Đặt (toán học)

Khái niệm tập hợp xuất hiện trong toán học vào cuối thế kỷ 19. ^[6] Từ tiếng Đức cho bộ, Menge , được đặt ra bởi Bernard Bolzano trong tác phẩm Paradoxes of the Infinite . ^{[7] [8] [9]}

Đoạn văn có bản dịch từ định nghĩa gốc của Georg Cantor. Từ tiếng Đức Menge cho bộ được dịch với tổng hợp ở đây.

Georg Cantor , một trong những người sáng lập lý thuyết tập hợp, đã đưa ra định nghĩa sau đây vào đầu Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre của ông : ^[10]

Tập hợp là sự tập hợp lại với nhau thành một tổng thể các đối tượng xác định, riêng biệt của nhận thức hoặc suy nghĩ của chúng ta — được gọi là các phần tử của tập hợp.

Lý thuyết tập hợp ngây thơ

Thuộc tính quan trọng nhất của một tập hợp là nó có thể có các phần tử, còn được gọi là các thành viên . Hai tập hợp bằng nhau khi chúng có các phần tử giống nhau. Chính xác hơn, tập A và B là bằng nhau nếu mọi phần tử của A là thành viên của B , và mọi phần tử của B đều là một phần tử của A ; thuộc tính này được gọi là tính mở rộng của các tập hợp . ^[11]

Khái niệm đơn giản về một tập hợp đã tỏ ra vô cùng hữu ích trong toán học, nhưng nghịch lý lại nảy sinh nếu không có giới hạn nào được đặt ra về cách các tập hợp có thể được xây dựng:

• Nghịch lý Russell cho thấy rằng "tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa chính chúng ", tức là, { x | x là một tập hợp và x ∉ x }, không thể tồn tại.
• Nghịch lý Cantor cho thấy “tập hợp của tất cả các tập hợp” không thể tồn tại.

Lý thuyết tập hợp ngây thơ định nghĩa một tập hợp là bất kỳ tập hợp được xác định rõ ràng của các phần tử riêng biệt, nhưng các vấn đề nảy sinh từ sự mơ hồ của thuật ngữ được xác định rõ ràng .

Lý thuyết tập tiên đề

Trong những nỗ lực tiếp theo để giải quyết những nghịch lý này kể từ thời điểm hình thành lý thuyết tập hợp sơ khai ban đầu, các tính chất của tập hợp đã được xác định bởi các tiên đề . Lý thuyết tập hợp tiên đề lấy khái niệm tập hợp làm khái niệm sơ khai . ^[12] Mục đích của tiên đề là cung cấp một khuôn khổ cơ bản để từ đó suy ra tính đúng hay sai của các mệnh đề toán học cụ thể (phát biểu) về tập hợp, sử dụng logic bậc nhất . Theo định lý bất toàn Gödel tuy nhiên, nó không thể sử dụng logic bậc nhất để chứng minh bất kỳ đặc biệt lý thuyết tiên đề thiết lập như là miễn phí từ nghịch lý. ^{[ cần dẫn nguồn ]}

Văn bản toán học thường được tập hợp biểu thị bằng chữ in hoa ^{[13] [4] [14]} trong nghiêng , chẳng hạn như A , B , C . ^{[14] [15]} Một tập hợp cũng có thể được gọi là tập hợp hoặc họ , đặc biệt khi các phần tử của nó chính là tập hợp.

Định nghĩa ngữ nghĩa

Một cách để xác định một tập hợp là sử dụng quy tắc để xác định các phần tử là gì:

Gọi A là tập hợp có các thành viên là bốn số nguyên dương đầu tiên .

Gọi B là tập hợp các màu của lá cờ Pháp .

Định nghĩa như vậy còn được gọi là mô tả ngữ nghĩa . ^{[16] [17]}

Ký hiệu đội hình

Kí hiệu danh sách hoặc bảng liệt kê xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó giữa các dấu ngoặc nhọn , được phân tách bằng dấu phẩy: ^{[18] [19] [20] [21]}

A = {4, 2, 1, 3}

B = {xanh lam, trắng, đỏ}.

