Đường cong lấp đầy không gian

Từ Wikipedia, bách khoa toàn thư miễn phí
Chuyển đến điều hướng Chuyển đến tìm kiếm
Ba lần lặp lại của việc xây dựng đường cong Peano , có giới hạn là một đường cong lấp đầy không gian.

Trong phân tích toán học , một đường cong không gian-điền là một đường congphạm vi bao gồm toàn bộ 2 chiều đơn vị vuông (hoặc tổng quát hơn một n đơn vị chiều hypercube ). Giuseppe Peano (1858–1932) là người đầu tiên phát hiện ra một đường cong lấp đầy không gian trong mặt phẳng 2 chiều đôi khi được gọi là đường cong Peano , nhưng cụm từ đó cũng dùng để chỉ đường cong Peano , một ví dụ cụ thể về đường cong lấp đầy không gian. được tìm thấy bởi Peano.

Định nghĩa [ sửa ]

Một cách trực quan, một đường cong có hai hoặc ba (hoặc cao hơn) có thể được coi là đường đi của một điểm chuyển động liên tục. Để loại bỏ sự mơ hồ cố hữu của khái niệm này, Jordan vào năm 1887 đã đưa ra định nghĩa chặt chẽ sau đây, từ đó đã được chấp nhận như một mô tả chính xác về khái niệm đường cong :

Đường cong (với các điểm cuối) là một hàm liên tục có miền là khoảng đơn vị [0, 1] .

Ở dạng tổng quát nhất, phạm vi của một hàm như vậy có thể nằm trong một không gian tôpô tùy ý , nhưng trong các trường hợp thường được nghiên cứu nhất, phạm vi sẽ nằm trong không gian Euclide, chẳng hạn như mặt phẳng 2 chiều (một đường cong phẳng ) hoặc Không gian 3 chiều ( đường cong không gian ).

Đôi khi, đường cong được xác định bằng hình ảnh của hàm (tập hợp tất cả các giá trị có thể có của hàm), thay vì chính hàm. Cũng có thể xác định các đường cong không có điểm cuối là một hàm liên tục trên đường thực (hoặc trên khoảng đơn vị mở  (0, 1) ).

Lịch sử [ sửa ]

Năm 1890, Peano phát hiện ra một đường cong liên tục, bây giờ được gọi là đường cong Peano , đi qua mọi điểm của hình vuông đơn vị ( Peano (1890) ). Mục đích của ông là xây dựng một ánh xạ liên tục từ khoảng đơn vị lên bình phương đơn vị . Peano được thúc đẩy bởi Georg Cantor kết quả phản trực giác trước 's rằng số lượng giới hạn các điểm trong một khoảng thời gian đơn vị là như nhau cardinality như số lượng giới hạn các điểm trong bất kỳ hữu hạn chiều đa dạng, chẳng hạn như hình vuông đơn vị. Vấn đề mà Peano đã giải quyết là liệu một ánh xạ như vậy có thể liên tục được không; tức là, một đường cong lấp đầy một khoảng trống. Giải pháp của Peano không thiết lập sự tương ứng một đối một liên tục giữa khoảng đơn vị và bình phương đơn vị, và thực tế là sự tương ứng như vậy không tồn tại (xem phần "Thuộc tính" bên dưới).

Người ta thường liên kết các khái niệm mơ hồ về độ mỏngđộ 1 chiều với các đường cong; tất cả các đường cong thường gặp đều có thể phân biệt được từng phần (nghĩa là có các đạo hàm liên tục từng phần), và các đường cong như vậy không thể lấp đầy toàn bộ hình vuông đơn vị. Do đó, đường cong lấp đầy không gian của Peano được cho là rất phản trực giác.

Từ ví dụ Peano, nó là dễ dàng để suy ra các đường cong liên tục có dãy chứa n chiều hypercube (đối với bất kỳ số nguyên dương n ). Cũng dễ dàng mở rộng ví dụ của Peano cho các đường cong liên tục không có điểm cuối, nó lấp đầy toàn bộ không gian Euclid thứ n (trong đó n là 2, 3 hoặc bất kỳ số nguyên dương nào khác).

Hầu hết các đường cong lấp đầy không gian nổi tiếng được xây dựng lặp đi lặp lại dưới dạng giới hạn của một chuỗi các đường cong liên tục tuyến tính từng đoạn , mỗi đường gần đúng hơn với giới hạn lấp đầy không gian.

