc "xây dựng, nghiên cứu và sử dụng các mô hình toán học" trong khoa học, kỹ thuật và các lĩnh vực thực hành toán học khác.

Trong quá khứ, các ứng dụng thực tế đã thúc đẩy sự phát triển của các lý thuyết toán học, sau đó trở thành chủ đề nghiên cứu của toán học thuần túy, nơi toán học được phát triển chủ yếu vì lợi ích của nó. Vì vậy, hoạt động của toán học ứng dụng được kết nối quan trọng với nghiên cứu toán học thuần túy .

Thống kê và các khoa học quyết định khác

Toán học ứng dụng có sự trùng lặp đáng kể với ngành thống kê, mà lý thuyết của nó được xây dựng một cách toán học, đặc biệt là với lý thuyết xác suất . Các nhà thống kê (làm việc như một phần của dự án nghiên cứu) "tạo ra dữ liệu có ý nghĩa" bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên và bằng các thí nghiệm ngẫu nhiên ; ^[77] thiết kế của một mẫu thống kê hoặc thử nghiệm chỉ định việc phân tích dữ liệu (trước khi dữ liệu có sẵn). Khi xem xét lại dữ liệu từ các thí nghiệm và mẫu hoặc khi phân tích dữ liệu từ các nghiên cứu quan sát , các nhà thống kê "hiểu dữ liệu" bằng cách sử dụng nghệ thuật lập mô hình và lý thuyết suy luận —với việc lựa chọn mô hìnhvà ước tính ; các mô hình ước tính và dự đoán hậu quả nên được thử nghiệm trên dữ liệu mới . ^[e]

Lý thuyết thống kê nghiên cứu các vấn đề quyết định như giảm thiểu rủi ro ( tổn thất dự kiến ) của một hành động thống kê, chẳng hạn như sử dụng một thủ tục trong, ví dụ, ước lượng tham số , kiểm tra giả thuyết và lựa chọn điều tốt nhất . Trong các lĩnh vực thống kê toán học truyền thống này , một bài toán thống kê-quyết định được xây dựng bằng cách tối thiểu hóa một hàm mục tiêu , như tổn thất hoặc chi phí dự kiến , dưới những ràng buộc cụ thể: Ví dụ, thiết kế một cuộc khảo sát thường liên quan đến việc giảm thiểu chi phí ước tính trung bình dân số với một mức độ tự tin. ^[78]Do việc sử dụng tính tối ưu của nó , lý thuyết thống kê toán học chia sẻ mối quan tâm với các khoa học quyết định khác , chẳng hạn như nghiên cứu hoạt động , lý thuyết điều khiển và kinh tế học toán học . ^[79]

Toán tính toán

Toán học tính toán đề xuất và nghiên cứu các phương pháp giải quyết các vấn đề toán học thường quá lớn so với khả năng tính toán của con người. Phân tích số nghiên cứu các phương pháp cho các vấn đề trong phân tích bằng cách sử dụng phân tích hàm và lý thuyết xấp xỉ ; phân tích số bao gồm việc nghiên cứu về tính gần đúng và tính tùy ý nói chung với mối quan tâm đặc biệt đối với các lỗi làm tròn . Phân tích số và rộng hơn là máy tính khoa học cũng nghiên cứu các chủ đề không phân tích của khoa học toán học, đặc biệt là ma trận thuật toán và lý thuyết đồ thị. Các lĩnh vực khác của toán học tính toán bao gồm đại số máy tính và tính toán biểu tượng .

Giải thưởng toán học

Có thể cho rằng giải thưởng danh giá nhất trong toán học là Huy chương Fields , ^{[80] [81]} được thành lập vào năm 1936 và được trao bốn năm một lần (trừ khoảng Thế chiến thứ hai) cho nhiều nhất bốn cá nhân. Huy chương Fields thường được coi là một giải thưởng toán học tương đương với giải Nobel.

Giải Wolf về Toán học , được thành lập vào năm 1978, công nhận thành tích suốt đời và một giải thưởng quốc tế lớn khác, giải Abel , được lập vào năm 2003. Huy chương Chern được giới thiệu vào năm 2010 để công nhận thành tích suốt đời. Những giải thưởng này được trao để công nhận một nhóm công việc cụ thể, có thể mang tính đổi mới hoặc cung cấp giải pháp cho một vấn đề còn tồn tại trong một lĩnh vực đã được thiết lập.

Một danh sách nổi tiếng gồm 23 bài toán mở , được gọi là "Các bài toán của Hilbert ", được biên soạn vào năm 1900 bởi nhà toán học người Đức David Hilbert . Danh sách này đạt được danh tiếng lớn trong số các nhà toán học, và ít nhất 9 trong số các vấn đề hiện đã được giải quyết. Một danh sách mới gồm bảy bài toán quan trọng, có tiêu đề " Các bài toán của Giải Thiên niên kỷ ", được xuất bản vào năm 2000. Chỉ một trong số chúng, giả thuyết Riemann , trùng lặp một trong các bài toán của Hilbert. Một giải pháp cho bất kỳ vấn đề nào trong số này mang lại phần thưởng 1 triệu đô la. Hiện tại, chỉ có một trong những vấn đề này, phỏng đoán Poincaré , đã được giải quyết.

Xem thêm

Ghi chú

Người giới thiệu

Thư mục

đọc thêm