Trong một tập hợp, tất cả những gì quan trọng là mỗi phần tử có nằm trong đó hay không, vì vậy thứ tự của các phần tử trong ký hiệu danh sách là không liên quan (ngược lại, trong một chuỗi , một bộ hoặc một hoán vị của một tập hợp , thứ tự của điều khoản quan trọng). Ví dụ: {2, 4, 6} và {4, 6, 2} đại diện cho cùng một tập hợp. ^{[22] [15] [23]}

Đối với những tập hợp có nhiều phần tử, đặc biệt là những tập hợp theo một mẫu không tường minh, danh sách các phần tử có thể được viết tắt bằng cách sử dụng dấu chấm lửng "...". ^{[24] [25]} Ví dụ: tập hợp hàng nghìn số nguyên dương đầu tiên có thể được chỉ định trong ký hiệu danh sách là

{1, 2, 3, ..., 1000}.

Tập hợp vô hạn trong ký hiệu danh sách

Tập hợp vô hạn là tập hợp có danh sách vô tận các phần tử. Để mô tả một tập hợp vô hạn trong ký hiệu danh sách, một dấu chấm lửng được đặt ở cuối danh sách hoặc ở cả hai đầu, để chỉ ra rằng danh sách tiếp tục mãi mãi. Ví dụ: tập hợp các số nguyên không âm là

{0, 1, 2, 3, 4, ...},

và tập hợp tất cả các số nguyên là

{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Ký hiệu trình tạo tập hợp

Ký hiệu trình tạo tập hợp chỉ định một tập hợp là một lựa chọn từ một tập hợp lớn hơn, được xác định bởi một điều kiện trên các phần tử. ^{[17] [26] [27]} Ví dụ, một tập F có thể được định nghĩa như sau:

F${\ displaystyle = \ {n \ mid n {\ text {là một số nguyên và}} 0 \ leq n \ leq 19 \}.}$

Trong ký hiệu này, thanh dọc "|" có nghĩa là "sao cho", và mô tả có thể được hiểu là " F là tập hợp tất cả các số n sao cho n là một số nguyên trong phạm vi từ 0 đến 19". Một số tác giả sử dụng dấu hai chấm ":" thay cho thanh dọc. ^[28]

Phân loại các phương pháp định nghĩa

Triết học sử dụng các thuật ngữ cụ thể để phân loại các loại định nghĩa:

• Một định nghĩa chuyên sâu sử dụng một quy tắc để xác định tư cách thành viên. Các định nghĩa và định nghĩa ngữ nghĩa sử dụng ký hiệu bộ xây dựng là những ví dụ.
• Một định nghĩa mở rộng mô tả một tập hợp bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó . ^[17] Các định nghĩa như vậy còn được gọi là liệt kê .
• Một định nghĩa ostensive là một trong đó mô tả một tập bằng cách cho ví dụ của các yếu tố; một bảng phân công liên quan đến dấu chấm lửng sẽ là một ví dụ.

Nếu B là một tập hợp và x là một phần tử của B , điều này được viết tắt là x ∈ B , cũng có thể được đọc là "x thuộc B" , hoặc "x thuộc B" . ^[11] Câu lệnh "y không phải là phần tử của B" được viết là y ∉ B , cũng có thể được đọc là hoặc "y không thuộc B" . ^{[29] [14] [30]}

Ví dụ, đối với các tập A = {1, 2, 3, 4}, B = {blue, white, red} và F = { n | n là một số nguyên và 0 ≤ n ≤ 19},

4 ∈ A và 12 ∈ F ; và

20 ∉ F và xanh ∉ B .