Bài báo mang tính đột phá của Peano không có hình ảnh minh họa về công trình xây dựng của anh ấy, được định nghĩa theo nghĩa mở rộng bậc batoán tử phản chiếu . Nhưng việc xây dựng đồ họa hoàn toàn rõ ràng đối với anh ấy - anh ấy đã làm một bức tranh ốp lát trang trí cho thấy bức tranh về đường cong trong ngôi nhà của mình ở Turin. Bài báo của Peano cũng kết thúc bằng cách nhận xét rằng kỹ thuật này rõ ràng có thể được mở rộng sang các cơ sở kỳ quặc khác ngoài cơ sở 3. Lựa chọn của anh ấy để tránh bất kỳ sự hấp dẫn nào đối với hình ảnh đồ họakhông còn nghi ngờ gì nữa, được thúc đẩy bởi mong muốn có được một bằng chứng hoàn toàn chặt chẽ, có cơ sở, không có gì liên quan đến hình ảnh. Vào thời điểm đó (sự khởi đầu của nền tảng cấu trúc liên kết tổng quát), các đối số đồ họa vẫn được đưa vào các chứng minh, nhưng đã trở thành một trở ngại cho việc hiểu các kết quả thường phản trực giác.

Một năm sau, David Hilbert công bố trên cùng một tạp chí một biến thể của công trình xây dựng của Peano ( Hilbert 1891 ). Bài báo của Hilbert là bài báo đầu tiên bao gồm một bức tranh giúp hình dung kỹ thuật xây dựng, về cơ bản giống như minh họa ở đây. Tuy nhiên, dạng giải tích của đường cong Hilbert phức tạp hơn Peano.

Sáu lần lặp lại của việc xây dựng đường cong Hilbert, có đường cong lấp đầy không gian giới hạn được nhà toán học David Hilbert nghĩ ra .

Phác thảo việc xây dựng một đường cong lấp đầy không gian [ sửa ]

Hãy biểu thị không gian Cantor .

Chúng ta bắt đầu với một hàm liên tục từ không gian Cantor lên toàn bộ khoảng đơn vị . (Hạn chế của hàm Cantor đối với tập Cantor là một ví dụ về hàm như vậy.) Từ đó, chúng ta nhận được một hàm liên tục từ tích tôpô trên toàn bộ bình phương đơn vị bằng cách đặt

Kể từ khi thiết lập Cantor là đồng phôi với sản phẩm , có một song ánh liên tục từ tập Cantor vào . Thành phần của là một hàm liên tục ánh xạ bộ Cantor vào toàn bộ hình vuông đơn vị. (Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng định lý rằng mọi không gian metric nhỏ gọn là một hình ảnh liên tục của tập Cantor để có được hàm .)

Cuối cùng, người ta có thể mở rộng thành một hàm liên tục có miền là toàn bộ khoảng đơn vị . Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định lý mở rộng Tietze trên từng thành phần của hoặc đơn giản là mở rộng "tuyến tính" (nghĩa là, trên mỗi khoảng mở đã xóa trong cấu trúc của tập Cantor, chúng tôi xác định phần mở rộng của trên là đoạn thẳng trong hình vuông đơn vị tham gia các giá trị ).

Thuộc tính [ sửa ]

Các đường cong MortonHilbert cấp 6 (4 5 = 1024 ô trong phân vùng vuông đệ quy ) vẽ mỗi địa chỉ dưới dạng màu khác nhau trong tiêu chuẩn RGB và sử dụng nhãn Geohash . Các khu vực lân cận có màu sắc tương tự nhau, nhưng mỗi đường cong cung cấp các mô hình khác nhau của các nhóm tương tự trong các quy mô nhỏ hơn.

Nếu một đường cong không phải là đơn ánh, sau đó người ta có thể tìm thấy hai giao nhau subcurves của đường cong, từng thu được bằng cách xem xét những hình ảnh của hai đoạn rời nhau từ tên miền của đường cong (đường phân khúc đơn vị). Hai đường cong con cắt nhau nếu giao điểm của hai hình không trống . Người ta có thể bị cám dỗ khi nghĩ rằng ý nghĩa của các đường cong giao nhau là chúng nhất thiết phải cắt nhau, giống như giao điểm của hai đường thẳng không song song, từ bên này sang bên kia. Tuy nhiên, hai đường cong (hoặc hai đường cong phụ của một đường cong) có thể tiếp xúc với nhau mà không cắt nhau, chẳng hạn như một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

Một đường cong liên tục không tự giao nhau không thể lấp đầy hình vuông đơn vị, vì đó sẽ làm cho các đường cong một phép đồng phôi từ khoảng đơn vị vào bộ phận vuông (bất kỳ liên tục song ánh từ một không gian nhỏ gọn vào một không gian Hausdorff là một phép đồng phôi). Nhưng một hình vuông đơn vị không có điểm cắt , và do đó không thể đồng dạng với khoảng đơn vị, trong đó tất cả các điểm ngoại trừ điểm cuối đều là điểm cắt. Tồn tại các đường cong không tự giao nhau của vùng khác không, đường cong Osgood , nhưng chúng không lấp đầy không gian.