Tập hợp rỗng (hay tập hợp rỗng ) là tập hợp duy nhất không có thành viên nào. Nó được ký hiệu là ∅ hoặc${\ displaystyle \ blankset}$hoặc là { }. ^{[31] [14] [32]}

Một tập hợp singleton là một tập hợp có chính xác một phần tử; một tập hợp như vậy cũng có thể được gọi là một tập hợp đơn vị . ^[5] Bất kỳ tập hợp nào như vậy đều có thể được viết dưới dạng { x }, trong đó x là phần tử. Tập hợp { x } và phần tử x có nghĩa khác nhau; Halmos ^[33] rút ra một phép tương tự rằng một chiếc hộp đựng một chiếc mũ không giống với chiếc mũ.

Nếu mọi phần tử của tập hợp A cũng nằm trong B , sau đó A được mô tả như là một tập hợp con của B , hoặc chứa trong B , được viết Một ⊆ B . ^[34] B ⊇ A có nghĩa là B chứa A , B bao gồm A , hoặc B là một tập hợp con của A ; B ⊇ Một là tương đương với A ⊆ B . ^{[35] [14]} Các mối quan hệ giữa các bộ lập bởi ⊆ được gọi là hòa nhập hoặc ngăn chặn . Hai bộ đều bình đẳng nếu chúng chứa lẫn nhau: Một ⊆ B và B ⊆ A tương đương với A = B . ^[26]

Nếu Một là một tập hợp con của B , nhưng A không bằng B , sau đó Một được gọi là một tập hợp con thích hợp của B . Điều này có thể được viết Một ⊊ B . Tương tự như vậy, B ⊋ Một nghĩa B là một superset đúng của A , tức là B chứa A , và không bằng Một .

Cặp toán tử thứ ba ⊂ và ⊃ được các tác giả khác nhau sử dụng khác nhau: một số tác giả sử dụng A ⊂ B và B ⊃ A có nghĩa là A là bất kỳ tập con nào của B (và không nhất thiết phải là tập hợp con thích hợp), ^{[36] [29]} trong khi những người khác dự trữ một ⊂ B và B ⊃ một trường hợp A là một tập hợp con thích hợp của B . ^[34]

Ví dụ:

• Tập hợp tất cả con người là một tập hợp con thích hợp của tập hợp tất cả các loài động vật có vú.
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp, ^[31] và mọi tập hợp là tập hợp con của chính nó: ^[36]

• ∅ ⊆ Một .
• Một ⊆ Một .

A là một tập hợp con của B

Một sơ đồ Euler là một đại diện đồ họa của một bộ sưu tập các bộ; mỗi tập hợp được mô tả như một vùng phẳng được bao quanh bởi một vòng lặp, với các phần tử của nó bên trong. Nếu Một là một tập hợp con của B , sau đó các khu vực đại diện cho A là hoàn toàn bên trong khu vực đại diện cho B . Nếu hai tập hợp không có phần tử nào chung thì các vùng không trùng nhau.

Một sơ đồ Venn , ngược lại, là một đại diện đồ họa của n bộ, trong đó n vòng chia mặt phẳng thành 2 ⁿ khu như vậy mà cho mỗi cách lựa chọn một số các n bộ (có thể là tất cả hoặc không có), có một khu vực cho các phần tử thuộc về tất cả các tập hợp đã chọn và không thuộc về các tập hợp khác. Ví dụ, nếu các tập hợp là A , B và C , thì phải có một vùng cho các phần tử bên trong A và C và bên ngoài B (ngay cả khi các phần tử đó không tồn tại).

Các số tự nhiên ℕ được chứa trong số nguyên ℤ, được chứa trong số hữu tỉ ℚ, được chứa trong số thực ℝ, được chứa trong số phức ℂ

Có những tập hợp có tầm quan trọng toán học như vậy, mà các nhà toán học đề cập đến thường xuyên, đến nỗi họ đã có được những cái tên đặc biệt và các quy ước ký hiệu để xác định chúng.

Nhiều tập hợp quan trọng này được biểu diễn trong các văn bản toán học bằng cách sử dụng chữ in đậm (ví dụ: Z ) hoặc chữ đậm (ví dụ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$) kiểu chữ. ^[37] Chúng bao gồm ^[14]

• N hoặc${\ displaystyle \ mathbb {N}}$, tập hợp tất cả các số tự nhiên : N = {0, 1, 2, 3, ...} (một số tác giả loại trừ 0 ); ^[37]
• Z hoặc${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$, tập hợp tất cả các số nguyên (dương, âm hoặc 0): Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} ; ^[37]
• Q hoặc${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$, Tập hợp tất cả số hữu tỉ (có nghĩa là, các thiết lập của tất cả thích hợp và các phần phân đoạn không thích hợp ): Q = { một / b | a , b ∈ Z , b ≠ 0} . Ví dụ, -7/4 ∈ Q và 5 = 5/1 ∈ Q ; ^[37]
• R hoặc${\ displaystyle \ mathbb {R}}$, tập hợp tất cả các số thực , bao gồm tất cả các số hữu tỉ và tất cả các số vô tỉ (bao gồm các số đại số như √ 2 không thể viết lại dưới dạng phân số, cũng như các số siêu việt như π và e ); ^[37]
• C hoặc${\ displaystyle \ mathbb {C}}$, tập hợp tất cả các số phức : C = { a + bi | một , b ∈ R } , ví dụ, 1 + 2 i ∈ C . ^[37]

Mỗi tập hợp số trên có vô số phần tử. Mỗi bộ là một tập hợp con của các tập hợp được liệt kê bên dưới nó.

Tập hợp các số dương hoặc âm đôi khi được biểu thị bằng dấu cộng và dấu trừ tương ứng. Ví dụ,${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {+}}$ biểu diễn tập hợp các số hữu tỉ dương.

Một hàm (hoặc ánh xạ ) từ tập hợp A đến tập hợp B là một quy tắc gán cho mỗi phần tử "đầu vào" của A một "đầu ra" là phần tử của B ; chính thức hơn, một chức năng là một loại đặc biệt của mối quan hệ , người ta có liên quan mỗi phần tử của A để đúng một yếu tố của B . Một hàm được gọi là

• bất lợi (hoặc một đối một) nếu nó ánh xạ bất kỳ hai phần tử khác nhau của A với các phần tử khác nhau của B ,
• surjective (hoặc lên) nếu với mọi phần tử của B , có ít nhất một phần tử của A ánh xạ tới nó, và
• bijective (hoặc tương ứng một-một) nếu hàm vừa là hàm phân tích vừa là hàm phụ - trong trường hợp này, mỗi phần tử của A được ghép nối với một phần tử duy nhất của B và mỗi phần tử của B được ghép nối với một phần tử duy nhất của A , để không có phần tử chưa được ghép nối.

Một đơn ánh được gọi là tiêm , một chức năng surjective được gọi là một surjection , và một hàm song ánh được gọi là một song ánh hay one-to-one thư .

Bản số của một tập hợp S , được ký hiệu là | S |, là số lượng thành viên của S . ^[38] Ví dụ, nếu B = {xanh lam, trắng, đỏ}, thì | B | = 3 . Các thành viên lặp lại trong ký hiệu danh sách không được tính, ^{[39] [40]} vì vậy | {xanh lam, trắng, đỏ, xanh lam, trắng} | = 3 nữa.

Chính thức hơn, hai bộ chia sẻ cùng một bản số nếu tồn tại sự tương ứng một-một giữa chúng.

Cardinality của tập hợp rỗng bằng không. ^[41]

Tập hợp vô hạn và số lượng vô hạn

Danh sách các phần tử của một số tập hợp là vô tận hoặc vô hạn . Ví dụ, bộ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$của số tự nhiên là vô hạn. ^[26] Trên thực tế, tất cả các bộ số đặc biệt được đề cập trong phần trên, là vô hạn. Tập hợp vô hạn có số lượng vô hạn .