Đối với các đường cong lấp đầy không gian Peano và Hilbert cổ điển, nơi hai đường cong con giao nhau (theo nghĩa kỹ thuật), có sự tự tiếp xúc mà không tự cắt nhau. Một đường cong lấp đầy không gian có thể tự cắt (ở mọi nơi) nếu các đường cong xấp xỉ của nó tự cắt nhau. Các phép gần đúng của đường cong lấp đầy không gian có thể tự tránh được, như các hình trên minh họa. Trong không gian 3 chiều, các đường cong xấp xỉ tự tránh thậm chí có thể chứa các nút thắt . Các đường cong xấp xỉ vẫn nằm trong một phần giới hạn của không gian n chiều, nhưng độ dài của chúng tăng lên mà không bị ràng buộc.

Đường cong lấp đầy không gian là trường hợp đặc biệt của đường cong Fractal . Không có đường cong lấp đầy không gian có thể phân biệt được có thể tồn tại. Nói một cách đại khái, tính khác biệt đặt ra ràng buộc về tốc độ mà đường cong có thể quay.

Định lý Hahn – Mazurkiewicz [ sửa ]

Các Hahn - Mazurkiewicz lý là đặc tính sau đây của không gian mà là những hình ảnh liên tục của đường cong:

Một không trống Hausdorff không gian topo là một hình ảnh liên tục của đơn vị khoảng cách khi và chỉ khi nó là một, nhỏ gọn kết nối , kết nối cục bộ , không gian thứ hai đếm được .

Các khoảng trắng là hình ảnh liên tục của một khoảng đơn vị đôi khi được gọi là không gian Peano .

Trong nhiều công thức của định lý Hahn-Mazurkiewicz, có thể đếm được thứ hai được thay thế bởi có thể đếm được . Hai công thức này là tương đương. Theo một hướng, không gian Hausdorff nhỏ gọn là không gian bình thường và theo định lý metrization Urysohn , đếm được thứ hai ngụ ý có thể đo được. Ngược lại, không gian số liệu nhỏ gọn có thể đếm được thứ hai.

Kleinian nhóm [ sửa ]

Có rất nhiều ví dụ tự nhiên về đường cong lấp đầy không gian, hay đúng hơn là lấp đầy hình cầu, trong lý thuyết về các nhóm Kleinian suy biến kép . Ví dụ, Cannon & Thurston (2007) đã chỉ ra rằng các vòng tròn ở vô cực của bìa phổ quát của một sợi của một hình xuyến lập bản đồ của một bản đồ giả Anosov là một đường cong hình cầu-điền. (Ở đây hình cầu là hình cầu ở vô cực của không gian 3 hypebol .)

Tích hợp [ sửa ]

Wiener đã chỉ ra trong Tích phân Fourier và Một số ứng dụng của nó rằng các đường cong lấp đầy không gian có thể được sử dụng để giảm tích hợp Lebesgue ở các chiều cao hơn thành tích hợp Lebesgue trong một chiều.

Xem thêm [ sửa ]

  • Đường cong rồng
  • Đường cong Gosper
  • Đường cong Hilbert
  • Đường cong Koch
  • Đường cong Moore
  • Đa giác Murray
  • Đường cong Sierpiński
  • Cây lấp đầy không gian
  • Chỉ số không gian
  • Hilbert R-cây
  • B x -tree
  • Z-order (đường cong) (Morton-order)
  • Danh sách các Fractal theo thứ nguyên Hausdorff

Tài liệu tham khảo [ sửa ]

  • Cannon, James W .; Thurston, William P. (2007) [1982], "Nhóm đường cong Peano bất biến", Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060 , MR  2326947
  • Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück" , Mathematische Annalen (bằng tiếng Đức), 38 (3): 459–460, doi : 10.1007 / BF01199431 , S2CID  123643081
  • Mandelbrot, BB (1982), "Chương 7: Khai thác các đường cong của quái vật Peano", Hình học Fractal của Tự nhiên , WH Freeman.
  • McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies và Frenzies: Basic Family of Peano Curves on the Square Grid", trong Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (eds.), Mặt nhẹ hơn của Toán học: Kỷ yếu của Hội nghị Tưởng niệm Eugene Strens về Toán học Giải trí và Lịch sử của nó , Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ , trang  49–73 , ISBN 978-0-88385-516-4.
  • Peano, G. (1890), "Sur une courtbe, qui remplit toute une aire plane" , Mathematische Annalen (bằng tiếng Pháp), 36 (1): 157–160, doi : 10.1007 / BF01199438 , S2CID  179177780.
  • Sagan, Hans (1994), Đường cong lấp đầy không gian , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR  1299533.

Liên kết bên ngoài [ sửa ]

  • Đường cong lấp đầy không gian đa chiều
  • Bằng chứng về sự tồn tại của một bijectioncut-the-knot

Các ứng dụng Java:

  • Máy bay Peano lấp đầy các đường cong ở điểm cắt
  • Các đường cong lấp đầy mặt phẳng của Hilbert và Moore tại điểm cắt
  • Tất cả các đường cong lấp đầy mặt phẳng Peano tại điểm cắt