Một số thẻ số vô hạn lớn hơn các thẻ số khác. Các bộ có cùng số lượng như${\ displaystyle \ mathbb {N}}$được gọi là tập hợp đếm được . Có thể cho rằng một trong những kết quả quan trọng nhất từ ​​lý thuyết tập hợp là tập hợp các số thực có bản số lớn hơn tập hợp các số tự nhiên. ^[42] Các tập hợp với số lượng lớn hơn tập hợp các số tự nhiên được gọi là tập hợp không đếm được .

Tuy nhiên, có thể chỉ ra rằng bản số của một đường thẳng (tức là số điểm trên một đường thẳng) cũng giống như bản số của bất kỳ đoạn nào của đường thẳng đó, của toàn bộ mặt phẳng và thực sự là của bất kỳ Euclide hữu hạn chiều nào. không gian . ^[43]

Giả thuyết chân không liên tục

Giả thuyết chân không liên tục, do Georg Cantor đưa ra vào năm 1878, là tuyên bố rằng không có tập hợp nào có tính chất nghiêm ngặt giữa bản số của các số tự nhiên và bản số của một đường thẳng. ^[44] Năm 1963, Paul Cohen chứng minh rằng Giả thuyết liên tục độc lập với hệ tiên đề ZFC bao gồm lý thuyết tập hợp Zermelo – Fraenkel với tiên đề lựa chọn . ^[45] (ZFC là phiên bản được nghiên cứu rộng rãi nhất của lý thuyết tập tiên đề.)

Tập hợp sức mạnh của một tập S là tập hợp của tất cả các tập con của S . ^[26] Các tập rỗng và S chính là những yếu tố của tập sức mạnh của S bởi vì đây là cả hai tập con của S . Ví dụ: tập hợp lũy thừa của {1, 2, 3} là {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}}. Tập hợp sức mạnh của một tập S thường được viết dưới dạng P ( S ) hoặc 2 ^P . ^{[26] [46] [14] [15]}

Tập hợp lũy thừa của một tập hợp hữu hạn có n phần tử thì có 2 ⁿ phần tử. ^[47] Ví dụ, tập hợp {1, 2, 3} chứa ba phần tử và tập hợp lũy thừa được hiển thị ở trên chứa 2 ³ = 8 phần tử.

Tập hợp lũy thừa của một tập hợp vô hạn (có thể đếm được hoặc không đếm được ) luôn không đếm được. Hơn nữa, trong khuôn khổ được sử dụng rộng rãi nhất của lý thuyết tập hợp, tập hợp lũy thừa của một tập hợp luôn luôn "lớn hơn" so với tập ban đầu, theo nghĩa là không có cách nào để ghép nối mọi phần tử của S với chính xác một phần tử của P ( S ). (Không bao giờ có bản đồ hoặc phép bổ sung từ S lên P ( S ).) ^[48]

Một phân hoạch của một tập hợp S là một tập hợp các tập con khác rỗng của S , sao cho mọi phần tử x trong S đều nằm trong chính xác một trong các tập con này. Đó là, các tập con là rời nhau cặp (có nghĩa là bất kỳ hai bộ phân vùng không chứa yếu tố chung), và các công đoàn của tất cả các tập con của phân vùng đó là S . ^{[49] [50]}

Có một số hoạt động cơ bản để xây dựng các tập hợp mới từ các tập hợp đã cho.

Đoàn thể

Sự kết hợp của A và B , được ký hiệu là A ∪ B

Hai tập hợp có thể được "thêm vào" với nhau. Các công đoàn của A và B , ký hiệu là A  ∪  B , ^[14] là tập hợp của tất cả mọi sự là thành viên của một trong hai Một hoặc B .

Ví dụ:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Một số tính chất cơ bản của công đoàn:

• Một ∪ B = B ∪ Một .
• Một ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C .
• A ⊆ ( A ∪ B ).
• Một ∪ A = A .
• Một ∪ ∅ = Một .
• Một ⊆ B khi và chỉ khi A ∪ B = B .

Giao lộ

Một tập hợp mới cũng có thể được xây dựng bằng cách xác định thành viên nào mà hai tập hợp có "điểm chung". Các ngã tư của A và B , ký hiệu là A ∩ B , ^[14] là tập hợp của tất cả những điều mà là thành viên của cả hai Một và B . Nếu A ∩ B = ∅, thì A và B được cho là rời rạc .

Các ngã tư của A và B , ký hiệu là A ∩ B .

Ví dụ:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Một số tính chất cơ bản của nút giao thông:

• Một ∩ B = B ∩ Một .
• A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C .
• Một ∩ B ⊆ A .
• Một ∩ A = A .
• A ∩ ∅ = ∅.
• Một ⊆ B khi và chỉ khi A ∩ B = A .

Bổ sung

Phần bù tương đối
của B trong A

Phần bù của A trong U

Hiệu số đối xứng của A và B

Hai tập hợp cũng có thể được "trừ". Phần bù tương đối của B trong A (còn được gọi là hiệu số lý thuyết tập hợp của A và B ), được ký hiệu là A \ B (hoặc A - B ), ^[14] là tập hợp tất cả các phần tử là thành viên của A, nhưng không các thành viên của B . Nó hợp lệ để "trừ" các thành viên của một tập hợp không có trong tập hợp, chẳng hạn như loại bỏ phần tử màu xanh lá cây khỏi tập hợp {1, 2, 3}; làm như vậy sẽ không ảnh hưởng đến các phần tử trong tập hợp.

Trong các cài đặt nhất định, tất cả các tập hợp đang thảo luận được coi là các tập hợp con của một tập hợp phổ quát U nhất định . Trong những trường hợp như vậy, U \ A được gọi là phần bù tuyệt đối hay đơn giản là phần bù của A , và được ký hiệu là A ′ hoặc A ^c . ^[14]

• A ′ = U \ A

Ví dụ:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
• Nếu U là tập hợp các số nguyên, E là tập hợp các số nguyên chẵn, và O là tập hợp các số nguyên lẻ, sau đó U \ E = E '= O .

Một số thuộc tính cơ bản của phần bổ sung bao gồm:

• Một \ B ≠ B \ A cho A ≠ B .
• A ∪ A ′ = Ư .
• A ∩ A ′ = ∅.
• ( Một ')' = A .
• ∅ \ A = ∅.
• Một \ ∅ = Một .
• A \ A = ∅.
• A \ U = ∅.
• A \ A ′ = A và A ′ \ A = A ′.
• U '= ∅ và ∅' = U .
• A \ B = A ∩ B ′ .
• nếu A ⊆ B thì A \ B = ∅.

Phần mở rộng của phần bù là hiệu số đối xứng , được xác định cho các tập A , B là

${\ displaystyle A \, \ Delta \, B = (A \ setminus B) \ cup (B \ setminus A).}$

Ví dụ: hiệu số đối xứng của {7, 8, 9, 10} và {9, 10, 11, 12} là tập hợp {7, 8, 11, 12}. Tập hợp lũy thừa của bất kỳ tập hợp nào trở thành một vòng Boolean với hiệu số đối xứng là phép cộng của vòng (với tập trống là phần tử trung tính) và giao là phép nhân của vòng.

Sản phẩm Descartes

Một tập hợp mới có thể được xây dựng bằng cách liên kết mọi phần tử của một tập hợp với mọi phần tử của tập hợp khác. Các sản phẩm Descartes của hai bộ A và B , ký hiệu là A × B, ^[14] là tập hợp của tất cả các cặp có thứ tự ( một , b ) sao cho một là thành viên của A và b là thành viên của B .

Ví dụ:

• {1, 2} × {đỏ, trắng, xanh lục} = {(1, đỏ), (1, trắng), (1, xanh lục), (2, đỏ), (2, trắng), (2, xanh lục) }.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Một số tính chất cơ bản của tích Đề-các:

• A × ∅ = ∅.
• A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
• ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ).

Cho A và B là các tập hữu hạn; thì tích số của tích Descartes là tích của các tích số:

• | A × B  | = | B × A  | = | A  | × | B  |

Bộ có mặt khắp nơi trong toán học hiện đại. Ví dụ, các cấu trúc trong đại số trừu tượng , chẳng hạn như nhóm , trường và vòng , là các tập hợp được đóng dưới một hoặc nhiều phép toán.

Một trong những ứng dụng chính của lý thuyết tập hợp ngây thơ là trong việc xây dựng các quan hệ . Một mối quan hệ từ một miền Một đến một codomain B là một tập hợp con của sản phẩm Descartes Một × B . Ví dụ, xem xét tập hợp S = {oẳn tù tì} của các hình trong trò chơi cùng tên, quan hệ "nhịp đập" từ S đến S là tập hợp B = {(kéo, giấy), (giấy, đá ), (oẳn tù tì)}; do đó x nhịp đập y trong trò chơi nếu cặp ( x , y ) là thành viên của B . Một ví dụ khác là tập F của tất cả các cặp ( x , x ² ), trong đó x là thực. Quan hệ này là một tập con của R × R , bởi vì tập hợp tất cả các hình vuông là tập hợp con của tập hợp tất cả các số thực. Vì với mọi x trong R , một và chỉ một cặp ( x , ...) được tìm thấy trong F , nó được gọi là một hàm . Trong ký hiệu chức năng, quan hệ này có thể được viết dưới dạng F ( x ) = x ² .

Nguyên tắc bao gồm-loại trừ được sử dụng để tính toán kích thước của liên hợp các tập hợp: kích thước của liên hợp là kích thước của hai tập hợp, trừ đi kích thước của giao điểm của chúng.

Nguyên tắc bao gồm - loại trừ là một kỹ thuật đếm có thể được sử dụng để đếm số phần tử trong một tổ hợp của hai tập hợp — nếu kích thước của mỗi tập hợp và kích thước của giao điểm của chúng được biết. Nó có thể được diễn đạt một cách tượng trưng là

${\ displaystyle | A \ cup B | = | A | + | B | - | A \ cap B |.}$

Một dạng tổng quát hơn của nguyên tắc có thể được sử dụng để tìm bản số của bất kỳ tập hợp hữu hạn nào:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left | A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup A_ {3} \ cup \ ldots \ cup A_ {n} \ right | = & \ left (\ left | A_ {1} \ right | + \ left | A_ {2} \ right | + \ left | A_ {3} \ right | + \ ldots \ left | A_ {n} \ right | \ right) \\ & {} - \ left (\ left | A_ {1} \ cap A_ {2} \ right | + \ left | A_ {1} \ cap A_ {3} \ right | + \ ldots \ left | A_ {n-1} \ cap A_ {n} \ right | \ right) \\ & {} + \ ldots \\ & {} + \ left (-1 \ right) ^ {n-1} \ left (\ left | A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap A_ {3} \ cap \ ldots \ cap A_ {n} \ right | \ right). \ End {align}}}$

Augustus De Morgan đã phát biểu hai định luật về tập hợp.

Nếu A và B là hai tập hợp bất kỳ thì,

• (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′

Phần bù của A hợp B bằng phần bù của A cắt với phần bù của B.

• (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′

Phần bù của A cắt với B bằng phần bù của A nối với phần bù của B.

• Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: Toán học và Triết học của ông về cái vô hạn . Boston: Nhà xuất bản Đại học Harvard . ISBN 0-691-02447-2.
• Halmos, Paul R. (1960). Lý thuyết tập hợp ngây thơ . Princeton, NJ: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.
• Stoll, Robert R. (1979). Lý thuyết Thiết lập và Logic . Mineola, NY: Ấn phẩm Dover . ISBN 0-486-63829-4.
• Velleman, Daniel (2006). Làm thế nào để chứng minh điều đó: Một cách tiếp cận có cấu trúc . Nhà xuất bản Đại học Cambridge . ISBN 0-521-67599-5.

• Cantor's "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (bằng tiếng Đức)